1、 相似三角形的判定（一）三边成比例的两个三角形相似 相似三角形的判定（一）三边成比例的两个三角形相似1.复习已经学过的三角形相似的判定定理；2.掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法.（重点、难点）学习目标1.复习已经学过的三角形相似的判定定理；学习目标导入新课导入新课回顾与思考问题 如图，DEBC，ADEABC？ABCDE类似于判定三角形全等的SSS方法，我们能不能通过三边来判定两个三角形相似呢？导入新课回顾与思考问题 如图，D E B C，A D E A B C讲授新课讲授新课三边成比例的两个三角形相似合作探究问题：在下面两个三角形中，若 ，ABCABC？.ACCABCCBABBAABCC
2、BA通过画图不难发现A=A，B=B，C=C.所以ABCABC.试利用前面的定理证明该结论.讲授新课三边成比例的两个三角形相似合作探究问题：在下面两个三CBABCA证明:在ABC的边AB(或延长线)上截取AD=AB,过点D作DEBC交AC于点E.AB:AB=BC:BC=CA:CA,DEBC，ADEABC.又AD=AB,AD:AB=AB:AB.DE:BC=BC:BC,EA:CA=CA:CA.因此DE=BC,EA=CA.ABCABC.ADEABC,DEC B A B C A 证明:在A B C 的边A B(或延长线)上截取归纳由此得到三角形的判定定理：三边成比例的两个三角形相似归纳由此得到三角形的判
3、定定理：例1 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由ABCDFE34典例精析例1 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由A B C D F E例1 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由ABCDFE解：在ABC 中，ABBCCA,在DEF中，DEEFFD.ABC DEF.34典例精析例1 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由A B C D F E判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长，分别算出三条对应边的比值，看是否相等，计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应.方法归纳判定三角形相似的方法之一：如果题中给出了两个三角形的三边的长（1）以点O为圆心的圆叫作“
4、圆O”，记为“O”。知识点四 线段大小的比较和线段的画法负数没有平方根。考察内容：（1）有理数：是初中数学的基础内容，中考试题中分值约为3-6分，多以选择题，填空题，计算题的形式出现，难易度属于简单。7幂的乘方与积乘方法则均可逆向运用。第五章二元一次方程组（1）先选取两点，通常选出（0，0）与点（1，k）；=4、常用勾股数：3、4、5 6、8、10 9、12、15 15、20、25 7、24、25 5、12、13 8、15、17 9、40、41k0经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限总述，关于哪个轴对称哪个坐标不变，另一个坐标互为相反数零的平方根是零；（3）运算律已知ABC
5、 和 DEF,根据下列条件判断它们是否相似.(3)AB=12，BC=15，AC24.DE16，EF20，DF30.(2)AB=4，BC=8，AC10.DE20，EF16，DF8.(1)AB=3，BC=4，AC6.DE6，EF8，DF9.练一练（1）以点O 为圆心的圆叫作“圆O”，记为“O”。已知A B已知ABC 和 DEF,根据下列条件判断它们是否相似.(3)AB=12，BC=15，AC24.DE16，EF20，DF30.(2)AB=4，BC=8，AC10.DE20，EF16，DF8.(1)AB=3，BC=4，AC6.DE6，EF8，DF9.是否否（注意：大对大，小对小，中对中）练一练已知A
6、B C 和 D E F,根据下列条件判断它们是否相似.(例2 如图，在 RtABC 与 RtABC中，C=C=90，且 求证：ABCABC.1.2A BA CABAC 例2 如图，在 R t A B C 与 R t A B C 中，例2 如图，在 RtABC 与 RtABC中，C=C=90，且 求证：ABCABC.1.2A BA CABAC 证明：由已知条件得AB=2AB,AC=2AC 从而 BC2=AB2-AC2=(2AB)2-(2AC)2 =4AB2 4AC2 =4(AB2-AC2)=4BC2 =(2BC)2.从而由此得出，BC=2BC,因此 ABCABC.(三边对应成比例的两个三角形相似
