1、1巧用巧用“逆向思维逆向思维”解决运动学问题解决运动学问题集合中集合中子集子集个数与个数与元素元素个数问题个数问题集合中集合中子集子集个数问题个数问题一般地，若一个集合中有一般地，若一个集合中有n个元素，那么它有个元素，那么它有2n个子集，个子集，有有2n-1个真子集，有个真子集，有2n-2个非空真子集个非空真子集.解解 题题 方方 法法集合集合中元素个数中元素个数问题问题card(ABC)=card(A)+card(B)+card(C)-card(AB)一、计数公式法一、计数公式法对任意有限对任意有限集合集合A、B、C有有二、韦恩图法二、韦恩图法当集合元素个数较少而不具体当集合元素个数较少而
2、不具体时时，利用利用集合间的集合间的关系画关系画出出韦恩图韦恩图，设出适当的未知数，建立，设出适当的未知数，建立方程解决方程解决实际问题实际问题.解解 题题 方方 法法-card(AC)-card(CB)+card(ABC)被加了两次被加了两次被加了三次被加了三次被减了三次被减了三次【思路点拨思路点拨】其子集个数为其子集个数为满足条件的集合满足条件的集合A有有8个个在讨论中将这些元素当作已知，在讨论中将这些元素当作已知，注意到所求集合中始终含有的注意到所求集合中始终含有的元素，元素，将问题转化为剩余元素的子集个数问题将问题转化为剩余元素的子集个数问题.集合集合A中始终包含中始终包含元素元素3,
3、423集合中子集个数问题集合中子集个数问题且集合且集合B中不能含有中不能含有1,2,3,4以外的元素以外的元素其子集个数为其子集个数为24=16个个满足条件的满足条件的集合集合B有有16个个集合中子集个数问题集合中子集个数问题 【方法归纳方法归纳】解决这类题的关键是发现集合解决这类题的关键是发现集合B中元素中元素的的特征特征，找到找到问题问题的的实质实质.满足条件的满足条件的集合集合P的个数为的个数为32个个在各组数中各抽出一个代表在各组数中各抽出一个代表反过来反过来，因此因此1和和9要么都在集合要么都在集合P中中，要么要么都不在都不在集合集合P中中要么要么都在集合都在集合P中中，要么要么都不
4、在都不在集合集合P中中同理同理2和和8、3和和7、4和和6与与5一起一起组成集合组成集合 【方法归纳方法归纳】掌握将掌握将不熟悉的问题转化不熟悉的问题转化为熟知的为熟知的问题这种思维问题这种思维方式方式.集合中子集个数问题集合中子集个数问题例例3.学校学校先举办了一次田径运动会，某班有先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参加的有名同学参赛，两次运动会都参加的有3人，两次运动会中，这个班人，两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛共有多少名同学参赛？【思路点拨思路点拨】运用有限集并的元素
5、个数计数公式进行求解运用有限集并的元素个数计数公式进行求解=8+12-3=17两两次运动会中，这个班次运动会中，这个班共有共有17名名同学同学参赛参赛.集合中元素个数问题集合中元素个数问题方法一方法一例例3.学校学校先举办了一次田径运动会，某班有先举办了一次田径运动会，某班有8名同学参赛，又举办了一次球类运动名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有会，这个班有12名同学参赛，两次运动会都参加的有名同学参赛，两次运动会都参加的有3人，两次运动会中，这个班人，两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛共有多少名同学参赛？【思路点拨思路点拨】集合中元素个数问题集合中元素个数问题利用集合间的关系画出韦
6、恩图利用集合间的关系画出韦恩图，把把各部分都标上各部分都标上数据，数据，通过四则运算得通过四则运算得解解.AB两两次运动会中，这个班次运动会中，这个班共有共有17名名同学同学参赛参赛.(3)(5)(9)=5+3+9=17方法二方法二例例4.某班某班共共30人，其中人，其中15人喜爱篮球运动，人喜爱篮球运动，10人喜爱兵乓球运动，人喜爱兵乓球运动，8人对这两项运动人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数是多少？人数是多少？【思路点拨思路点拨】A(篮球篮球)B(乒乓球乒乓球)AB设两者都喜欢的人数为设两者都喜欢的人数为x人人.则只喜
