1、本章内容3.1 函数与方程函数与方程3.2 函数模型及其应用函数模型及其应用第三章第三章 小结小结3.1.2 用二分法求方程的近似解用二分法求方程的近似解3.1.1 方程的根与函数的零点方程的根与函数的零点复习与提高复习与提高返回目录返回目录 1.方程方程 f(x)=0 的根与函数的根与函数 y=f(x)的图象上的图象上的点有什么关系的点有什么关系?2.什么是函数的零点什么是函数的零点?函数的零点与函数函数的零点与函数的图象、对应方程的解有什么关系的图象、对应方程的解有什么关系?3.如何确定函数在区间如何确定函数在区间(a,b)内有无零点内有无零点?1.函数与方程函数与方程 问题问题1.画出函
2、数画出函数 y=x2-2x-3 的图象的图象,并求出方并求出方程程 x2-2x-3=0 的根的根,观察函数图象上什么位置的点观察函数图象上什么位置的点与方程的根有联系与方程的根有联系?xyo123-1-4y=x2-2x-3解解 x2-2x-3=0 得得x1=-=-1,x2=3.一个函数使一个函数使 y=0 就变成了方程就变成了方程,方程的根就是函数图象与方程的根就是函数图象与 x 轴交点轴交点的的 x 坐标坐标.xyo123-1-4y=x2-2x-3xyo12-1-2y=x2-2x+1x2-2x-3=0 的根的根x1=-=-1,x2=3.x2-2x+1=0 的根的根x1=x2=1.x2-2x+
3、3=0=4-12=-=-8 0时时,二次方程有两不等实根二次方程有两不等实根,相应的相应的二次函数的图象与二次函数的图象与 x 轴有两个交点轴有两个交点;(2)当当=0时时,二次方程有两相等实根二次方程有两相等实根,相应的相应的二次函数的图象与二次函数的图象与 x 轴只有一个交点轴只有一个交点;(3)当当0时时,二次方程无实根二次方程无实根,相应的二次函相应的二次函数的图象与数的图象与 x 轴无交点轴无交点.2.函数的零点函数的零点 对于函数对于函数 y=f(x),我们把使我们把使 f(x)=0 的实数的实数 x 叫做叫做函数函数 y=f(x)的的零点零点.函数函数 y=f(x)的零点的零点,
4、就是函数图象与就是函数图象与 x 轴的交点轴的交点的的 x 坐标坐标;就是方程就是方程 f(x)=0 的根的根.方程方程 f(x)=0 有实数根有实数根 函数函数 y=f(x)的图象与的图象与 x 轴有交点轴有交点 函数函数 y=f(x)有零点有零点 问题问题2.对于函数对于函数 y=f(x),如果如果 f(a)f(b)0,则点则点(a,f(a),(b,f(b)的位置有什么特点的位置有什么特点?如果函数的如果函数的图象在区间图象在区间a,b上是连续不断的上是连续不断的,那么这个图象在那么这个图象在区间区间(a,b)内与内与 x 轴一定相交吗轴一定相交吗?xyoabxyoab(a,f(a)(b,
5、f(b)(a,f(a)(b,f(b)(1)如果函数如果函数 y=f(x)在区间在区间 a,b 上的图象是一条上的图象是一条连续的曲线连续的曲线,并且有并且有 f(a)f(b)0,那么那么,函数函数 y=f(x)在在区间区间(a,b)内有零点内有零点,即存在即存在 c(a,b),使得使得 f(c)=0,这个这个 c 也就是方程也就是方程 f(x)=0 的根的根,即函数即函数 y=f(x)的零点的零点.两点分别在两点分别在x 轴的两旁轴的两旁.f(a)f(b)0,问题问题2.对于函数对于函数 y=f(x),如果如果 f(a)f(b)0,则点则点(a,f(a),(b,f(b)的位置有什么特点的位置有
6、什么特点?如果函数的如果函数的图象在区间图象在区间a,b上是连续不断的上是连续不断的,那么这个图象在那么这个图象在区间区间(a,b)内与内与 x 轴一定相交吗轴一定相交吗?xyoabxyoab(a,f(a)(b,f(b)(a,f(a)(b,f(b)(2)如果函数如果函数 y=f(x)在区间在区间 a,b 上是连续的单上是连续的单调函数调函数,并且有并且有 f(a)f(b)0,那么那么,函数函数 y=f(x)在区在区间间(a,b)内有且只有一个零点内有且只有一个零点.两点分别在两点分别在x 轴的两旁轴的两旁.f(a)f(b)0,例例1.求函数求函数 f(x)=lnx+2x-6 的零点个数的零点个
7、数.分析分析:目标目标:(2)求单调区间求单调区间(a,b),有几个有几个;(3)判断是否有判断是否有 f(a)f(b)0.思路思路:寻找单调区间寻找单调区间(a,b),使使 f(a)f(b)0,这样的区间有多少个这样的区间有多少个,就有多少个零点就有多少个零点.(1)确定定义域确定定义域;例例1.求函数求函数 f(x)=lnx+2x-6 的零点个数的零点个数.解解:f(x)的定义域为的定义域为:f(e2)=2+2e2-6即即 f(1)f(e2)x20,f(x1)-f(x2)=lnx1-lnx2+2(x1-x2)y=lnx是是(0,+)上的增函数上的增函数,lnx1-lnx20,x1-x20,
