1、第第10章章 Z-变换变换The Z-Transform本章主要内容本章主要内容1.双边双边Z变换及其收敛域变换及其收敛域ROC。2.ROC的特征，典型信号的的特征，典型信号的ROC，零极点图。，零极点图。3.Z反变换，利用部分分式展开进行反变换。反变换，利用部分分式展开进行反变换。5.常用信号的常用信号的Z变换，变换，Z变换的性质。变换的性质。6.用用Z变换表征变换表征LTI系统，系统函数，系统，系统函数，LTI系统系统 的的Z变换分析法，系统的级联与并联型结构。变换分析法，系统的级联与并联型结构。4.由零极点图分析系统的特性。由零极点图分析系统的特性。7.单边单边Z变换，增量线性系统的分析
2、。变换，增量线性系统的分析。Z 变换与拉氏变换相对应，是离散时间傅变换与拉氏变换相对应，是离散时间傅立叶变换的推广，也是采样信号的拉氏变换。立叶变换的推广，也是采样信号的拉氏变换。Z 变换的基本思想、性质及其分析方法都与变换的基本思想、性质及其分析方法都与拉氏变换有相似之处。当然，拉氏变换有相似之处。当然，Z 变换与拉氏变换与拉氏变换也存在着一些重要的差异。变换也存在着一些重要的差异。10.0 引言引言(Introduction)10.1 双边双边 Z 变换变换 当当 时，时，即为离散时间傅立叶变换。即为离散时间傅立叶变换。这表明：这表明：DTFT就是在就是在单位单位圆圆上进行的上进行的Z变换
3、。变换。1r jze()()nnX zx n zjzre其中其中 是一个复数。是一个复数。一一.双边双边Z变换的定义变换的定义:The z-Transform因此，因此，Z 变换是对变换是对DTFT的推广的推广。也是采样信号的拉氏变换：也是采样信号的拉氏变换：x t sxt sTnxtx ttx nTtnT ststssnXsxt edtx nTtnTedtstsnTnnx nTtnT edtx nTe 1nsnTX zx n zze二二.Z变换的变换的收敛域（收敛域（ROC）：）：Z变换与变换与DTFT、拉氏变换一样存在着收敛的问题。、拉氏变换一样存在着收敛的问题。1.并非任何信号的并非任何
4、信号的Z变换都存在。变换都存在。2.并非并非Z平面上的任何复数都能使平面上的任何复数都能使 收敛。收敛。Z平面上那些能使平面上那些能使 收敛的点的集合，就收敛的点的集合，就构成了构成了 的的收敛域收敛域（ROC）。）。()X z()X z()X z单位样值序列的单位样值序列的Z变换变换 （与（与 z 无关，无关，可取任意点值，收敛域为整个可取任意点值，收敛域为整个Z平面）平面）0001nnn 1nnnznnZz nn11 因果序列因果序列()()nx na u n101()1nnnX za zaz时收敛时收敛za当当 时，时，ROC包括了单位圆。包括了单位圆。1a 1()1jjX eaeza单
5、位圆单位圆1 1ImReZ平面平面a a此时，此时，的的DTFT存在。存在。()x n()|()jjz eX zX e显然有显然有Case:0a1 na u nn阶跃序列阶跃序列()()x nu n101()1nnX zzz1z 此时，此时，ROC不包括单位圆，所以不包括单位圆，所以不能不能简单地简单地从从 通过将通过将 得到得到 。()X zzje()jX eImReZ平面平面1 1（阶跃序列（阶跃序列Z变换的变换的ROC）1()(2)1jjkX eke 正弦、余弦序列正弦、余弦序列 令令 ，则，则 令令 ，则，则 根据根据 ，可以得出，可以得出 bnbbzZ e u nzeze 0jb 0
6、001jnjjzZ eu nzeze 0jb 001jnjzZ eu nzze njnjeen0021cos0 1cos2cos21cos0202000zzzzezzezznunZjj 1cos2sin21sin020000zzzezzezzjnunZjj0001sin2jnjnneej例：例：解：解：nunZnunZnunZsincoscossinsin0001cos2sincos1cos2cossin0202020zzzzzzz1cos2sincoscossinsin02002zzzzz1cos2sinsin0202zzzz nun0sin2 反因果序列反因果序列()(1)nx na un
