1、弧度制弧度制3 假如中秋晚会节目组想搭建一个扇形的舞台，假如中秋晚会节目组想搭建一个扇形的舞台，但因经费及环境限制，最多只能围成周长为但因经费及环境限制，最多只能围成周长为400米的扇形，请问如何设计使得舞台的面积最大？米的扇形，请问如何设计使得舞台的面积最大？4 弧度制思想的孕育弧度制思想的孕育托勒密托勒密 托勒密大约于公元托勒密大约于公元90年出生在希腊，他创立了天文学，年出生在希腊，他创立了天文学，发明了球坐标，定义了经纬线，还孕育了弧度制的思想。发明了球坐标，定义了经纬线，还孕育了弧度制的思想。据数学史记载，巴比伦人发明了据数学史记载，巴比伦人发明了60 进制，进制，60进制以度进制以
2、度为单位，他们将圆周分成为单位，他们将圆周分成 360 等份，每一份所对的圆心角等份，每一份所对的圆心角叫做叫做 1 度，度，l度有度有60分分，1分有分有60秒虽把圆周分成秒虽把圆周分成 360度度却不见得就方便，例如一个直角的四分之一就不是整数，却不见得就方便，例如一个直角的四分之一就不是整数，但后来托勒密却考虑到度量弧长与度量弦长应采取相同的但后来托勒密却考虑到度量弧长与度量弦长应采取相同的单位。这其实就是弧度制思想的孕育阶段。单位。这其实就是弧度制思想的孕育阶段。弧度制思想的提出弧度制思想的提出欧拉欧拉 瑞士数学家欧拉在他于瑞士数学家欧拉在他于1748年出版的一部著作无穷年出版的一部著
3、作无穷小分析概论中，提出如果把半径作为小分析概论中，提出如果把半径作为1个单位长度，那个单位长度，那么半圆的长就是么半圆的长就是，所对圆心角的正弦是，所对圆心角的正弦是0，即，即 。这一思想将线段与弧的度量单位统一起来，大大简化了某这一思想将线段与弧的度量单位统一起来，大大简化了某些三角公式及计算。些三角公式及计算。0sin5 弧度制的正式提出弧度制的正式提出汤姆生汤姆生 1873年年6月月5日，数学教师汤姆生日，数学教师汤姆生(James homson)在北爱尔兰首府贝尔法斯特在北爱尔兰首府贝尔法斯特(Belfast)女王学院的数学女王学院的数学考试题目中创造性地首先使用了考试题目中创造性地
4、首先使用了“radian”一词。一词。他他将将“半径半径”(radius)的前四个字母与的前四个字母与“角角”(angle)的的前两个字母合在一起，构成前两个字母合在一起，构成radian，并被人们广泛接，并被人们广泛接受和引用受和引用 从数学发展的历史长河来看，弧度制出现的主要原因是为了适应微积从数学发展的历史长河来看，弧度制出现的主要原因是为了适应微积分创立以后科学上的计算需要，更具体的说，弧度制的引入使得微积分中分创立以后科学上的计算需要，更具体的说，弧度制的引入使得微积分中关于三角函数的各种公式，如微分公式、积分公式和泰勒公式等等，与普关于三角函数的各种公式，如微分公式、积分公式和泰勒
5、公式等等，与普通的角度制相比，都得到了大大的简化。通的角度制相比，都得到了大大的简化。角度制角度制 60 1601弧度制弧度制创造创造沿着古人研究的足迹，同学们咱们可以尝试沿着古人研究的足迹，同学们咱们可以尝试开启我们的探索与创造之旅吗？开启我们的探索与创造之旅吗？在一个圆中，我们记 ，如果此时A2B2B3A3OA1B111AOB半径半径 ，11ROAR弧长弧长111lABl那么将半径变成那么将半径变成 时时,弧长弧长？222ROAR222lA B若将半径变成若将半径变成 呢呢,弧长弧长？333ROAR333lA B圆心角不变时，圆心角不变时，弧长和半径之间弧长和半径之间的联系呢？的联系呢？圆
6、心角发生了改变呢？这个比值怎么变？圆心角发生了改变呢？这个比值怎么变？8OA1B111AOB半径半径 ，1ROA弧长弧长 ，11ABlB2B3那么将角度变成那么将角度变成 时时,比值呢？比值呢？122AOB若将将角度变成若将将角度变成 呢呢,比值呢？比值呢？133AOB显然到了需要发明创造的时刻！同学们你们显然到了需要发明创造的时刻！同学们你们准备好了吗？准备好了吗？比值比值11ABlRR任意角呢？能演示一下？任意角呢？能演示一下？R9正如前面数学史所述，瑞士数学家欧拉正如前面数学史所述，瑞士数学家欧拉(Leonhardo Eulero)首先提出了这首先提出了这个想法：个想法：将长度等于半径长