8、得得 f(x1)f(x2),函数函数f(x)在在(0,+)单增单增.f(1)=-=-4 0,(0,+).即函数在整个定义域只有一个单调区间即函数在整个定义域只有一个单调区间.在区间内估值两点在区间内估值两点(a,f(a),(b,f(b),使使f(a)f(b)0.例例(补充补充).方程方程 log2x+x+a=0 有一根在有一根在 1 与与 2 之之间间,求求 a 的取值范围的取值范围.分析分析:方程在方程在 1 与与 2 之间是否只有一根之间是否只有一根?若只有一根若只有一根,则得不等式则得不等式 f(1)f(2)0,步骤步骤:(1)证函数在区间证函数在区间 1,2 上单调上单调;(2)解不等
9、式解不等式 f(1)f(2)0.问题问题:即可解即可解 a 的范围的范围.例例(补充补充).方程方程 log2x+x+a=0 有一根在有一根在 1 与与 2 之之间间,求求 a 的取值范围的取值范围.解解:任取任取 1x1x22,得得 f(x1)f(x2),函数在区间函数在区间 1,2 上是单增函数上是单增函数.于是有于是有 f(1)f(2)0,即即(log21+1+a)(log22+2+a)0,解得解得-3a-1.f(x1)-f(x2)=log2x1+x1+a-(log2x2+x2+a)得得(a+1)(a+3)0,即即 a+1 与与 a+3异号异号,=log2x1-log2x2+x1-x2
10、0.则方程在则方程在 1 与与 2 之间只有一根之间只有一根,问题问题3.你能分别说出一次函数你能分别说出一次函数,二次函数二次函数,反比反比例函数例函数,幂函数幂函数,指数函数指数函数,对数函数的零点个数吗对数函数的零点个数吗?xyOy1y2xyOy1y2y3xyOy1y2xyOy1y2y3y4y5xyOy1y2xyOy1y2一次函数一次函数,一个零点一个零点.二次函数二次函数,有有0个个,或或1个个,或或2个零点个零点.反比例函数反比例函数,无零点无零点.y=x,y=x2,y=x3,各有各有1个零点个零点;,21xy=y=x-1,无零点无零点.指数函数指数函数,无零点无零点.对数函数对数函
11、数,一个零点一个零点.练习练习:(课本课本88页页)第第 2 题题.2.已知方程已知方程 x2+bx=1.若方程有一根在若方程有一根在1与与2之间之间,求求 b 的取值范围的取值范围;1.方程方程 lgx+x=3 的解所在的区间为的解所在的区间为()(A)(0,1)(B)(1,2)(C)(2,3)(D)(3,+)练习练习:(补充补充)1.方程方程 lgx+x=3 的解所在的区间为的解所在的区间为()(A)(0,1)(B)(1,2)(C)(2,3)(D)(3,+)解解:设设 f(x)=lgx+x-3,f(x)在在(0,+)上是增函数上是增函数,f(1)=-=-2,f(2)=lg2-1f(3)=l
12、g30,f(2)f(3)0,方程的解在方程的解在2与与3之间之间.C练习练习:(补充补充)0,解解:设设 f(x)=x2+bx-1,则方程则方程 x2+bx-1=0有两不等实根有两不等实根.f(1)f(2)0,.023 0,即即 b(2b+3)0,2.已知方程已知方程 x2+bx=1.若方程有一根在若方程有一根在1与与2之间之间,求求 b 的取值范围的取值范围;2.利用信息技术作出函数的图象利用信息技术作出函数的图象,并指出下列函并指出下列函数零点所在的大致区间数零点所在的大致区间:(1)f(x)=-=-x3-3x+5;(2)f(x)=2xln(x-2)-3;(3)f(x)=ex-1+4x-4
13、;(4)f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x.解解:(1)练习练习:(课本课本88页页)2.利用信息技术作出函数的图象利用信息技术作出函数的图象,并指出下列函并指出下列函数零点所在的大致区间数零点所在的大致区间:(1)f(x)=-=-x3-3x+5;(2)f(x)=2xln(x-2)-3;(3)f(x)=ex-1+4x-4;(4)f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x.解解:(1)函数在函数在(1,2)上上有一个零点有一个零点.点击点击:绘图绘图绘制新函数绘制新函数-x3-3*x+5确定确定练习练习:(课本课本88页页)2.利用信息技术作出函数的图象利用信息技术作出函数的图象
