1、5.1.2导数的概念及其几何意义激趣诱思知识点拨跳水运动员的跳台距水面高度分为5米、7.5米和10米3种,奥运会、世界锦标赛等限用10米跳台.跳台跳水根据起跳方向和动作结构分向前、向后、向内、反身、转体和臂立6组.比赛时,男子要完成 4个有难度系数限制的自选动作和6个无难度系数限制的自选动作,女子要完成4 个有难度系数限制的自选动作和4个无难度系数限制的自选动作.每个动作的最高得分为 10分,以全部动作完成后的得分总和评定成绩.如下图,若表示跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t+11的图象,根据图象,请描述比较曲线h(t)在t=t0,t1,t2
2、附近的变化情况.激趣诱思知识点拨一、函数的平均变化率对于函数y=f(x),设自变量x从x0变化到x0+x,相应地,函数值y就从f(x0)变化到f(x0+x).这时,x的变化量x,y的变化量为y=f(x0+x)-f(x0).叫做函数y=f(x)从x0到x0+x的平均变化率.名师点析1.x是自变量的变化量,它可以为正,也可以为负,但不能等于零,而y是相应函数值的变化量,它可以为正,可以为负,也可以等于零.2.函数平均变化率的物理意义:如果物体的运动规律是s=s(t),那么函数s(t)在t到t+t这段时间内的平均变化率就是物体在这段时间内的平均速率,即激趣诱思知识点拨微练习(1)函数f(x)=8x-
3、6在m,n上的平均变化率为.答案:8 答案:C 激趣诱思知识点拨二、导数的概念 名师点析对于导数的概念,注意以下几点:(1)函数应在点x0的附近有定义,否则导数不存在;(2)导数是一个局部概念,它只与函数y=f(x)在x=x0及其附近的函数值有关,与x无关;(3)导数的实质是一个极限值.激趣诱思知识点拨微思考x,y的值一定是正值吗?平均变化率是否一定为正值?提示:x,y可正可负,y也可以为零,但x不能为零.平均变化率 可正、可负、可为零.微练习利用导数定义求函数f(x)=3x-2在x=5处的导数值.激趣诱思知识点拨三、导数的几何意义如图,在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x),如果当点P
4、(x,f(x)沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0,f(x0)时,割线P0P无限趋近于一个确定的位置,这个确定位置的直线P0T称为曲线y=f(x)在点P0处的切线.则割线P0P的斜率激趣诱思知识点拨记x=x-x0,当点P沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0时,即当x0时,k无限趋近于函数y=f(x)在x=x0处的导数.因此,函数f(x)在x=x0处的导数f(x0)就是切线P0T的斜率k0,即这就是导数的几何意义.激趣诱思知识点拨微练习若函数f(x)在x=3处的导数f(3)=,则曲线f(x)在(3,f(3)处的切线的倾斜角=.答案:60 激趣诱思知识点拨微思考(1)如何求曲线f(x)在点(
5、x0,f(x0)处的切线方程?提示:根据导数的几何意义,求出函数y=f(x)在点(x0,f(x0)处的导数,即曲线在该点处的切线的斜率,再由直线方程的点斜式求出切线方程.(2)曲线f(x)在点(x0,f(x0)处的切线与曲线过点(x0,y0)的切线有什么不同?提示:曲线f(x)在点(x0,f(x0)处的切线,点(x0,f(x0)一定是切点,只要求出k=f(x0),利用点斜式写出切线方程即可;而曲线f(x)过某点(x0,y0)的切线,给出的点(x0,y0)不一定在曲线上,即使在曲线上也不一定是切点.激趣诱思知识点拨(3)曲线在某点处的切线是否与曲线只有一个交点?提示:不一定.曲线y=f(x)在点
6、P(x0,f(x0)处的切线l与曲线y=f(x)的交点个数不一定只有一个,如图所示.激趣诱思知识点拨四、导函数对于函数y=f(x),当x=x0时,f(x0)是一个确定的数.当x变化时,y=f(x)就是x的函数,我们称它为f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y,即名师点析导数与导函数之间既有区别又有联系,导数是对一个点而言的,它是一个确定的值,与给定的函数及x(或x0)的位置有关,而与x无关;导函数是对一个区间而言的,它是一个确定的函数,依赖于函数本身,也与x无关.激趣诱思知识点拨微练习 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测求函数的平均变化率求函数的平均变化率例1已知
7、函数f(x)=-x2,求它在下列区间上的平均变化率:(1)1,3;(2)-4,-2;(3)x0,x0+x.分析:根据平均变化率的定义求解.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟求函数平均变化率的步骤(1)先计算函数值的改变量y=f(x1)-f(x0);(2)再计算自变量的改变量x=x1-x0;探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练1函数f(x)=x2-1在x0到x0+x之间的平均变化率为()A.2x0-1 B.2x0+xC.2x0 x+(x)2D.(x)2-x+1答案:B 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测利用导数的定义求函数的导数利用导数的定义求函数的导数例2(1)
