1、第六章第六章平面向量及其应用平面向量及其应用6.4.3余弦定理、正弦定理第一篇第一篇 教材过关教材过关第1课时余弦定理如图,修建一条隧道,要穿过一座山,这就要进行工程设计,需要测算山脚的长度,工程技术人员若在地面上选一适当位置A,量出A到山脚B,C的距离,再利用经纬仪(测角仪)测出A对山脚B,C的张角.情景导学情景导学精读教材精读教材必备知识必备知识问题1:这样能求出山脚的长度BC吗?问题2:能直接求出山脚的长度BC吗?答案答案通过今天学习的余弦定理即可求出BC.答案答案根据相似三角形的原理可以求出BC.1.余弦定理余弦定理 教材研读教材研读三角形中任何一边的平方,等于其他两边 减去这两边与它
2、们夹角的余弦的积的 .即a2=,平方的和两倍b2+c2-2bccos Ab2=,a2+c2-2accos Bc2=.推论:cos A=,cos B=,a2+b2-2abcos Ccos C=.思考:勾股定理与余弦定理有什么关系?提示提示余弦定理是勾股定理的推广,勾股定理是余弦定理的特例.2.解三角形解三角形(1)三角形的元素:三角形的 A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素.(2)已知三角形的几个元素求 的过程叫做解三角形.三个角其他元素3.余弦定理可以解决两类问题余弦定理可以解决两类问题(1)已知三边,求三角.(2)已知两边及一角,求第三边和其他两个角.探究一已知三角形的两边及一角
3、解三角形探究一已知三角形的两边及一角解三角形互动探究互动探究关键能力关键能力例例1(1)设ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,cos A=,且bc,则b=()A.B.2 C.2 D.3(2)在ABC中,若AB=,BC=3,C=120,则AC=.3323213B1解析解析(1)由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A,即22=b2+(2)2-2b2,3332化简,得b2-6b+8=0,解得b=2或b=4,因为bc,所以b=2.(2)由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos C,即13=AC2+9-2AC3cos 120,化简,得AC2+3AC-4
4、=0,解得AC=1或AC=-4(舍去).思维突破思维突破用余弦定理解决已知三角形的两边及一角求三角形第三边的问题时,列出方程后要根据边长为正及大边对大角取舍方程的根.跟踪训练跟踪训练1-1在三角形ABC中,若a=2,b=2,C=15,则c=.2解析解析 cos 15=cos(45-30)=.624由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=4+8-2(+)=8-4,所以c=-.2623621-2在ABC中,若AB=,AC=5,且cos C=,则BC=.59104或5解析解析由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2ACBCcos C,即()2=52+BC2-25BC,5910所以BC2-9
5、BC+20=0,解得BC=4或BC=5.探究二已知三角形的三边解三角形探究二已知三角形的三边解三角形例例2(1)在ABC中,若a=7,b=4,c=,则ABC的最小的角为 .(2)已知ABC的三边长分别为a=2,b=2,c=+,解此三角形.3133262解析解析(1)因为cba,所以ABC的最小的角为C.所以cos C=,所以C=.(2)由余弦定理的推论得:cos A=,所以A=60.cos B=222-2ab cab4948-132 7 4 3 326222-2bc abc222(2 2)(62)-(2 3)22 2(62)12222-2ac bac=,所以B=45,所以C=180-A-B=7
6、5.222(2 3)(62)-(2 2)22 3(62)22变式训练变式训练(变结论)若例2(1)中的条件不变,如何求ABC的最大的角的余弦值?解析解析因为cb0,由余弦定理的推论可得,cos A=-,而A(0,),所以A=.73222-2bc abc222925-492 35xxxxx1223探究三判断三角形的形状探究三判断三角形的形状例例3在ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若a2+b2-ab=c2,且=,判断ABC的形状.cb3解析解析由a2+b2-ab=c2,得a2+b2-c2=ab,所以cos C=,所以C=,222-2ab cab123又=,所以c=b,所以a2+b2
7、-ab=(b)2,cb333所以a2-ab-2b2=0,所以a=2b,所以b2+c2=4b2=a2,故ABC为直角三角形.思维突破思维突破若式子中含有角的余弦或是边的二次式,一般考虑用余弦定理,通过代数恒等变换得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.跟踪训练跟踪训练3-1在ABC中,已知cos2=(a,b,c分别为角A,B,C的对边),判断ABC的形状.2A2bcc解析解析在ABC中,由cos2=,得=,所以cos A=,由余弦定理的推论,得=,2A2bcc1cos2A2bccbc222-2bc abcbc所以b2+c2-a2=2b2,即c2=a2+b2,故ABC是直角三角形.1.在ABC中,
8、边a,b,c所对的角分别为A,B,C,b=3,c=5,A=120,则a=()A.7 B.C.49 D.19 19课堂检测课堂检测评价检测评价检测素养提升素养提升解析解析 a2=b2+c2-2bccos A=9+25-235cos 120=49,所以a=7.A2.在ABC中,a2=c2+b2+bc,则A等于()A.60 B.45 C.120 D.1503解析解析由已知得b2+c2-a2=-bc,根据余弦定理的推论,得cos A=-,所以A=150.3222-2bc abc32D3.在ABC中,已知a=4,b=6,C=120,则边c=.解析解析由余弦定理得,c2=a2+b2-2abcos C=16
9、+36-246cos 120=76,c=2.194.在ABC中,若a=2bcos C,则ABC是 三角形.等腰解析解析因为a=2bcos C=2b,222-2ab cab所以a2=a2+b2-c2,所以b2=c2,即b=c,所以ABC是等腰三角形.5.在ABC中,a=8,B=60,c=4(+1),求b的值.3解析解析由余弦定理得,b2=a2+c2-2accos B=82+4(+1)2-284(+1)cos 60=64+16(4+2)-64(+1)=96,b=4.3333126直观想象三角形平面几何性质的应用在ABC中,已知AB=,cosABC=,AC边上的中线BD=,求sin A的值.4 63
10、665素养演练素养演练解析解析如图,设E为BC的中点,连接DE,则DEAB,且DE=AB=.因为BED+ABC=,所以cosBED=-cosABC.122 63设BE=x,在BDE中,利用余弦定理得,BD2=BE2+ED2-2BEEDcosBED,即5=x2+-2x,解得x=1或x=-(舍去).故BE=1,BC=2,832 636-673从而AC2=AB2+BC2-2ABBCcosABC=,即AC=,在ABC中,由余弦定理的推论,得cos A=,所以sin A=.素养探究:解三角形借助平面几何的性质,可以简化计算.利用三角形中位线的平行性把边角关系转化到一个三角形中,从而利用余弦定理求解,过程
11、中体现2832 213222-2ABAC BCAB AC2224 62 21-2334 62 212333 14147014直观想象的核心素养.针对训练针对训练如图,在ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2acos C-c=2b.(1)求角A的大小;(2)若ABC=,AC边上的中线BD的长为,求ABC的面积.635解析解析(1)在ABC中,2acos C-c=2b,由余弦定理的推论,得2a-c=2b,222-2ab cab即b2+c2-a2=-bc,所以cos A=-,所以A=.(2)因为ABC=,由(1)得角A=,所以C=,所以ABC=C,所以AC=AB,所以AC=AB=2AD,222-2bc abc12236236在ABD中,由余弦定理可得,BD2=AB2+AD2-2ABADcos A,即BD2=4AD2+AD2-4ADADcos A,所以5AD2-4AD2=35,解得AD=,所以AB=AC=2,所以SABC=ABhAB=ABACsin A=(2)2sin=5.故ABC的面积为5.1-25512121252333