7、 11()nnnnnnX za za z111111a za zaz|a|ReZ平面平面ImzaROC:3 双边序列双边序列1()()2(1)2nnx nu nun 10111()221111 212nnnnnnX zzzzz1ROC:22z 一般情况下，双边序列一般情况下，双边序列 的的ROC是是 Z 平平面上一个面上一个以原点为中心的圆环。以原点为中心的圆环。()X z2 21/21/2Z平面平面ImRe4 有限长序列有限长序列 ，只在，只在 上有值。上有值。()(1)()(1)x nnnn1()(1)()(1)1nnX znnnzzz ROC:0z()1nROC:0z 00()nnnz0
8、ROC:0,0zfor n 0ROC:0,0zfor n 有限长序列变换的收敛域是至少为有限长序列变换的收敛域是至少为0z nx21nnn例：例：有限长序列的收敛域分以下几种情况：有限长序列的收敛域分以下几种情况：时，序列的收敛域为：时，序列的收敛域为：，包括点，包括点 ；时，序列的收敛域为：时，序列的收敛域为：不包括点不包括点 ；时，序列的收敛域为：时，序列的收敛域为：。01n0zz02nzz0,021nn z0 21121111nnnznxznxznxnxZ序列的收敛域大致有以下几种情况：序列的收敛域大致有以下几种情况：(1)对于有限长序列，其双边对于有限长序列，其双边z变换在整个平面，可
9、能不变换在整个平面，可能不含含0和和；(2)对因果序列，其对因果序列，其z变换的收敛域为某个圆外区域变换的收敛域为某个圆外区域含含；(3)对反因果序列，其对反因果序列，其z变换的收敛域为某个圆内区域变换的收敛域为某个圆内区域含含0即原点即原点；(4)对双边序列，其对双边序列，其z变换的收敛域为环状区域；变换的收敛域为环状区域；没有正幂项没有负幂项1()()(1)(0)(1)nnX zx n zxzxxz正幂项负幂项结结 论：论：1）Z变换存在着收敛问题，不是任何信号都存变换存在着收敛问题，不是任何信号都存在在Z变换，也不是任何复数变换，也不是任何复数Z都能使都能使 收敛。收敛。()X z()X
10、 z()X z()x n2）仅仅由）仅仅由 的表达式不能唯一地确定一个信的表达式不能唯一地确定一个信号，只有号，只有 连同相应的连同相应的ROC一道，才能与信一道，才能与信号号 建立一一对应的关系。建立一一对应的关系。3）Z变换的变换的ROC，一般是，一般是Z平面上以原点为中平面上以原点为中心的环形区域。心的环形区域。4）如果）如果 ，则其，则其ROC是各个是各个 的的ROC的公共部分。若没有公共区域则表明的公共部分。若没有公共区域则表明 的的Z变换不存在。变换不存在。()()iix nx n()ix n()x n5）若）若 的的ROC包括单位圆，则有包括单位圆，则有()X z()()|jjz
11、 eX eX z10.2 Z 变换的变换的ROCThe Region of Convergence for the z-Transform右边序列和左边序列右边序列和左边序列ROC的特征：的特征：1.右边序列的右边序列的ROC是某个圆的外部，但可能是某个圆的外部，但可能不包括不包括 。z 1()()nn nX zx n z则则()x n设设 是右边序列，定义于是右边序列，定义于 ，1,n110101()()()nnnn Nn Nrx n rx n rr10rr则则如果如果 ，11001()()nnn Nrx n rr 1ROCzr 当当 时时,由于由于 的展开式中有若干个的展开式中有若干个Z
12、的正幂项，此时的正幂项，此时 不能为不能为 。10n z()X z例如，因果序列的例如，因果序列的ROC是是某个圆的外部包括某个圆的外部包括若若 ，则有，则有0ROCzr10()nn Nx n r 5.左边序列的左边序列的ROC是某个圆的内部，但可能不包是某个圆的内部，但可能不包括括 。0z 例如，反因果序列的例如，反因果序列的ROC是某个圆的内部包括是某个圆的内部包括002n时，序列的收敛域不包括时，序列的收敛域不包括z=0z=0ROC是否包括是否包括 ，是，是 是否反因果的标志。是否反因果的标志。0z()x nz()x nROC是否包括是否包括 ，是，是 是否因果的标志。是否因果的标志。6
13、.双边序列的双边序列的Z变换若存在，则变换若存在，则ROC必为一环形区域必为一环形区域例例.(),0nx nbb()()(1)nnx nb u nb un 11(),1nb u nzbbz1111(1),1nb unzbb z 在在 时，两部分的收敛域无公共部分，时，两部分的收敛域无公共部分，表明此时表明此时 不存在。不存在。1b()X zb b1/b1/bZ平面平面ImRe01b时，时，ROC为为1/bzb若若b0?例例.111()1(1)(1 2)3X zzz1/32ReIm0 0(2)零点：零点：121,23zz0z（二阶）（二阶）极点：极点：若其若其ROC为：为：12z 则则 为右边序