14、,并指出下列函并指出下列函数零点所在的大致区间数零点所在的大致区间:(1)f(x)=-=-x3-3x+5;(2)f(x)=2xln(x-2)-3;(3)f(x)=ex-1+4x-4;(4)f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x.解解:(2)练习练习:(课本课本88页页)2.利用信息技术作出函数的图象利用信息技术作出函数的图象,并指出下列函并指出下列函数零点所在的大致区间数零点所在的大致区间:(1)f(x)=-=-x3-3x+5;(2)f(x)=2xln(x-2)-3;(3)f(x)=ex-1+4x-4;(4)f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x.解解:(2)函数在函数在(3,
15、4)上上有一个零点有一个零点.点击点击:绘图绘图绘制新函数绘制新函数2*x*函数函数ln(x-2)-3确定确定练习练习:(课本课本88页页)2.利用信息技术作出函数的图象利用信息技术作出函数的图象,并指出下列函并指出下列函数零点所在的大致区间数零点所在的大致区间:(1)f(x)=-=-x3-3x+5;(2)f(x)=2xln(x-2)-3;(3)f(x)=ex-1+4x-4;(4)f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x.解解:(3)练习练习:(课本课本88页页)2.利用信息技术作出函数的图象利用信息技术作出函数的图象,并指出下列函并指出下列函数零点所在的大致区间数零点所在的大致区间:(
16、1)f(x)=-=-x3-3x+5;(2)f(x)=2xln(x-2)-3;(3)f(x)=ex-1+4x-4;(4)f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x.解解:(3)函数在函数在(0,1)上上有一个零点有一个零点.点击点击:绘图绘图绘制新函数绘制新函数数值数值e(x-1)+4*x-4确定确定练习练习:(课本课本88页页)2.利用信息技术作出函数的图象利用信息技术作出函数的图象,并指出下列函并指出下列函数零点所在的大致区间数零点所在的大致区间:(1)f(x)=-=-x3-3x+5;(2)f(x)=2xln(x-2)-3;(3)f(x)=ex-1+4x-4;(4)f(x)=3(x+2)
17、(x-3)(x+4)+x.解解:(4)练习练习:(课本课本88页页)2.利用信息技术作出函数的图象利用信息技术作出函数的图象,并指出下列函并指出下列函数零点所在的大致区间数零点所在的大致区间:(1)f(x)=-=-x3-3x+5;(2)f(x)=2xln(x-2)-3;(3)f(x)=ex-1+4x-4;(4)f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x.解解:(4)点击点击:绘图绘图绘制新函数绘制新函数3*(x+2)*(x-3)*(x+4)+x 确定确定函数在函数在(-4,-3)上有一个零点上有一个零点,(-3,-2)上有一个零点上有一个零点,(2,3)上有一个零点上有一个零点.练习练习:
18、(课本课本88页页)【课时小结课时小结】1.方程的根与函数的零点方程的根与函数的零点方程方程 f(x)=0 有实数根有实数根 函数函数 y=f(x)的图象与的图象与 x 轴有交点轴有交点 函数函数 y=f(x)有零点有零点方程方程 f(x)=0 的根的根 就是函数就是函数 y=f(x)的图象与的图象与 x 轴交点的轴交点的 x 坐标坐标;就是就是函数函数 y=f(x)的零点的零点.【课时小结课时小结】2.求函数的零点所在区间求函数的零点所在区间 (1)如果函数如果函数 y=f(x)在区间在区间 a,b 上的图象上的图象连续不断连续不断,且且 f(a)f(b)0,那么那么,函数函数 y=f(x)
19、在区间在区间(a,b)内内有零点有零点.(2)如果函数如果函数 y=f(x)在区间在区间 a,b 上是连续上是连续的单调函数的单调函数,且且 f(a)f(b)0,那么那么,函数函数 y=f(x)在区间在区间(a,b)内内有且只有一个零点有且只有一个零点.(3)求零点所在区间的基本步骤求零点所在区间的基本步骤:求单调求单调区间区间 a,b;判断是否判断是否 f(a)f(b)0,是则在是则在(a,b)内有唯一零点内有唯一零点,否则否则(a,b)内无零点内无零点.练习练习:(课本课本88页页)习题习题 3.1第第 1 题题.A 组组第第 2 题题.1.利用函数的图象判断下列方程有没有根利用函数的图象
