1、三角形全等与角平分线12知识结构图三角形边角关系三边关系内外角证明全等SSS 边边边 SAS 边角边 ASA 角边角&AASHL 直角 角平分线应用性质判定22022-12-1边边边（SSS）两个三角形三边完全相等，两个三角形全等。32022-12-1边角边（SAS）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。42022-12-1角边角（ASA）&角角边（AAS）两角和它们的夹边相等的两个三角形全等。52022-12-1直角边与斜边（HL）斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。62022-12-1“全等”与“”例，已知ABC和DEF全等。其中A=60、E=40、D=80，BC=3，则下列
2、结论正确的是：B=40；C=80；DE=3；F=60解析：由于ABC与DEF全等，所以边角没有对应关系。由于F=180-D-E=60=A从而得出：A与F为对应角。那么BC与DE应为对应边：BE=BC=3.72022-12-1利用全等性质证明边相等或角相等 解题思路：证明对应边（角）相等证明对应边（角）所在三角形全等找全等已知条件，判断缺少什么条件通过已知条件推导所缺条件证明全等82022-12-1利用全等性质证明边相等或角相等 如图，已知AB=AC、AD=AE、BAC=DAE。求证：BD=CE。ABCED解析：由于解析：由于BD=CE只需证明只需证明ABD ACE已知已知AB=AC、AD=AE
3、缺一个角相等（缺一个角相等（BAD=CAE）只需证明：只需证明：BAD=CAE证明：BAC=DAEBAC-DAC=DAE-DAC即BAD=CAE在ABD 和 ACE中AB=ACBAD=CAEAD=AE ABD ACEBD=CE92022-12-1三角形的中线倍长 1如图，在ABC中，BD是ABC的中线。（1）如图，延长中线BD至E，使DE=BD，连接AE、CE。求证：1 ADB CDE；2 AE=BC，AE/BC；3 AB+BC2BD。证明：1 在ADB与CDE中：AD=CD ADB=CDEBD=DE ADB CDE（SAS）2在ADE、CDB中：AD=CD ADE=CDBBD=DE ADE
4、CDB（SAS）AE=BC;DBC=DEA AE/BC 3 BC=AE由AB+AEBE得：AB+BCBE又BD为中线 BE=2BD AB+BC2BDABCEDD102022-12-1三角形的中线倍长 线段AB与线段CE的关系为 。若AB=x，BC=y，中线BD的长度的取值范围是 。若AB=m，BD=n，线段BC的长度的取值范围是 。ABCED总结一下，总结一下，D为为BE、AC中点时：中点时：中线倍长中线倍长遇到三角形中线，常用辅助线就是延长中线，使延长线段与中线等长，从而证明三角形全等达到转移边或角目的。D112022-12-1三角形的中线倍长 如图，在OMN中，MP是OMN的中线，MQ是O
5、MP的中线，且OM=OP。求证：MN=2MQ。QONPMMPN=PMMPN=MPMMP为公共边MPN MPM（SAS）MN=MM=2MQ又OM=OP且P为ON中点OMP=OPM 且PM=OM=OP=PNMPN为OMP的外角MPN=OMP+OPM把、代入得：MPN=OPM+OPM =MPM在MPN与MPM中：证明：延长MQ至M，使MQ=QM,连接PMMQ是OMP的中线OQ=PQ在OQM与PQM中：OQ=PQ OQM=PQMMQ=QMOQM PQM(SAS)O=OPM 且OM=PM122022-12-1三角形的中线倍长 如图，ABC中，D为AC边中点，E为AB上一点。（2）若DEDF于D，交BC于
6、F，连接EF。求证：AE+CFEFABCDFEG证明：延长DE至G点，使DG=DE，连接GF、GC。在EDF与GDF中DE=DG EDF=GDF=90DF为公共边EDF GDF（SAS）EF=FG 在CFG中有：CF+CGFG 把、代入得：AE+CFEF又D为AC边中点AD=DC在ADE与CDG中AD=DC ADE=CDGDE=DGADE CDG（SAS）AE=CG 132022-12-1三角形的中线倍长 如图，AB/CD，E为BD中点，连接AC、CE，若CD=AB+AC.求证：AECE。ACDBEFCEA=CEFCEA+CEF=180CEA=CEF=90AECEAB=DF且AE=EF又CD=