14、列且是因果序列，为右边序列且是因果序列，但其傅立叶变换不存在。但其傅立叶变换不存在。()x n时时 是左边序列且是反因果序列，是左边序列且是反因果序列，其傅立叶变换不存在。其傅立叶变换不存在。213z()x n 时时 是双边序列，其傅立叶变是双边序列，其傅立叶变换存在。换存在。3123z()x n0 0和和处收敛性规律：处收敛性规律：n的取值范围包含的取值范围包含n0 时，则时，则Z变换出现负幂项，变换出现负幂项，列的收敛域不包括点列的收敛域不包括点n的取值范围既含的取值范围既含n0时，序列的收时，序列的收敛域既不包括敛域既不包括 ，也不包括，也不包括z|0z z|0z 例例：求下列各式的：求
15、下列各式的Z变换，并注明其收敛域。变换，并注明其收敛域。解：解：注意注意0 0 和和处的收敛性。处的收敛性。收敛域为收敛域为 收敛域为收敛域为 1,0nnx na u nb unba a nnx 3nun131 111111X zazbzbza 111208333 103nnnnnnzX zzzzz 331 z 1021nunun552nunun 收敛域为收敛域为 收敛域为收敛域为 收敛域为收敛域为 551 1041521(2)212nnnnzzX zzz z0 11090212121zzzzXnnnn z0 11211(3)1(3)31 339nnnnnzX zzzzzz310 znun13
16、1 1021nunun552nunun10.3 Z-反变换反变换一一.Z-反变换：反变换：The Inverse Z-Transform11()()2ncx nX z zdzj 其中其中 C 是是 ROC 中逆时针方向的中逆时针方向的圆周。圆周。1.部分分式展开法：部分分式展开法：1()1iiiAX za z二二.反变换的求取：反变换的求取：()X z当当 是有理函数时，可将其展开为是有理函数时，可将其展开为部分分式部分分式步骤步骤：1.求出求出 的所有极点的所有极点 ；2.将将 展开为部分分式；展开为部分分式；()X zia()X z3.根据总的根据总的ROC，确定每一项的，确定每一项的RO
17、C；4.利用常用变换对和利用常用变换对和Z变换变换性质求出每一性质求出每一项的反变换。项的反变换。例例：求：求 的逆变换的逆变换 的序列的序列 的序列。的序列。解：解：当当 时，第二时，第二 项代表因果序列，项代表因果序列，所以所以 当当 时，时，故故 zzX111z1z1z11(1)()1nu nz 1()111nnx nnu nu n 1z()111nnx nnunun 111111111zX zzzz 11(1)(1)1nunz 例：例：111536()11(1)(1)43zX zzz1143z将将 展开为部分分式有：展开为部分分式有：()X z11()()()2()(1)43nnx n
18、u nun 1112()111143X zzz1ROC2ROC1ROC:|1/4z 2ROC:|1/3z 如果极点为高阶极点呢？如果极点为高阶极点呢？国内教材介绍的部分分式法国内教材介绍的部分分式法1.基本公式：基本公式：因果序列因果序列反因果序列反因果序列 azazznuan1nza unzaza 1(1).(2)(1)!n mmn nnmzau nzamza1(1).(2)1(1)!n mmn nnmzaunzamza 严格的证明需要z域微分特性。2.基本原理：（真分式情形）基本原理：（真分式情形）第一步第一步X(z)除以除以z；第二步，对；第二步，对 进行部分分式展开进行部分分式展开 X
19、 zz00()MkkkNkkkb zX zMNa z例例：求：求 可能的收敛域及对应的逆变换可能的收敛域及对应的逆变换解：解：当当 ，序列为左边序列；，序列为左边序列；当当 ，序列为因果序列。，序列为因果序列。5.012zzzX5.00 z3321321()12488(0.5)0.50.5X zABCDzzzzzzzzzzz218()2480.5zX zzzz 15.0881422nunnnnxn5.0z nunnnnxn5.0881422例例：求：求 可能的收敛域及对应的逆可能的收敛域及对应的逆变换。变换。解：解：当当 时，序列为反因果序列；时，序列为反因果序列；当当 时，序列为双边序列；时