8、求函数y=x-在x=-1处的导数;(2)求函数f(x)=-x2+3x的导数.分析:(1)可按照函数导数的定义分步求解;(2)可以直接利用函数在某一点处的导数的定义求解,也可先求出函数的导函数,再计算导函数在x=-1处的函数值.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟1.利用定义求函数f(x)的导数的步骤:(1)求函数值的改变量y=f(x+x)-f(x);2.求函数f(x)在某一点x0处的导数,通常可以有两种方法:一是直接利用函数在某一点x0处的导数的定义求解;二是先利用导数的定义求出函数的导函数,再计算导函数在x0处的函数值.探究一探究二探究三探
9、究四素养形成当堂检测变式训练2(1)已知f(x)=x2-3x,则f(0)=()A.x-3 B.(x)2-3xC.-3D.0答案:C 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测导数定义式的理解与应用导数定义式的理解与应用 A.f(x0)B.f(-x0)C.-f(x0)D.-f(-x0)分析:将所给极限式进行整理,构造出导数定义中的极限式进行求解.答案:C 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟导数定义式的变形应用在导数的定义式中,自变量的增量x可以有多种表达形式,但不论采用哪种形式,y中自变量的增量x都必须用相应的形式,如将x变为mx,则y=f(x0+mx)-f(x0),只有这样,才有探
10、究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测答案:C 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测导数几何意义的应用导数几何意义的应用例4已知曲线C:y=x3.(1)求曲线C在横坐标为x=1的点处的切线方程;(2)求曲线C过点(1,1)的切线方程.分析:(1)求y|x=1求切点点斜式方程求切线探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测解:(1)将x=1代入曲线C的方程得y=1,切点P(1,1).k=y|x=1=3.曲线在点P(1,1)处的切线方程为y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟导数与斜率的关系及应用 2.利
11、用导数的几何意义求曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线方程的步骤:(1)求函数f(x)在x0处的导数,即切线的斜率;(2)根据直线方程的点斜式可得切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0).3.运用导数的几何意义解决切线问题时,一定要注意所给的点是否恰好在曲线上.若点在曲线上,则该点的导数值就是该点处的切线的斜率.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测延伸探究第(1)小题中的切线与曲线C是否还有其他的公共点?从而求得公共点为P(1,1)或M(-2,-8),即切线与曲线C的公共点除了切点外,还有另一个公共点(-2,-8).探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测根据切线斜率求切
12、点坐标根据切线斜率求切点坐标典例过曲线y=x2上某点P的切线满足下列条件,分别求出P点.(1)平行于直线y=4x-5;(2)垂直于直线2x-6y+5=0;(3)与x轴成135的倾斜角.(1)切线与直线y=4x-5平行,2x0=4,x0=2,y0=4,此时切线方程是y-4=4(x-2),即y=4x-4,与直线y=4x-5平行,P(2,4)是满足条件的点.(2)切线与直线2x-6y+5=0垂直,探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测反思感悟根据切线斜率求切点坐标的步骤(1)设切点坐标(x0,y0);(2)求导函数f(x);(3)求切线的斜率f(x0);(4
13、)由斜率间的关系列出关于x0的方程,解方程求x0;(5)将x0代入f(x)求y0,得切点坐标.探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测变式训练已知曲线y=2x2-7在点P处的切线方程为8x-y-15=0,求切点P的坐标.得k=4m.由题意可知4m=8,m=2,代入y=2x2-7,得n=1.故所求切点P为(2,1).探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测1.(2020陕西高二期末)已知函数f(x)在x=x0处的导数为2,则 答案:C 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测答案:C 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测3.函数f(x)=x2在x=1处的瞬时变化率是.答案:2 探究一探究二探究三探究四素养形成当堂检测