20、判断下列方程有没有根,有几有几个根个根:(1)-x2+3x+5=0;(2)2x(x-2)=-=-3;(3)x2=4x-4;(4)5x2+2x=3x2+5.解解:(1)xyo162-12y=-=-x2+3x+5方程有两个根方程有两个根.(2)方程化为方程化为2x2-4x+3=0.xyo132-11y=2x2-4x+3方程没有实根方程没有实根.练习练习:(课本课本88页页)1.利用函数的图象判断下列方程有没有根利用函数的图象判断下列方程有没有根,有几有几个根个根:(1)-x2+3x+5=0;(2)2x(x-2)=-=-3;(3)x2=4x-4;(4)5x2+2x=3x2+5.解解:(3)xyo16
21、2-12y=x2-4x+4方程只有一个根方程只有一个根.(4)方程化为方程化为2x2+2x-5=0.方程有两个实数根方程有两个实数根.方程化为方程化为x2-4x+4=0.xyo-5-1y=2x2+2x-5练习练习:(课本课本88页页)2.已知函数已知函数 f(x)的图象是连续不断的的图象是连续不断的,且有如且有如下对应值表下对应值表:函数函数 f(x)在哪几个区间内有零点在哪几个区间内有零点?为什么为什么?x123456f(x)136.136 15.552-3.92 10.88-52.488-232.064答答:函数在函数在(2,3)内内,(3,4)内内,(4,5)内分别有内分别有零点零点.因
22、为因为 f(2)f(3)0,f(3)f(4)0,f(4)f(5)0.习题习题 3.1A组组3.1.2用二分法 方求 程的近似解返回目录返回目录1.什么叫二分法什么叫二分法?2.用二分法求方程用二分法求方程 f(x)=0 的近似根的近似根,是采是采用的什么思想用的什么思想?每一步怎样确定根的位置区间每一步怎样确定根的位置区间?最后怎样确定方程的近似根最后怎样确定方程的近似根?问题问题1.如图如图,因为因为 f(a)f(b)0,所以方程所以方程 f(x)=0在在(a,b)内有根内有根,怎样将根所在的范围再缩小怎样将根所在的范围再缩小?xyoab在在 a 与与 b 之间取一点之间取一点,如中点如中点
23、,2ba+如果如果,0)2(0,2ba+则根在则根在 与与 b 之间之间,2ba+再在再在 与与 b 之间又取中点之间又取中点,如此下去如此下去.2ba+如果如果,0)2(+baf2ba+f(a)0,则根在则根在 a 与与 之间之间,2ba+又如此取中点进行下去又如此取中点进行下去.如如:求方程求方程 lnx+2x-6=0 的近似解的近似解(精确到精确到0.01).f(2)-1.30,则则xyo232.52.75根的位置根的位置中点中点f(中点中点)(2,3)2.5-0.1(2.5,3)2.750.5(2.5,2.75)2.6250.2(2.5,2.625)2.56250.1(2.5,2.56
24、25)2.53125-0.01(2.53125,2.5625)2.5468750.03(2.53125,2.546875)2.5390625 0.01(2.53125,2.5390625)|2.546875-2.53125|=0.015625 0.01,|2.5390625-2.53125|=0.0078125 0.01,则根在则根在 2.53125 与与 2.5390625 之间之间,取取 x2.54.可取可取 x=2.532.2.53,2.54 都在区间外了都在区间外了.对于在区间对于在区间 a,b 上连续不断、且上连续不断、且 f(a)f(b)0 的函数的函数 y=f(x),通过不断地把
25、函数通过不断地把函数 f(x)的零点所在的零点所在的区间一分为二的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零使区间的两个端点逐步逼近零点点,进而得到零点近似值的方法叫做进而得到零点近似值的方法叫做二分法二分法.1.找到找到 a,b,使使 f(a)f(b)0;2.取取 a,b的中点的中点x1,若若 f(x1)=0,则则 x1 就是方程的根就是方程的根,若若f(x1)0,看其正负看其正负;(1)若若 f(a)f(x1)0,则零点在则零点在 a 与与 x1 之间之间,于是于是令令 b=x1(将将 x1 换成换成 b,此时零点又在此时零点又在 a 与与 b 之间之间);3.判断判断|a-b|0,则零点在
26、则零点在 x1 与与 b 之间之间,令令 a=x1(将将 x1 换成换成 a,此时零点还是在此时零点还是在 a 与与 b 之间之间).给定精确度给定精确度 e e,用二分法求方程近似根的用二分法求方程近似根的步骤步骤如下如下:例例2.借助计算器或计算机用二分法求方程借助计算器或计算机用二分法求方程 2x+3x=7 的近似解的近似解(精确到精确到 0.1).解解:设设 f(x)=2x+3x-7,f(1)=-=-2,f(2)=3,由指数函数和一次函数知由指数函数和一次函数知 f(x)是是R上的增函数上的增函数,f(1)f(2)0,取取1与与2的中点的中点1.5,f(1.5)0.3,f(1)f(1.