20、，序列为双边序列；当当 时，序列为右边序列。时，序列为右边序列。15.03zzzzX2()1.50.510.5110.510.51X zzzABzzzzzzz 5.0z 112 10.514nnx nnun 15.0 z 2()(1)2(1)0.5nx nnunu n 1z nunnxn25.012 12410.5zzX zzzz2.幂级数展开法幂级数展开法:（长除法）（长除法）由由 的定义，将其展开为幂级数，有的定义，将其展开为幂级数，有 ()X z()()(1)nX zxn zxz12(0)(1)2)(nx n zxxzxz 展开式中展开式中 项的系数即为项的系数即为 。当。当 是是有理函
21、数时，可以通过长除的方法将其展开为有理函数时，可以通过长除的方法将其展开为幂级数。幂级数。nz()x n()X zv 由于由于右边序列右边序列的展开式中应包含无数多个的展开式中应包含无数多个Z的负幂项，所以要的负幂项，所以要按降幂长除。按降幂长除。v 由于由于左边序列左边序列的展开式中应包含无数多个的展开式中应包含无数多个Z的正幂项，所以要的正幂项，所以要按升幂长除。按升幂长除。v 对双边序列，先要将其分成对应信号的右边对双边序列，先要将其分成对应信号的右边和左边的两部分，再分别按上述原则长除。和左边的两部分，再分别按上述原则长除。幂级数展开法的缺点是当幂级数展开法的缺点是当 较复杂（含较复杂
22、（含多个极点时）难以得出多个极点时）难以得出 的闭式。的闭式。()X z()x n例例：求：求 的逆变换。的逆变换。的序列的序列 的序列的序列 解解:(1)，降幂排列，降幂排列(2)，升幂排列，升幂排列 11zzzX1z10 z1z 234211.1X zzzzz zzz10 z 122111.1X zzz zz zz z 234211122.11zzzzzzzzzz122221.11zz zz zzzz zz ()(2)x nu n()(1)x nun 例例求：求：的逆变换。的逆变换。的序列的序列 的序列。的序列。解解:(1)，降幂排列，降幂排列 (2)，升幂排列，升幂排列 21zzzX1z
23、1z1z 123223.21zX zzzzzz1z 222.1 2zX zzzz z 123211121223.21222 4232zzzzzzzzzzzzz()(1)x nnu n()(1)x nnun 23223232343423.1 22224232zzzz zzzzzzzzzzzztu(t-1)的离散 当当ROC包括包括 时，时，Z 变换在单位圆上的情变换在单位圆上的情况就是况就是 ，因此也可以利用零极点图对其，因此也可以利用零极点图对其进行几何求值。进行几何求值。1z()jX e10.4.由零极点图对离散时间傅立叶由零极点图对离散时间傅立叶变换几何求值变换几何求值Geometric
24、Evaluation of the Fourier Transform from the Pole-Zero Plot 其方法与拉氏变换时完全类似：其方法与拉氏变换时完全类似：考查动点在单位圆上移动一周时，考查动点在单位圆上移动一周时，从从-,各各极点矢量和零点矢量的长度与幅角变化的情况，极点矢量和零点矢量的长度与幅角变化的情况，即可反映系统的频率特性。即可反映系统的频率特性。例例1.已知一阶系统已知一阶系统 ，其，其单位脉冲响应为单位脉冲响应为 ，分析其频率特，分析其频率特性性()(1)()y nay nx n()()nh na u n11(),1H zzaaz当当 时，时，ROC包括单位圆
25、（稳定性要求）。包括单位圆（稳定性要求）。1a 1()1jjH eae系统函数系统函数因此频率响应为因此频率响应为12()/jH eVV 显然，显然，取决于取决于 的变化。的变化。11,V()jH e2V()jH e当当 时，时，有最小值。有最小值。随随 呈单调变化。呈单调变化。()jH e0()jH e在在 处，处，有最大值。有最大值。a a1V2V jeRe zjIm z1 1(0,)上上(-,0)偶对称偶对称()zH zza()jjjeH eeavCase 1Case 101a0.95a 0.5a 幅频特性幅频特性0.95a 相频特性相频特性一阶系统的频率特性：一阶系统的频率特性：01a
