1、第六章第六章平面向量及其应用平面向量及其应用6.3.5平面向量数量积的坐标表示第一篇第一篇 教材过关教材过关“我知道我一直有双隐形的翅膀,带我飞飞过绝望,不去想他们拥有美丽的太阳,我看见每天的夕阳也会有变化,我知道我一直有双隐形的翅膀,带我飞给我希望”,如果能为平面向量的数量积插上“翅膀”,它又能飞多远呢?本节讲解平面向量数量积的“翅膀”坐标表示.情景导学情景导学精读教材精读教材必备知识必备知识问题:数量积有什么作用呢?答案答案求线段的长度,判断垂直关系,求夹角.平面向量数量积的坐标表示平面向量数量积的坐标表示设非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为.教材研读教材研读
2、坐标表示数量积ab=垂直ab 模|a|2=+或|a|=设A(x1,y1),B(x2,y2),则|=21x21y2211xyAB 夹角cos=|a ba b121222221122x xy yxyxy x1x2+y1y2 x1x2+y1y2=0思考1:若O为坐标原点,点A的坐标为(x,y),则的模表示什么?OA 思考2:若非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab与ab的坐标表示的区别是什么?提示提示易知=(x,y),则|=,即点A到原点的距离.OA OA OA 22xy提示提示 abx1y2=x2y1,即x1y2-x2y1=0,异名积的差相等,即纵横交错积相等;ab x1x2+y1
3、y2=0,同名积的和为0,即横横纵纵积相反.探究一数量积的坐标运算探究一数量积的坐标运算互动探究互动探究关键能力关键能力例例1已知a=(2,-1),b=(3,-2),则(3a-b)(a-2b)=.解析解析解法一:ab=23+(-1)(-2)=8,a2=22+(-1)2=5,b2=32+(-2)2=13,(3a-b)(a-2b)=3a2-7ab+2b2=35-78+213=-15.解法二:a=(2,-1),b=(3,-2),3a-b=(6,-3)-(3,-2)=(3,-1),a-2b=(2,-1)-(6,-4)=(-4,3),(3a-b)(a-2b)=3(-4)+(-1)3=-15.-15变式训
4、练变式训练(变条件,变问法)若存在向量c,满足ac=2,bc=5,则向量c=.(-1,-4)解析解析设c=(x,y),因为ac=2,bc=5,所以解得所以c=(-1,-4).2-2,3-25,x yxy-1,-4,xy思维突破思维突破向量数量积坐标运算的途径进行数量积的运算,要牢记有关的运算法则和运算性质,解题时通常有两条途径:一是先将各向量用坐标表示,直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知条件计算.跟踪训练跟踪训练1-1向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)a=()A.-1 B.0 C.1 D.2解析解析a=(1,-1),b=(-1,2),2a+b
5、=(1,0),(2a+b)a=(1,0)(1,-1)=1.C1-2已知向量a与b同向,b=(1,2),ab=10.(1)求向量a的坐标;(2)若c=(2,-1),求(bc)a.解析解析(1)因为a与b同向,又b(1,2),所以设a=b,则a=(,2).又因为ab=10,所以1+22=10,解得=20,又=2符合a与b同向,a=(2,4).(2)bc=12+2(-1)=0,(bc)a=0(2,4)=0.探究二平面向量的模与垂直问题探究二平面向量的模与垂直问题例例2(1)已知直角梯形ABCD中,ADBC,ADC=90,AD=2,BC=1,P是腰DC上的动点,则|+3|的最小值为 .(2)已知在AB
6、C中,A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),AD为BC边上的高,求|与点D的坐标.PAPB AD 5解析解析(1)以直线DA,DC分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,如图所示.则A(2,0),D(0,0),设CD=a,则B(1,a),C(0,a),设P(0,b)(0ba),则=(2,-b),=(1,a-b),所以+3=(5,3a-4b),PAPB PAPB 所以|+3|=5,所以|+3|的最小值为5.(2)设点D的坐标为(x,y).A(2,-1),B(3,2),C(-3,-1),=(x-2,y+1),=(-6,-3),=(x-3,y-2).D在直线BC上,与共线,存在实数,使=,即(
7、x-3,y-2)=(-6,-3),PAPB 225(3-4)abPAPB AD BC BD BD BC BD BC x-3=2(y-2),即x-2y+1=0.又ADBC,=0,(x-2,y+1)(-6,-3)=0,-6(x-2)-3(y+1)=0,2x+y-3=0.由可得-3-6,-2-3,xyAD BC 1,1,xy点D的坐标为(1,1),=(-1,2),|=.AD AD 22(-1)25思维突破思维突破1.求向量的模的两种基本策略(1)字母表示:用|a|2=a2,将向量的模的运算转化为向量与向量的数量积的运算.(2)坐标表示:若a=(x,y),则|a|2=a2=x2+y2,于是有|a|=.