27、5)0,取取1与与1.5的中点的中点1.25,f(1.25)-0.9,f(1.5)f(1.25)0,取取1.25与与1.5的中点的中点1.375,f(1.375)-0.3,f(1.375)f(1.5)0,取取1.375与与1.5的中点的中点1.4375,f(1.4375)0.02,f(1.375)f(1.4375)0,|1.4375-1.375|=0.0625 0.1,方程的近似解为方程的近似解为 x=1.4.(用表格表示如下用表格表示如下)例例2.借助计算器或计算机用二分法求方程借助计算器或计算机用二分法求方程 2x+3x=7 的近似解的近似解(精确到精确到 0.1).解解:设设 f(x)=
28、2x+3x-7,f(1)=-=-2,f(2)=3,由指数函数和一次函数知由指数函数和一次函数知 f(x)是是R上的增函数上的增函数,f(1)f(2)0,|1.4375-1.375|=0.0625 0.1,方程的近似解为方程的近似解为 x=1.4.解所在区间解所在区间中点中点f(中点中点)(1.2)1.50.3(1,1.5)1.25-0.9(1.25,1.5)1.375-0.3(1.375,1.5)1.43750.02(1.375,1.4375)练习练习:(课本课本91页页)第第 1、2 题题.练习练习:(课本课本91页页)1.借助计算器或计算机借助计算器或计算机,用二分法求函数用二分法求函数
29、f(x)=x3+1.1x2+0.9x-1.4 在区间在区间(0,1)内的零点内的零点(精确度精确度 0.1).解解:采用列表形式采用列表形式:零点所在区间零点所在区间中点中点f(中点中点)(0,1)0.5-0.55(0.5,1)0.750.3(0.5,0.75)0.625-0.16(0.625,0.75)0.68750.06(0.625,0.6875)|0.625-0.6875|=0.0624 0.1,函数在函数在(0,1)内的零点可取内的零点可取 0.63.可取可取 0.6 或或 0.7 吗吗?不行不行,不在不在零点所在区间零点所在区间.可取可取:0.63,0.64,0.65,0.66,0.
30、67,0.68.2.借助计算器或计算机借助计算器或计算机,用二分法求方程用二分法求方程 x=3-lgx 在区间在区间(2,3)内的近似解内的近似解(精确度精确度 0.1).解解:设设 f(x)=lgx+x-3,原方程变形为原方程变形为 lgx+x-3=0,f(2)-0.7,f(3)0.5,解所在区间解所在区间中点中点f(中点中点)(2.3)2.5-0.1(2.5,3)2.750.2(2.5,2.75)2.6250.04(2.5,2.625)2.5625-0.03(2.5625,2.625)|2.5625-2.625|=0.0625 0.1,方程的近似解为方程的近似解为x2.6.【课时小结课时小
31、结】1.二分法二分法 函数函数 y=f(x)在区间在区间 a,b 上连续不断、上连续不断、且且 f(a)f(b)0,通过不断地把函数通过不断地把函数 f(x)的零的零点所在的区间一分为二点所在的区间一分为二,使区间的两个端使区间的两个端点逐步逼近零点点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的进而得到零点近似值的方法叫做方法叫做二分法二分法.【课时小结课时小结】2.用二分法求方程近似根的步骤用二分法求方程近似根的步骤(1)求使求使 f(a)f(b)0 的单调区间的单调区间(a,b);(2)取取 a,b 的中点的中点 x1,若若 f(x1)=0,则则 x1 就是方程就是方程的根的根,若若 f(x1)0,
32、看其正负看其正负;若若 f(a)f(x1)0,则零点在则零点在 a 与与 x1 之间之间,于是于是令令 b=x1(将将 x1 换成换成 b,此时零点又在此时零点又在 a 与与 b 之间之间);(3)判断判断|a-b|0,则零点在则零点在 x1 与与 b 之间之间,令令 a=x1(将将 x1 换成换成 a,此时零点还是在此时零点还是在 a 与与 b 之间之间).习题习题 3.1A 组组第第 1、3、4、5 题题.B 组组第第 1、2、3 题题.习题习题 3.1A 组组 1.下列函数图象与下列函数图象与 x 轴均有交点轴均有交点,其中不能用其中不能用二分法求图中函数零点的图号是二分法求图中函数零点