26、 越小，极点靠原点越近，系统的频率响越小，极点靠原点越近，系统的频率响应越平缓，系统的带宽越宽；此时应越平缓，系统的带宽越宽；此时 衰减衰减越快。越快。a()h n 越大，极点靠单位圆越近，系统频响越越大，极点靠单位圆越近，系统频响越尖锐，频响的极大值越大，系统带宽越窄，尖锐，频响的极大值越大，系统带宽越窄，相位的非线性程度越厉害。相位的非线性程度越厉害。a可以看出：可以看出：()()nh na u n若若 ，则系统呈，则系统呈“高通高通”特性；特性；若若 ，则系统呈，则系统呈“全通全通”特性。特性。110a 10a n0 h n0111 a111+a20 2s2scos211121aaeHj
27、 cos1sin11aaarctg离散系统各种频响特性离散系统各种频响特性注意：注意：要看要看 ，实际看，实际看 低通低通 高通高通带通带通c1c2ccc2420带阻带阻全通全通1c2c例例：求下图所示离散系统的频响。：求下图所示离散系统的频响。,解：解：，系统稳定。，系统稳定。6.01a05.02a4.01b1z1z1z2a1a1b ny nx 112112()()Y zb z X za za zY z 1112120.410.50.10.50.1b zzzzH za za zzzzz nunhnn1.05.00.40.50.1jjjjeH eeejeH2低通特性低通特性1.05.0 例例
28、求下图离散系统的频响特性，并指出类型。设求下图离散系统的频响特性，并指出类型。设解：该系统的解：该系统的z z域方程为域方程为系统函数为系统函数为1z1z1z2b1b1b ny nx2b1z1 12122112()()()Y zbb zzX zb zb zY z12*2121112*1211()()()1()()bb zzb zzzzH zb zb zzpzp21240bb21240bb，系统函数具有一对共轭极点与一对共轭零点，系统函数具有一对共轭极点与一对共轭零点，且极点与零点模互为倒数，辐角相等。且极点与零点模互为倒数，辐角相等。*211121|z zzb*21112|p ppbp1z12
29、1211242bjbbzb2121142bjbbp系统因果稳定性要求系统因果稳定性要求b b2 211故该系统为全通系统（幅频特性为常数）故该系统为全通系统（幅频特性为常数）22121121212122221122121222212(coscos2)(sinsin2)()1(1coscos2)(sinsin2)(coscos2)(sinsin2)()(1coscos2)(sinsin2)12jjjjjjbbeebbj bH ebeb ebbj bbbbbH ebbbbbbb 121221212 12cos2cos22cos112cos2cos2cos2bbbbbbb bb结论：结论：零点零点和
30、和极点极点关于单位圆关于单位圆镜像对称分布（镜像对称分布（极点在单位圆极点在单位圆内，零点在单位圆外，模互为倒数，辐角相等内，零点在单位圆外，模互为倒数，辐角相等）的系）的系统是全通的。统是全通的。频响特性：频响特性：Z变换的许多性质与变换的许多性质与DTFT的性质相似，其推的性质相似，其推 论方法也相同。这里主要讨论其论方法也相同。这里主要讨论其ROC的变化。的变化。11()()x nXz1ROC:R22()()x nXz2ROC:R则则1212()()()()ax nbx naXzbXzROC：包括：包括12RR10.5 Z变换的性质变换的性质1.线性：线性：Properties of t
31、he Z-transformv 如果在线性组合过程中出现零极点相抵消，如果在线性组合过程中出现零极点相抵消，则则ROC可能会扩大。可能会扩大。例例：求：求 的的Z变换。变换。解：解：1nuanuanxnn azazzazzanuaZnnnn1011azazaazazzanuaZnnnn111111 11znnzaZ a u na u nzaza收收敛敛域域扩扩大大为为整整个个 平平面面2.时移：时移：但在但在 和和 可能会有改变。可能会有改变。ROC:R0z z v 由于信号时移可能会改变其因果性，故会由于信号时移可能会改变其因果性，故会使使ROC 在在 ，有可能改变。有可能改变。0z z (