7、爱篮球则只喜爱篮球的人数是的人数是只喜爱乒乓球只喜爱乒乓球的的的人数的人数是是(15-x)+(10-x)+x+8=30 班班级总人数为级总人数为30人人x15-x10-x8U(某班所有学生某班所有学生)两项运动都不喜爱两项运动都不喜爱集合中元素个数问题集合中元素个数问题利用集合间的关系画出韦恩图利用集合间的关系画出韦恩图，设出适当的未知数，建立方程解决设出适当的未知数，建立方程解决只喜爱只喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数是人数是=1215-x10-x12人人例例5.某某班有班有49名名同学同学，参加参加数学、物理数学、物理和和化学化学课外小组课外小组的人数的人数
8、分别分别为为28,25,15(每每人人至至少少参加参加一项一项)，同时，同时参加数学和物理小组的有参加数学和物理小组的有8人人，同时，同时参加参加数学数学和化学小组的有和化学小组的有6人，同时参加人，同时参加物理物理和化学小组的有和化学小组的有7人人，求，求同时参加数学同时参加数学、物理、物理和化学小组的和化学小组的人数？人数？card(ABC)则则card(A)=28card(B)=25card(C)=15card(AB)=8card(AC)=6card(CB)=7card(ABC)=4949=28+25+15-8-6-7+card(ABC)集合中元素个数问题集合中元素个数问题-card(A
9、C)-card(CB)+card(ABC)=card(A)+card(B)+card(C)-card(AB)同时同时参加数学参加数学、物理、物理和化学小组的和化学小组的人数是人数是2人人方法一方法一例例5.某某班有班有49名名同学同学，参加参加数学、物理数学、物理和和化学化学课外小组课外小组的人数的人数分别分别为为28,25,15(每每人人至至少少参加参加一项一项)，同时，同时参加数学和物理小组的有参加数学和物理小组的有8人人，同时，同时参加参加数学数学和化学小组的有和化学小组的有6人，同时参加人，同时参加物理物理和化学小组的有和化学小组的有7人人，求，求同时参加数学同时参加数学、物理、物理和
10、化学小组的和化学小组的人数？人数？A(数学数学)B(物理物理)C(化学化学)集合中元素个数问题集合中元素个数问题设设同时同时参加数学参加数学、物理、物理和化学小组的和化学小组的人数为人数为x人人.则则只只参加数学参加数学、物理，没参加化学的人数是物理，没参加化学的人数是(14+x)+(8-x)+(10+x)+(6-x)+x+(7-x)+(2+x)=49 2314576x8-x6-x7-x14+x10+x2+x只只参加数学参加数学、化学，没参加、化学，没参加物理物理的人数是的人数是只只参加参加物理、化学，没参加物理、化学，没参加数学数学的人数是的人数是只只参加数学参加数学的人数是的人数是 28-
11、(8-x+x+6-x)=14+x8-x6-x7-x只只参加参加物理物理的人数是的人数是 25-(8-x+x+7-x)=10+x只只参加参加化学化学的人数是的人数是 15-(6-x+x+7-x)=2+x同时同时参加数学参加数学、物理、物理和化学小组的和化学小组的人数是人数是2人人方法二方法二归纳总结归纳总结集合中子集个数与元素个数问题集合中子集个数与元素个数问题2.根据交、并、补集中元素的个数求各集合的元素个数问题，根据交、并、补集中元素的个数求各集合的元素个数问题，常使用常使用韦韦恩图，在图中把各部分都标上数据既可作四则运算，恩图，在图中把各部分都标上数据既可作四则运算，又可列方程又可列方程这种图解法对于解决比较复杂的问题，如涉及三这种图解法对于解决比较复杂的问题，如涉及三个及三个以上集合的交、并问题个及三个以上集合的交、并问题，更，更能显示出它的优越性能显示出它的优越性.1.集合集合中子集中子集个数个数问题虽简单，但在解题中常常容易漏掉空集问题虽简单，但在解题中常常容易漏掉空集与与集合本身，一定要予以足够的重视集合本身，一定要予以足够的重视.再见再见