7、的圆弧将长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做所对的圆心角叫做1 1弧度的角弧度的角，弧，弧度记作度记作radrad.这种以弧度为单位来度量角的制度叫做这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制弧度制.此时，比值此时，比值?lR可见可见 三者的关系式是？三者的关系式是？,lR10 角度制和弧度制之间如何建立联系呢？角度制和弧度制之间如何建立联系呢？180?rad 180 rad 1?rad？111 1、将下列各角从弧度化为度：、将下列各角从弧度化为度：531）（5.32）（2、将下列各角从度化为弧度：、将下列各角从度化为弧度：2521）（1511-2）（12度 03045120135150360弧
8、度数63422334322056熟记一些常见的角度与弧度的换算。熟记一些常见的角度与弧度的换算。60 9018027013弧度制弧度制角度制角度制定义定义 度量单位度量单位 相互换算相互换算关系关系 弧度弧度度度把长度等于半径长的弧把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做所对的圆心角叫做1 1弧度弧度的角。的角。周角的周角的1/3601/360叫做叫做1 1度的角。度的角。180=rad1=rad0.01745rad1801801rad=()57.30基本关系基本关系导出关系导出关系14正角正角零角零角负角负角正实数正实数零零负实数负实数角的概念推广以后，在弧度制下，角的集合与实数集角的概念推广以
9、后，在弧度制下，角的集合与实数集之间是什么关系呢？之间是什么关系呢？15那么现在扇形的面积公式又可以怎么表示呢？那么现在扇形的面积公式又可以怎么表示呢？16 假如中秋晚会节目组想搭建一个扇形的舞台，假如中秋晚会节目组想搭建一个扇形的舞台，但因经费及环境限制，最多只能围成周长为但因经费及环境限制，最多只能围成周长为400米的扇形，请问如何设计使得舞台的面积最大？米的扇形，请问如何设计使得舞台的面积最大？17 通过这节课的学习，你有哪些收获？通过这节课的学习，你有哪些收获？18 密位密位弧度制的弧度制的后续发展后续发展 弧度（弧度（Rad）是用弧长与半径之比来表示角度的。根据定义，在半径）是用弧长
10、与半径之比来表示角度的。根据定义，在半径为为1的圆周上，长度为的圆周上，长度为1的弧长对应圆心的角度为的弧长对应圆心的角度为1弧度。然而弧度这个单弧度。然而弧度这个单位太大，用起来很不方便（特别是在军事上），于是毫弧度（位太大，用起来很不方便（特别是在军事上），于是毫弧度（mRad）就）就应用而生。显然：应用而生。显然：1Rad=1000mRad它的意义为：在半径为它的意义为：在半径为1000的圆周上，的圆周上，1个单位的弧长对应的圆心角为个单位的弧长对应的圆心角为1毫弧度。对于毫弧度。对于360的圆周的圆周360=2Rad=2000mRad20003.1416mRad=6283.2mRad。
11、因为。因为6283.2不是一个整数，算起来很不方便。于是人们便将它取整，俄罗斯人不是一个整数，算起来很不方便。于是人们便将它取整，俄罗斯人将其取整为将其取整为6000，它的优点是计算方便。以法国为代表的西欧、美国等西，它的优点是计算方便。以法国为代表的西欧、美国等西方国家将其取整为方国家将其取整为6400，它的优点是在制作机械罗盘时，进行，它的优点是在制作机械罗盘时，进行6次二等分次二等分后它为后它为100，是个整数，容易画刻度。也有的国家将其取整为，是个整数，容易画刻度。也有的国家将其取整为6300，这个，这个取法的优点是与毫弧度最为接近，不过意义不大。取整后这个角度单位就取法的优点是与毫弧度最为接近，不过意义不大。取整后这个角度单位就不能称为毫弧度了，于是给它取了个新的名字叫不能称为毫弧度了，于是给它取了个新的名字叫mil，翻译成中文叫密位，翻译成中文叫密位，可见密位是由毫弧度转化来的，二者非常接近。于是就有：可见密位是由毫弧度转化来的，二者非常接近。于是就有：360=6000mil（俄制）（俄制）或或 360=6400mil（法制）。（法制）。