32、)()x nX zROC:R若若00()()nx nnX z z则则00()nnnz例如例如ROC：?()1n3.Z域尺度变换域尺度变换：（序列的指数加权）：（序列的指数加权）()()x nX zROC:R若若()(/)na x nX z aROC:a R则则当当 时，即为时，即为频移特性频移特性。0jae 1nx nXzz域域反反转转当当 时，时，1a 1()()sx atXaaROC:aR0()(/)()jX z aX re 4.时域反转：时域反转：()()x nX zROC:R若若1()()xnX zROC:1/R(收敛域边界倒置收敛域边界倒置)则则()(),xtXsROC:R则则 的的
33、ROC为为1()X z223z例：例：()X z的的ROC为为1322z若若6.共轭对称性：共轭对称性：v当当 是实信号时，是实信号时，于是，于是有有()x n*()()x nx n*()()X zXz表明表明如果如果 有复数零极点，必共轭成对出现。有复数零极点，必共轭成对出现。()X z()()x nX zROC:R若若*()()x nXzROC:R则则()(),x tXsROC:R()()x tXj12RRROC包括包括 如果在相乘时出现零极点抵消的情况则如果在相乘时出现零极点抵消的情况则ROC可能会扩大。可能会扩大。该性质是该性质是LTI系统系统Z变换分析法的理论基础。变换分析法的理论基
34、础。22()()xnXz2ROC:R1212()()()()x nx nXz Xz则则7.卷积性质：卷积性质：11()()x nXz1ROC:R若若例例：求求 求求解：解：nubnhnuanxnn,nhnx 1,nuanuanhnunxnn nhnx bzbzazazbabzazzbzzazzzHzX12baz,max nubababzbzazazbaZnhnxnn11111 1max,11zzzzX z H zzzazazz az az a nuanhnxn8.Z域微分域微分：（或时域线性加权）：（或时域线性加权）()()x nX zROC:R若若()()dX znx nzdz ROC:R则
35、则 nnnnnnd zdX zdX zx n zzzx n zzx ndzdzdz 1nnnndX zzx nn znx n zZ nx nZ nx nzdz 证明：证明：例例：求的求的 Z变换变换 解：解：azzazaznuaZnunaZnuanZnnn212222azzazazzaz nuann111()1dX zazzdzaz11()()(1)()(1)nnax nau na u nnn 21(),1dX zazdzaz例：例：1()ln(1)X zazza解：解：11()(),1nau naz 111()(1)1nzau naz 111()()(1)()1ndX zazzaau nnx
36、 ndzaz 初值定理初值定理适用于右边序列适用于右边序列，即适用于，即适用于nN(N为为整数整数)时时x(n)=0的序列。它用于由象函数直接求得序的序列。它用于由象函数直接求得序列的初值列的初值x(N),而不必求得原序列。而不必求得原序列。()()x nX z()lim()Nzx Nz X z对于右边序列对于右边序列x(n)，当，当nN时，时，x(n)=0，a|z|则序列的初值则序列的初值特例：特例：对因果序列对因果序列 x(n)，(0)lim()zxX z=教材的初值定理教材的初值定理9.初值定理：初值定理：如果如果 是是因果信号因果信号，且在，且在 不不包含奇异函数，则包含奇异函数，则(
37、)x t0t(0)lim()sxsX s初值定理的证明：初值定理的证明：对于右边序列：对于右边序列：nN时，时，x(n)=0，则则 因此有因此有显然显然(1)(2)()()()(1)(2)nnNNNnn NX zx n zx n zx N zx Nzx Nz 12()(1)(2)NzXzx Nx Nzx Nz()lim()Nzx Nz X z 若若 是右边信号，且是右边信号，且 ，除了在除了在 可以有一阶极点外，其它极点均可以有一阶极点外，其它极点均在单位圆内，则在单位圆内，则 ()x n()()x nX z()X z1z1(1)()limzzX z()limnx n证明：证明：(1)()zX
38、 z在单位圆上无极点在单位圆上无极点 除了在除了在 可以有可以有 单阶极点外，其它极点均在单位圆内，单阶极点外，其它极点均在单位圆内，()0,x n,nN()X z1z 10.终值定理终值定理：终值定理也适用于终值定理也适用于右边序列右边序列 如果如果 是是因果信号因果信号，且在，且在 不包含奇异不包含奇异函数，函数，除了在除了在 可以有单阶极点外，其可以有单阶极点外，其余极点均在余极点均在S平面的左半边，则平面的左半边，则()x t0t()X s0s0lim()lim()tsx tsX s1111(1)()(1)()limlim(1)()zznn Nn NzX zx nx n zx nx n