7、)1.2B CA BA CBCABAC 例2 如图，在 R t A B C 与 R t A B C 中，例3 如图，在ABC和ADE中，BAD=20,求CAE的度数.ABBCACADDEAEABCDE 例3 如图，在A B C 和A D E 中，例3 如图，在ABC和ADE中，BAD=20,求CAE的度数.ABBCACADDEAE解：ABCADE(三边成比例的两个三角形相似).BAC=DAE.BAC-DAC=DAE-DAC.即 BAD=CAE.BAD=20，CAE=20.ABCDE 例3 如图，在A B C 和A D E 中，当堂练习当堂练习1.根据下列条件，判断ABC与ABC是否相似：AB=
8、4cm，BC=6cm，AC=8cm，AB=12cm，BC=18cm，AC=21cm.当堂练习1.根据下列条件，判断A B C 与A B C 是否相当堂练习当堂练习1.根据下列条件，判断ABC与ABC是否相似：AB=4cm，BC=6cm，AC=8cm，AB=12cm，BC=18cm，AC=21cm.4112361183821ABABBCBCACACABBCACABBCAC解：ABC与ABC不相似.当堂练习1.根据下列条件，判断A B C 与A B C 是否相2.如图,ABC与 ABC相似吗?你用什么方法来支持你的判断?C CB BA AA AB BC C2.如图,A B C 与 A B C 相似
9、吗?你用什么方法2.如图,ABC与 ABC相似吗?你用什么方法来支持你的判断?C CB BA AA AB BC C22.1ABACBCA BA CB CABCA B C 相似与.8,2 10,2 2;ABBCAC4,10,2;A BB CA C 解：这两个三角形相似设1个小方格的边长为1，则2.如图,A B C 与 A B C 相似吗?你用什么方法(x一个值，取正)（x两个值，一正一负）(x一个值，可正可负)能用一次函数解决实际问题。（1）请求出旋转角的度数；又因为DEAC，所以DCE=90-36=54，不能判定一个四边形是平行四边形的条件是()1）两个圆没有公共点，那么就说两个圆相离，其中（
10、1）又叫做外离，（2）、（3）又叫做内含。（3）中两圆的圆心相同，这两个圆还可以叫做同心圆。1平方差公式：两数和与这两数差的积，等于它们的平方差，即。证明切线常用的方法：1.连半径，证垂直；2.作垂直，证半径。不要将同底数幂的乘法与整式的加法相混淆，对乘法，只要底数相同指数就可以相加；而对于加法，不仅底数相同，还要求指数相同才能相加；多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加，其特点是把多项式除以单项式转化成单项式除以单项式，所得商的项数与原多项式的项数相同，另外还要特别注意符号。只有方差没有发生变化；若 直线l与 O相切；3.如图，ABC中，点D、E、F分别是AB、
11、BC、CA的中点，求证：ABCEFD(x 一个值，取正)（x 两个值，一正一负）3.如图，ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，求证：ABCEFDABCEFD.证明：ABC中，点D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，3.如图，A B C 中，点D、E、F 分别是A B、B三边成比例的两个三角形相似 利用三边判定两个三角形相似课堂小结课堂小结相似三角形的判定定理的运用 三边成比例的两个三角形相似 利用三边判定两个三角形相似课堂小 相似三角形的判定（二）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 相似三角形的判定（二）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似1.探索“两边成比例且夹角相等的两
12、个角形相似”的判定定理；2.会根据边和角的关系来判定两个三角形相似.（重点、难点）学习目标1.探索“两边成比例且夹角相等的两个角形相似”的判定定理；学问题1 我们学习过哪些判定三角形全等的方法？问题2 我们目前知道的两个三角形相似有哪些判定方法？导入新课导入新课回顾与思考问题1 我们学习过哪些判定三角形全等的方法？导入新课回顾与讲授新课讲授新课合作探究 任意画ABC;再画ABC，使A=A,且 量出BC及BC的长，计算 的值，并比较是否三边都对应成比例？量出B与B的度数，B=B吗？由此可推出C=C吗？为什么？由上面的画图，你能发现ABC与ABC有何关系？与你周围的同学交流.;ABACkA BA