33、的图号是 (填写上所有填写上所有符合条件的图号符合条件的图号).xyo14237-2-4-6(A)4xyo141-4-4(B)624xyo8142(C)53-24xyo362-3(D)分析分析:用二分法求解需在区间用二分法求解需在区间 a,b 上连续不断上连续不断,且且 f(a)f(b)0 的函数的函数.A、C 图不满足图不满足 f(a)f(b)0.A C 3.借助计算器或计算机借助计算器或计算机,用二分法求方程用二分法求方程(x+1)(x-2)(x-3)=1 在区间在区间(-1,0)内的近似解内的近似解(精确到精确到0.1).解解:方程变形为方程变形为(x+1)(x-2)(x-3)-1=0,
34、设设 f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)-1,f(-1)=-=-1,f(0)=5,解所在区间解所在区间中点中点f(中点中点)(-1,0)-0.53.375(-1,-0.5)-0.751.58(-1,-0.75)-0.8750.39(-1,-0.875)-0.9375-0.28(-0.9375,-0.875)|-0.9375-(-0.875)|=0.06250.1,得方程在得方程在(-1,0)内的近似解为内的近似解为 x=-=-0.9.4.借助计算器或计算机借助计算器或计算机,用二分法求方程用二分法求方程 0.8x-1=lnx 在区间在区间(0,1)内的近似解内的近似解(精确到精确到0.1
35、).解解:方程变形为方程变形为 lnx-0.8x+1=0,设设 f(x)=lnx-0.8x+1,f(0.5)-0.6,f(1)0.2,解所在区间解所在区间中点中点f(中点中点)(0.5,1)0.75-0.13(0.75,1)0.8750.04(0.75,0.875)0.8125-0.04(0.8125,0.875)|0.8125-0.875)|=0.06250.1,得方程在得方程在(0,1)内的近似解可取内的近似解可取 x=0.82.由对数与指数函数知由对数与指数函数知 f(x)在在(0,+)上是增函数上是增函数.5.借助计算器或计算机借助计算器或计算机,用二分法求函数用二分法求函数 f(x)
36、=lnx-在区间在区间(2,3)内的零点内的零点(精确到精确到0.1).x2解解:f(2)-0.3,f(3)0.4,零点所在区间零点所在区间中点中点f(中点中点)(2,3)2.50.12(2,2.5)2.25-0.08(2.25,2.5)2.3750.02(2.25,2.375)2.3125-0.03(2.3125,2.375)|2.3125-2.375)|=0.06250.1,得函数得函数 f(x)在在(2,3)内的零点为内的零点为 x=2.32.B 组组 1.先用求根公式求出方程先用求根公式求出方程 2x2-3x-1=0 的解的解,然后再然后再借助计算器或计算机借助计算器或计算机,用二分法
37、求出这个方程的近似解用二分法求出这个方程的近似解(精确度精确度 0.1).解解:用求根公式得用求根公式得4893+=xx21.8.x1-0.3,B 组组 1.先用求根公式求出方程先用求根公式求出方程 2x2-3x-1=0 的解的解,然后再然后再借助计算器或计算机借助计算器或计算机,用二分法求出这个方程的近似解用二分法求出这个方程的近似解(精确度精确度 0.1).解解:用二分法用二分法:设设 f(x)=2x2-3x-1,xf(x)-213-140-11-22138419函数在函数在(-1,0)内和内和(1,2)内有零点内有零点.B 组组 1.先用求根公式求出方程先用求根公式求出方程 2x2-3x