8、22xy2.利用向量解决垂直问题的步骤(1)建立平面直角坐标系,将相关的向量用坐标表示出来.(2)找到解决问题所要用到的垂直关系的向量.(3)利用向量垂直的相关公式列出参数满足的等式,解出参数值.(4)还原要解决的几何问题.跟踪训练跟踪训练2-1已知向量a=(1,x),b=(1,x-1),若(a-2b)a,则|a-2b|=.解析解析a-2b=(-1,2-x),且(a-2b)a,(a-2b)a=-1+x(2-x)=-x2+2x-1=0,x=1,a-2b=(-1,1),|a-2b|=.22-2已知三点A(2,1),B(3,2),D(-1,4).(1)求证:ABAD;(2)要使四边形ABCD为矩形,
9、求点C的坐标并求矩形ABCD的对角线的长度.解析解析(1)证明:A(2,1),B(3,2),D(-1,4),=(1,1),=(-3,3),则=1(-3)+13=0,即ABAD.(2),四边形ABCD为矩形,=.设点C的坐标为(x,y),则=(x+1,y-4),从而有解得AB AD AB AD AB AD AB AD AB DCDC11,-41,xy 0,5,xy点C的坐标为(0,5),=(-2,4),|=2,矩形ABCD的对角线的长度为2.AC AC 22(-2)455探究三向量的夹角问题探究三向量的夹角问题例例3 (易错题)已知向量a=(2,1),b=(1,k),且a与b的夹角为锐角,则实数
10、k的取值范围是()A.(-2,+)B.C.(-,-2)D.(-2,2)1-2,21,2B解析解析当a与b共线时,2k-1=0,k=,此时a与b方向相同,夹角为0,所以要使a与b的夹角为锐角,则有ab0且a,b不同向.由ab=2+k0,得k-2,且k,即实数k的取值范围是1212.1-2,21,2变式训练变式训练1.(变条件)将本例中的条件“a=(2,1)”改为“a=(-2,1)”,“锐角”改为“钝角”,求实数k的取值范围.解析解析当a与b共线时,-2k-1=0,k=-,此时a与b方向相反,夹角为180,所以要使a与b的夹角为钝角,则有ab0,且a与b不反向.由ab=-2+k0,得k2.由a与b
11、不反向得k-,所以k的取值范围是.12121-,-21-,222.(变条件)将本例中的条件“a与b的夹角为锐角”改为“(a+b)(a-b)”,求实数k的值.解析解析a=(2,1),b=(1,k),(a+b)=(3,1+k),a-b=(1,1-k).(a+b)(a-b),(a+b)(a-b)=(3,1+k)(1,1-k)=0,3+(1-k2)=0,k=2或k=-2.易错点拨易错点拨常因数量积的正负与向量夹角关系不清,而造成过程性失分.利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤(1)求向量的数量积:利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积.(2)求模:若a=(x,y),则用|a|=计算两向量的模
12、.(3)求夹角的余弦值:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),是a与b的夹角,则利用公式cos=可求夹角的余弦值.(4)求角:利用向量夹角的范围及cos,求的值.22xy121222221122x xy yxyxy跟踪训练跟踪训练3-1在平面直角坐标系中,O为坐标原点,=,若绕点O逆时针旋转60得到向量,则=()A.(0,1)B.(1,0)C.D.OA 3 1,22OA OB OB 31,-2213,-22A解析解析在平面直角坐标系中,O为坐标原点,=,sinAOx=,cosAOx=,AOx=30,即和x轴的夹角为30.若绕点O逆时针旋转60得到向量,则BOx=30+60=90.设=(0,
13、b),=11cos 60=0+b,b=1,=(0,1).OA 3 1,221232OA OA OB OB OA OB 12OB 1.已知向量a=(x-5,3),b=(2,x),且ab,则由x的值构成的集合是()A.2,3 B.-1,6 C.2 D.6 课堂检测课堂检测评价检测评价检测素养提升素养提升解析解析a=(x-5,3),b=(2,x),且ab,ab=2(x-5)+3x=0,解得x=2,故由x的值构成的集合是2.C2.(2019课标全国,13,5分)已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则cos=.解析解析由题意知cos=-.|a ba b22222(-8)2 622(-8)62103
14、.(2020课标全国理,14,5分)设a,b为单位向量,且|a+b|=1,则|a-b|=.解析解析由|a+b|=1,得|a+b|2=1,即a2+b2+2ab=1,而|a|=|b|=1,故ab=-,|a-b|=.122|-|a b22ab-2a b1 1 1 34.设向量a=(1,2m),b=(m+1,1),c=(2,m).若(a+c)b,则|a|=.解析解析由题知,a+c=(3,3m),(a+c)b,(a+c)b=0,即3(m+1)+3m=0,解得m=-,a=(1,-1),|a|=.1225.若向量a的始点为A(-2,4),终点为B(2,1),求:(1)向量a的模;(2)与a平行的单位向量的坐
15、标;(3)与a垂直的单位向量的坐标.解析解析(1)a=(2,1)-(-2,4)=(4,-3),|a|=5.(2)与a平行的单位向量是=(4,-3),即或.(3)设与a垂直的单位向量为e=(m,n),由(1)知,ae=4m-3n=0,=,AB 224(-3)|aa1543,-554 3-,5 5mn34又|e|=1,m2+n2=1,由解得或e=或e=.3,545mn3-,54-,5mn3 4,5 534-,-55数学运算利用数形结合思想解决几何问题如图所示,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若=,则的值是 .2AB AF 2AE BF 素养演练素养演练解析解析
16、以A为坐标原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系.则B(,0),D(0,2),C(,2),E(,1).可设F(x,2),因为=(,0)(x,2)=x=,222AB AF 222所以x=1,所以F(1,2),所以=(,1)(1-,2)=.素养探究:对于以图形为背景的向量数量积运算的题目,根据图形的特征建立坐标系,并写出相应点的坐标即可求解,过程中体现了数学运算的核心素养.AE BF 222针对训练针对训练已知,|=(t0),|=t,若点P是ABC所在平面内的一点,且=+,则的最大值等于()A.13 B.15 C.19 D.21AB AC AB 1tAC AP|ABAB 4|ACAC PB PC A解析解析以A为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系,则B(t0),C(0,t),=,=(0,t),=+=t+(0,t)=(1,4),P(1,4),1,0tAB 1,0tAC AP|ABAB 4|ACAC 1,0t4t则=(-1,t-4)=17-17-2=13,当且仅当t=时,取“=”.故的最大值为13.故选A.PB PC 1-1,-4t14tt14tt12PB PC