13、CBCB C两边成比例且夹角相等的两个三角形相似讲授新课合作探究 任意画A B C;两边成比例且夹角相我们来证明一下前面得出的结论：如图，在ABC与ABC中，已知A=A.ABACA BA C在ABC的边AB上截取点D,使AD=AB过点D作DEBC,交AC于点E.DEBC,ADEABC.ABCABC.BACDEBAC我们来证明一下前面得出的结论：如图，在A B C 与A B C AD=AB，AE=AC.又A=A.ADEABC，ABCABC.BACDEBAC A D=A B，B A C D E B A C 由此得到三角形的判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似由此得到三角形的判定定理：抗震
14、救灾中，某县粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓库的粮食，全部转移到具有较强抗震功能的A、B两仓库.已知甲库有粮食100吨，乙库有粮食80吨，而A库的容量为70吨，B库的容量为110吨.从甲、乙两库到A、B两库的路程和运费如下表：(表中“元/吨 千米”表示每吨粮食运送1千米所需人民币)（1）（）圆柱加法交换律 加法结合律知识点四 线段大小的比较和线段的画法线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。2、性质：k的决定直线的倾斜程度，k越大直线越陡，k越小直线越缓AB=2OE=23=6(cm)中任意2个条件推出其他3个结论。例1 在ABC和DEF中，C=F=70，AC=3.5cm,BC
15、=2.5 cm，DF=2.1 cm，EF=1.5 cm.求证：DEFABC.AFECBD典例精析抗震救灾中，某县粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两例1 在ABC和DEF中，C=F=70，AC=3.5cm,BC=2.5 cm，DF=2.1 cm，EF=1.5 cm.求证：DEFABC.AFECBD典例精析证明：AC=3.5cm,BC=2.5cm,DF=2.1cm,EF=1.5cm,又C=F=70，DEFABC（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）例1 在A B C 和D E F 中，C=F=7 0 ，A C=3.如图，ABC与ADE都是等腰三角形，AD=AE，AB=AC，DAB=CA
16、E.求证：ABCADE.练一练 如图，A B C 与A D E 都是等腰三角形，A D=A E，练一练 如图，ABC与ADE都是等腰三角形，AD=AE，AB=AC，DAB=CAE.求证：ABCADE.ABCADE.练一练证明：如图，A B C 与A D E 都是等腰三角形，A D=A E，A B例2 如图，D，E分别是ABC的边AC,AB上的点，AE，AC=2，BC=3,且 ，求DE的长.ACBED例2 如图，D，E 分别是A B C 的边A C,A B 上的点，A解：AE，AC=2，又EAD=CAB,ADEABC DE=例2 如图，D，E分别是ABC的边AC,AB上的点，AE，AC=2，BC
17、=3,且 ，求DE的长.ACB3,4ADAB.ADAEABAC39.44BC ED解：A E，A C=2，例2 如图，D，E 分别是A B C 的例3 如图，在 ABC 中，CD是边AB上的高，且 求证：ACB=90ABCD例3 如图，在 A B C 中，C D 是边A B 上的高，且 例3 如图，在 ABC 中，CD是边AB上的高，且 求证：ACB=90ABCD证明：CD是边AB上的高,ADC=CDB=90.ADCCDB.ACD=B.ACB=ACD+BCD=B+BCD=90.例3 如图，在 A B C 中，C D 是边A B 上的高，且 如果两个三角形的两边成比例，但相等的角不是这两边的夹角
18、，那么两个三角形是否相似呢？画一画，量一量.ABCDEF不相似（类比三角形全等的判定）探究归纳如果两个三角形的两边成比例，但相等的角不是这两边的夹角，那么归纳：如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形不一定相似.注意：相等的角一定要是两条对应边的夹角.归纳：如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边1.判断图中AEB 和FEC是否相似？54303645EAFCB12当堂练习当堂练习()1.判断图中A E B 和F E C 是否相似？5 4 3 0 3 6 4 51.判断图中AEB 和FEC是否相似？解：AEBFEC.12，54303645EAFC