39、(1)()(1)lim)(1)mx Nxx Nx NxNx mm(1)()limlimmnx mx n根据时移性质根据时移性质10.6 常用信号的常用信号的Z变换对变换对10.7 利用利用Z变换分析与表征变换分析与表征LTI系统系统 一一.系统特性与系统特性与 的关系的关系:()H z（表（表10.2）Some Common Z-Transform PairsAnalysis and Characterization of LTI Systems Using Z-Transforms()H z()h n()jH e LTI系统的特性可以由系统的特性可以由 或或 描述，因描述，因而也可以由而也可
40、以由 连同连同ROC来表征。来表征。()H zz 1.因果性：因果性：如果如果LTI系统是因果的，则系统是因果的，则 时时 有有 所以所以,的的ROC是最外部极点的是最外部极点的外部，外部，并且包括并且包括 。()0,h n 0n 称为称为系统函数。系统函数。系统的特性应该在系统系统的特性应该在系统函数中有所表现。函数中有所表现。()H z2.稳定性：稳定性：若若LTI系统稳定，则系统稳定，则 ，即即 的的DTFT存在，表明单位圆在存在，表明单位圆在 的的ROC内。内。()nh n()h n()H z()H z即即 的的ROC必包括单位圆。必包括单位圆。因此，因此，因果稳定的因果稳定的LTI系
41、统其系统其 的全部极的全部极点必须位于单位圆内，反之亦然。点必须位于单位圆内，反之亦然。当当 是关是关于于 Z 的有理函数时，因果性要求的有理函数时，因果性要求 的分子阶的分子阶数不能高于分母阶数。数不能高于分母阶数。?()H z()H z()H z例如例如 不是因果信号不是因果信号2(1),(2),nznz即即H(z)不能出现正幂项，不能出现正幂项，ROC包括包括 3）由由 得出得出 并确定它并确定它 的的ROC包括包括 。4）对对 做反变换得到做反变换得到 。()()()Y zX z H z12RR()y n()Y z()Y z二二.LTI系统的系统的Z变换分析法：变换分析法：1）由由 求
42、得求得 及其及其 。2）由系统的描述求得由系统的描述求得 及其及其 。()x n1ROC:R()H z2ROC:R()X z分析步骤：分析步骤：00()()NNkkkkkka z Y zb zX z00()NkkkNkkkb zH za z是一个有理函数。是一个有理函数。()H z的的ROC需要通过其它条件确定，如：需要通过其它条件确定，如：1.系统的因果性或稳定性。系统的因果性或稳定性。2.系统是否具有零初始条件等。系统是否具有零初始条件等。三三.由由LCCDE描述的描述的LTI系统的系统的 :()H z00()()NNkkkka y nkb x nk对方程两边做对方程两边做Z变换可得：变换
43、可得：例：例：由下列差分方程画出网络结构，并求其系由下列差分方程画出网络结构，并求其系统函数统函数 H(z)和单位脉冲响应和单位脉冲响应 h(n)。)3(8)1(5)()()1(nxnxnxny解：解：由方程可得由方程可得)()851()(31zXzzzY31851)(zzzH)3(8)1(5)()(nnnnhFIR)(nx1z1z1z158)(nyFinite Impulse Response绝对稳定，线性相位，实现简单)()3()2(3)1(3)()2(nxnynynyny)()()331(321zXzYzzz31)1(1)(zzH)()2)(1(21)(nunnnh解：解：由方程可得由方
44、程可得利用利用Z变换的性质可得变换的性质可得IIR)(nx1z1z1z)(ny331Infinite Impulse Response幅频特性好，但稳定性差，设计复杂例例:某因果稳定系统的系统函数为有理函数，它在某因果稳定系统的系统函数为有理函数，它在0.5有一个极点，且在单位圆上某处有一个零点，其有一个极点，且在单位圆上某处有一个零点，其余零极点不知。判断下列说法：余零极点不知。判断下列说法：1)h(n)0.5n的离散傅立叶变换收敛；的离散傅立叶变换收敛；2)对某一对某一有有H(ej)=03)h(n)有限长；有限长；4)是一稳定系统的单位脉冲响应；是一稳定系统的单位脉冲响应；5)h(n)是实