38、-1=0 的解的解,然后再然后再借助计算器或计算机借助计算器或计算机,用二分法求出这个方程的近似解用二分法求出这个方程的近似解(精确度精确度 0.1).解解:用二分法用二分法:设设 f(x)=2x2-3x-1,f(-1)=4,f(0)=-=-1,根所在区间根所在区间中点中点f(中点中点)(-1,0)-0.51(-0.5,0)-0.25-0.1(-0.375,-0.25)-0.28750.03(-0.2875,-0.25)|-0.2875-(-0.25)|=0.03750.1,(-0.5,-0.25)则这一根在则这一根在-0.28至至-0.25之间之间,-0.3750.4与求根公式求出的一根比较
39、与求根公式求出的一根比较:|-0.28-(-0.3)|=0.020.1.|-0.25-(-0.3)|=0.050.1.B 组组 1.先用求根公式求出方程先用求根公式求出方程 2x2-3x-1=0 的解的解,然后再然后再借助计算器或计算机借助计算器或计算机,用二分法求出这个方程的近似解用二分法求出这个方程的近似解(精确到精确到 0.1).解解:用二分法用二分法:设设 f(x)=2x2-3x-1,f(1)=-=-2,f(2)=1,根所在区间根所在区间中点中点f(中点中点)(1,2)1.5-1(1.5,2)1.75-0.1250.13|1.75-1.8125)|=0.0625 0.1,(1.75,2
40、)方程的另一个根在方程的另一个根在1.75至至1.81之间之间.(1.75,1.875)1.8125(1.75,1.8125)1.8750.4与求根公式求出的另一根比较与求根公式求出的另一根比较:|1.75-(1.8)|=0.050.1.|1.81-(1.8)|=0.010.1.2.借助计算器或计算机借助计算器或计算机,用二分法求方程用二分法求方程 x3+5=6x2+3x 的近似解的近似解(精确度精确度 0.1).解解:方程变为方程变为 x3-6x2-3x+5=0,设设 f(x)=x3-6x2-3x+5,xf(x)-3-2-21-67-11051-32-173-314-395-356-1373
41、38109由表知方程在区间由表知方程在区间(-2,-1)、(0,1)、(6,7)内内分别有根分别有根.2.借助计算器或计算机借助计算器或计算机,用二分法求方程用二分法求方程 x3+5=6x2+3x 的近似解的近似解(精确度精确度 0.1).解解:方程变为方程变为 x3-6x2-3x+5=0,设设 f(x)=x3-6x2-3x+5,f(-2)=-=-210,解所在区间解所在区间中点中点f(中点中点)(-2,-1)-1.5-7.4(-1.5,-1)-1.25-2.6(-1.25,-1)-1.125-0.6(-1.125,-1)-1.06250.2(-1.125,-1.0625)|-1.125-(-
42、1.0625)|=0.06250,f(1)=-=-30,解所在区间解所在区间中点中点f(中点中点)(0,1)0.52.1(0.5,1)0.75-0.2(0.5,0.75)0.6251.0(0.625,0.75)0.68750.1(0.6875,0.75)|0.6875-0.75|=0.0625 0.1,方程的根为方程的根为x1=-=-1.1,x2=0.7,2.借助计算器或计算机借助计算器或计算机,用二分法求方程用二分法求方程 x3+5=6x2+3x 的近似解的近似解(精确度精确度 0.1).解解:方程变为方程变为 x3-6x2-3x+5=0,设设 f(x)=x3-6x2-3x+5,f(6)=-
43、=-130,解所在区间解所在区间中点中点f(中点中点)(6,7)6.56.6(6,6.5)6.25-4.0(6.25,6.5)6.3751.1(6.25,6.375)6.3125-1.5(6.31255,6.375)|6.375-6.3125|=0.0625 0.1,方程的根为方程的根为x1=-=-1.1,x2=0.7,x3=6.32.3.设函数设函数 f(x)=-=-x2-3x-2,g(x)=2-f(x)2.(1)求求 g(x)的解析式的解析式;(2)借助计算器或计算机借助计算器或计算机,画出函数画出函数 g(x)的图象的图象;(3)求出函数求出函数 g(x)的零点的零点(精确度精确度 0.