19、B12当堂练习当堂练习()1.判断图中A E B 和F E C 是否相似？解：A E B2.如图，D是ABC一边BC上一点，连接AD,使 ABC DBA的条件是 （）A.AC:BC=AD:BD B.AC:BC=AB:AD C.AB2=CDBC D.AB2=BDBCDACB2.如图，D 是A B C 一边B C 上一点，连接A D,使 A2.如图，D是ABC一边BC上一点，连接AD,使 ABC DBA的条件是 （）A.AC:BC=AD:BD B.AC:BC=AB:AD C.AB2=CDBC D.AB2=BDBCDACBD(2.如图，D 是A B C 一边B C 上一点，连接A D,使 A3.如图
20、，在四边形ABCD中，已知B=ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=，求AD的长ABCD3.如图，在四边形A B C D 中，已知B=A C D，A B=6，ABCDCA3.如图，在四边形ABCD中，已知B=ACD，AB=6，BC=4，AC=5，CD=，求AD的长ABCDA B C D C A 3.如图，在四边形A B C D 中，已知B=两边成比例且夹角相等的两个三角形相似利用两边及夹角判定三角形相似课堂小结课堂小结相似三角形的判定定理的运用 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似利用两边及夹角判定三角 相似三角形的判定（三）两个角分别相等的两个三角形相似 相似三角形的判定（三）两个角分
21、别相等的两个三角形相似学习目标1.探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理；2.掌握利用两角来判定两个三角形相似的方法；（重点、难点）3.掌握判定两个直角三角形相似的方法.学习目标1.探索两角分别相等的两个三角形相似的判定定理；问题问题1 观察学生与老师的直角三角板（30与60），会相似吗？测量一下，得出你的猜想.观察与思考导入新课导入新课问题1 观察学生与老师的直角三角板（3 0 与6 0 ），会相似问题问题2 两个人画出两个三角形，使三个角分别为60，45,75.分别量出两个三角形三边的长度；这两个三角形相似吗?问题2 两个人画出两个三角形，使三个角分别为6 0 ，4 5讲授新课讲授新课
22、如图，ABC与ABC中，A=A,B=B，探究下列问题：（1）请你借助刻度尺度量AB,BC,AC,AB,BC,AC的长，并计算出它们的比值.由此，你能得到什么？CAABBC合作探究两角分别相等的两个三角形相似一（2）试证明ABCABC.讲授新课如图，A B C 与A B C 中，A=A ,证明：在ABC的边 AB（或AB的延长线）上，截取AD=AB，过点 D 作DE/BC，交AC于点 E，则有ADEABC，ADE=B.B=B，ADE=B.又 AD=AB，A=A，ADEABC，ABCABC.CAABBCDE 证明：在A B C 的边 A B（或A B 的延长线）上，截取A由此得到相似三角形的判定定
23、理：两角分别相等的两个三角形相似.由此得到相似三角形的判定定理：如图，ABC中，DEBC,EFAB，求证：ADEEFC.AEFBCD练一练 如图，A B C 中，D E B C,E F A B，A E F B C 如图，ABC中，DEBC,EFAB，求证：ADEEFC.AEFBCD证明:DEBC，EFAB，AEDC，AFEC.ADEEFC.（两角分别相等的两个三角形相似）练一练 如图，A B C 中，D E B C,E F A B，A E F B C典例精析例1.如图，ABC和DEF中，A=40，B=80,E=80 ,F=60 求证：ABCDEF.AFECBD典例精析例1.如图，A B C 和
24、D E F 中，A=4 0 ，B典例精析例1.如图，ABC和DEF中，A=40，B=80,E=80 ,F=60 求证：ABCDEF.AFECBD证明：在 ABC中，A=40 ，B=80 ，C=180 AB=60.在 DEF中，E=80，F=60.B=E，C=F.ABCDEF（两角分别相等的 两个三角形相似）.典例精析例1.如图，A B C 和D E F 中，A=4 0 ，B 例2 如图，弦AB和CD相交于 O内一点P,求证:PAPB=PCPD.证明:连接AC，DB.A和D都是弧CB所对的圆周角 A=_同理 C=_ PAC PDB_ 即PAPB=PCPD 例2 如图，弦A B 和C D 相交于