45、序列；是实序列；x无法判断()()n h nh n 一一.系统互联的系统函数系统互联的系统函数:1()Hz2()Hz1R2R12()()()H zHz HzROC包括包括12RR10.8 系统函数的代数属性与方框图表示系统函数的代数属性与方框图表示System Function Algebra and Block Diagram Representations1.级联：级联：12()()()H zHzHzROC包括包括12RR3.反馈联接：反馈联接：2.并联：并联：1()X z()X z1()Hz()G z1R2R()Y z 由系统框图可由系统框图可列出如下方程：列出如下方程：1()H z2(
46、)H z1R2R1()()()()XzX zY z G z11()()()Y zXz H z11()()()()()X z H zY z H z G z11()()1()()HzH zHz G zROC：包括：包括12RR 由由LCCDE描述的描述的LTI系统，其系统函数为有系统，其系统函数为有理函数，可将其因式分解或展开为部分分式。理函数，可将其因式分解或展开为部分分式。二二.LTI系统的级联与并联结构：系统的级联与并联结构：1.级联型：级联型：10011001()1NkkNkkNkkkkkb zbzH zaza z12201212101211Nkkkkkbzzazzaa/2010()Nkk
47、bHza 其中其中 是二阶（或一阶）系统函数。是二阶（或一阶）系统函数。()kHz将将 因式分解，在无重阶零极点时可得因式分解，在无重阶零极点时可得()H zN为偶数时为偶数时 由每个由每个 可得子系统的差分方程和时域框图。可得子系统的差分方程和时域框图。()kHzD DD DD DD D()x n00ba11a21a112112Na22Na12N22N()y nLTI系统的级联型结构系统的级联型结构由此即可得整个由此即可得整个系统的级联型结构系统的级联型结构：0110()1NkkkbAH zaz/2010()NkkbHza2.并联型：并联型：将将 展开为部分分式，在无重阶极点时有展开为部分分
48、式，在无重阶极点时有()H z1/20011210121Nkkkkkbrr zazzaaN为偶数时为偶数时 由每个由每个 可得子系统的差分方程和时域框图。可得子系统的差分方程和时域框图。()kHzDD()x n11a21a22Na12Na()y n00/baDD12Nr02Nr01r11rLTI系统的并联型结构系统的并联型结构由此即可得整个由此即可得整个系统的并联型结构系统的并联型结构：222()32zzH zzz+=-+例例 已知已知求系统的差分方程并画框图求系统的差分方程并画框图()3(1)2(2)()2(1)y ny ny nx nx n-+-=+-直接直接型型z-1z-1()x n()
49、y n232z-1z-1()y n32z-1()x n2直接直接型型10.9 单边单边Z变换：变换：一一.单边单边Z变换：变换：0()()nnzx n z 单边单边Z变换是双边变换是双边Z变换的特例，也就是因果变换的特例，也就是因果信号的双边信号的双边Z变换。因此单边变换。因此单边Z变换变换 的的ROC一定是最外部极点的外部，并且包括一定是最外部极点的外部，并且包括 。()z|z The Unilateral Z-Transform所以在讨论单边所以在讨论单边Z变换时变换时,不再强调其不再强调其ROC。它的反变换也一定与双边它的反变换也一定与双边Z变换的反变换一致。变换的反变换一致。11()(
50、)2ncx nz zdzj 如果信号如果信号 不是因果序列，则其双边不是因果序列，则其双边Z变变换换 与单边与单边Z变换变换 不同。不同。()x n()X z()z 只要所涉及的信号是只要所涉及的信号是因果信号因果信号，单边单边Z变换变换除了时移特性与双边除了时移特性与双边Z变换略显不同外，其它变换略显不同外，其它性质与双边性质与双边Z变换的情况是一致的。变换的情况是一致的。二二.单边单边Z变换的性质：变换的性质：时移特性：时移特性：()()x nz若若1(1)()(1)x nzzx则则Proof:(1)01(1)()nmnmx nzx m z101(1)()()(1)mmxzx m zzzx