44、1).解解:(1)g(x)=2-(-x2-3x-2)2=2-(x+1)2(x+2)2(2)xg(x)-5-142-4-34-3-2-22-12-1.51.90-21-342-142xyo1 2-1-2-3-4-52-2-6-10-123.设函数设函数 f(x)=-=-x2-3x-2,g(x)=2-f(x)2.(1)求求 g(x)的解析式的解析式;(2)借助计算器或计算机借助计算器或计算机,画出函数画出函数 g(x)的图象的图象;(3)求出函数求出函数 g(x)的零点的零点(精确度精确度 0.1).解解:(3)由图象知由图象知 g(x)=2-(x+1)2(x+2)2 在在(-3,-2)与与(-1
45、,0)内分别有零点内分别有零点.g(-3)=-=-2,g(-2)=2,解所在区间解所在区间中点中点f(中点中点)(-3,-2)-2.51.4(-3,-2.5)-2.750.3(-3,-2.75)-2.875-0.7(-2.875,-2.75)-2.8125-0.2(-2.8125,-2.75)|-2.8125-(-2.75)|=0.0625 0.1,方程的一根为方程的一根为x1=-=-2.8,3.设函数设函数 f(x)=-=-x2-3x-2,g(x)=2-f(x)2.(1)求求 g(x)的解析式的解析式;(2)借助计算器或计算机借助计算器或计算机,画出函数画出函数 g(x)的图象的图象;(3)
46、求出函数求出函数 g(x)的零点的零点(精确度精确度 0.1).解解:(3)由图象知由图象知 g(x)=2-(x+1)2(x+2)2 在在(-3,-2)与与(-1,0)内分别有零点内分别有零点.g(-1)=2,g(0)=-=-2,解所在区间解所在区间中点中点f(中点中点)(-1,0)-0.51.4(-0.5,0)-0.250.3(-0.25,0)-0.125-0.7(-0.25,-0.125)-0.1875-0.2(-0.1875,-0.125)|-0.1875-(-0.125)|=0.0625 0.1,方程的另一根为方程的另一根为x2=-=-0.18.返回目录返回目录1.方程的根与函数的零点
47、方程的根与函数的零点方程方程 f(x)=0 有实数根有实数根 函数函数 y=f(x)的图象与的图象与 x 轴有交点轴有交点 函数函数 y=f(x)有零点有零点方程方程 f(x)=0 的根的根 就是函数就是函数 y=f(x)的图象与的图象与 x 轴交点的轴交点的 x 坐标坐标;就是就是函数函数 y=f(x)的零点的零点.2.求函数的零点所在区间求函数的零点所在区间(1)求单调区间求单调区间 a,b.(2)判断是否判断是否 f(a)f(b)0:若是若是,则在则在(a,b)内有唯一零点内有唯一零点;否则否则(a,b)内无零点内无零点.3.二分法二分法 函数函数 y=f(x)在区间在区间 a,b 上连
48、续不断、上连续不断、且且 f(a)f(b)0,通过不断地把函数通过不断地把函数 f(x)的零的零点所在的区间一分为二点所在的区间一分为二,使区间的两个端使区间的两个端点逐步逼近零点点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的进而得到零点近似值的方法叫做方法叫做二分法二分法.2.用二分法求方程近似根的步骤用二分法求方程近似根的步骤(1)求使求使 f(a)f(b)0 的单调区间的单调区间(a,b).(2)取取 a,b 的中点的中点 x1,判断判断 f(x1)f(a)及及 f(x1)f(b)的正负的正负.(3)取积为负的两数的区间取积为负的两数的区间,判断区间长度判断区间长度是否小于精确度是否小于精确度 e
49、 e.(4)若满足精确度若满足精确度,则取区间内任一数为近则取区间内任一数为近似根似根;若不满足精确度若不满足精确度,再重复上面的步骤再重复上面的步骤.例例1.已知方程已知方程 2x+x=0 在区间在区间(a,a+1)(a Z)内有一内有一根根,用二分法求方程的近似解时用二分法求方程的近似解时,经过经过 3 次取中点次取中点,则根所则根所在区间是在区间是()(A)(B)(C)(D)43 ,1(-)85 ,43(-)83 ,85(-)41 ,83(-分析分析:首先应求出区间首先应求出区间(a,a+1)中的中的 a.估值整数估值整数 a,使使 f(a)f(a+1)0,f(-1)=2-1-1,021
50、-=则则 a=-=-1.(a,a+1)=(-1,0).分析分析:,0)0(,0)1(-ff,02121)21(-=-f一次中点一次中点:).21 ,1(:-根区间根区间,04381)43(4 0 时时,f(x)=2012x+log2012x,则函数则函数 f(x)的零点个数为的零点个数为()(A)1 (B)2 (C)3 (D)无数个无数个分析分析:定义域为定义域为R的奇函数的奇函数,其图象必过原点其图象必过原点,即必有一个零点为即必有一个零点为 0.当当 x0 时时,f(x)=2012x+log2012x 是增函数是增函数,f(1)=20120,020122012)2012(201220121