25、O 内 例2 如图，弦AB和CD相交于 O内一点P,求证:PAPB=PCPD.证明:连接AC，DB.A和D都是弧CB所对的圆周角 A=_同理 C=_ PAC PDB_ 即PAPB=PCPDDBPAPCPDPB 例2 如图，弦A B 和C D 相交于 O 内D B如图，ABD=C,AD=2，AC=8，求AB的长.ABCD做一做如图，A B D=C,A D=2，A C=8，求A B 的长.如图，ABD=C,AD=2，AC=8，求AB的长.ABCD解：A=A ，ABD=C，ABD ACB.AB:AC=AD:AB.AB2=AD AC.AD=2，AC=8，AB=4.做一做如图，A B D=C,A D=2
26、，A C=8，求A B 的长.判定两个直角三角形相似二如图，在RtABC和RtABC中，C=C=90.CAABBC探究归纳根据前面的判定定理，不难得知当 或 时，RtABCRtABC.判定两个直角三角形相似二如图，在R t A B C 和R t A B 判定两个直角三角形相似二如图，在RtABC和RtABC中，C=C=90.CAABBC探究归纳根据前面的判定定理，不难得知当 或 时，RtABCRtABC.A=AB=B判定两个直角三角形相似二如图，在R t A B C 和R t A B 由此得到一个判定直角三角形相似的方法：有一个锐角相等的两个直角三角形相似.由此得到一个判定直角三角形相似的方法
27、：思考：对于两个直角三角形，我们还可以用“HL”判定它们全等，那么，满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗？如图，在RtABC和RtABC中,C=90,C=90,.求证:RtABCRtABC.ABACA BA C CAABBCBCABACB CA BA C 目标：思考：对于两个直角三角形，我们还可以用“H L”判定它们全等，证明：设_=k.由 ，得 Rt ABCRt ABC.,CAkACBAkAB则.22ACABBC22CABACBCBCAkBAkCBACABCBBC222222kCBCBkABACA BA C 勾股定理BCABACB CA BA C CAABBC证明：设_ _ _ _
28、 _ _ _ _ _ _ _ _=k .勾股定理C A A B由此得到另一个判定直角三角形相似的方法：斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.由此得到另一个判定直角三角形相似的方法：当堂练习当堂练习1如图，已知ABDE，AFCE，则图中相似三角形共有()A1对 B2对 C3对 D4对当堂练习1 如图，已知A B D E，A F C E，则图中相似当堂练习当堂练习1如图，已知ABDE，AFCE，则图中相似三角形共有()A1对 B2对 C3对 D4对C当堂练习1 如图，已知A B D E，A F C E，则图中相似2.如图，ABC 的高AD、BE交于点F 求证：.AFEFBFFD2.如图，A B
29、 C 的高A D、B E 交于点F 证明：ABC 的高AD、BE交于点F，FEA=FDB=90,AFE=BFD(对顶角相等).FEA FDB，2.如图，ABC 的高AD、BE交于点F 求证：.AFEFBFFD.AFEFBFFD证明：A B C 的高A D、B E 交于点F，2.如图，A3.如图，在RtABC中，ABC=90，BDAC于D.若 AB=6,AD=2,则AC=.BD=.BC=.18DBCA3.如图，在R t A B C 中，A B C=9 0 ，B D A C 于3.如图，在RtABC中，ABC=90，BDAC于D.若 AB=6,AD=2,则AC=.BD=.BC=.18DBCA3.如图，在R t A B C 中，A B C=9 0 ，B D A C 于4.如图，1=2=3，求证：ABCADE4.如图，1=2=3，4.如图，1=2=3，求证：ABCADE证明：BAC=1+DAC,DAE=3+DAC，1=3，BAC=DAE.C=1802DOC，E=1803AOE.又 DOC=AOE（对顶角相等），C=E.ABCADE4.如图，1=2=3，证明：B A C=1+两角分别相等的两个三角形相似利用两角判定三角形相似课堂小结课堂小结直角三角形相似的判定 两角分别相等的两个三角形相似利用两角判定三角形相似课堂小结