7、AB+AC即AC=CD-AB=CD-DF=CF在ACE与FCE中AC=CF AE=EFCE为公共边ACE FCE（SSS）证明：延长AE交CD于F点。AB/CDBAE=DFE，B=D又E为BD中点BE=DE在BAE与DFE中B=D BE=DEBEA=DEF（对顶角）BAE DFE（ASA）142022-12-1三角形的中线倍长 如图，ABC和DCE分别为等腰三角形，AB=AC，DC=DE，BAC=a，CDE=b，F为BE中点，连接AF,DF。（1）若a=b=90，求证：AF=DF，AFDF。BCFADEG证明：延长AF至G点，使AF=GF,连接AD,DG,EG.F为BE中点BF=EF在AFB与
8、GFE中AF=GFAFB=GFE（对顶角）BF=EFAFB GFE（SAS）EG=AB=AC且GEF=ABFDEG=DEC+GEF=DEC+ABF=90在ADF与GDF中：AF=GFFD为公共边AD=DG ADF GDF（SSS）ADF=GFD=90 AF=DF且AFDF ACD=180-ACB-DCE=90在ACD与GED中DC=DEACD=GED=90EF=ACACD GED（SAS）AD=DG、ADC=GDE CDG+GDE=90 CDG+ACD=90 ADG为等腰直角三角形152022-12-1三角形的中线倍长如图，如图，ABC和和DCE分别为等腰三角形，分别为等腰三角形，AB=AC，
9、DC=DE，BAC=a，CDE=b，F为为BE中点，连中点，连接接AF,DF。(2)若若a 90，B 90，a+b=180，求证：，求证：AFDF。BCFADEGAD=DG在AFD与GFD中AD=GDAF=GFDF为公共边 AFD GFD AFD=GFD=90 AFDF证明：延长AF至点G，使AF=GF，连接EG、DG、AD。F为BE中点BF=EF在AFB与GFE中 AF=GFAFB=GFE（对顶角）BF=EF AFB GFE（SAS）GE=AB=AC，GEF=ABFACD=180-ACB-DCE=180-(180-a)/2-(180-B)/2=(a+b)/2=90GED=GEF+DEC=(1
10、80-a)/2+(180-B)/2=(360-a-b)/2=90即ACD=GED在ACD与GED中 AC=GEACD=GED DC=DF ACD GED（SAS）162022-12-1三角形的中线倍长 如图，AD是ABC的中线，AE AC、AF AB，且AE=AC、AF=AB。求证：2AD=EF。AF证明：延长AD至P，使PD=AD在PBD与ACD中PD=AD PDB=ADC CD=BDPBD ACD（SAS）PB=AC、C=PBDPB/AC BAC+PBA=180ECDBP又CAE+BAF=90+90=180 CAB+EAF=180 PBA=EAF又AC=AE、AC=PBAE=PB在ABP与
11、FAE中AE=PB EAF=PBAAB=AFABP FAE（SAS）EF=PA=2AD172022-12-1三角形的高与垂线 作垂线后可得直角，结合题目中多个垂直关系，可作垂线证全等。当题目中出现多组互相垂直线段时，往往可通过同角（等角）或余角相等，进而得到证明全等的条件！182022-12-1三角形的高与垂线 如图，C=90，BEAB且BE=AB，BDBC且BD=BC，CB延长线交DE于F。求证：F是BD中点。证明：过E作EMCF，交CF延长线于M。ABE=90ABC+EBM=90又EBM+BEM=90ABC=BEM在ABC与BEM中BME=ACB=90ABC=BEMAB=BE ABC BE
12、M（AAS）ME=BC又BC=BD在EMF与DBF中 EMF=DBF EFM=DFBME=BDEMF DBF（AAS）EF=DFF是ED中点ACBDFEM192022-12-1三角形的角平分线与内心 如图，BM、CN是ABC的两条角平分线，相交于点P。求证：P点在BAC的平分线上。分析：由角平分线的判定可知，要证明P点在BAC的平分线上，只需证明P点到AB、AC两边的距离相等。从已知可知：P点在BM上，所以P点到AB、BC两边的距离相等，点P又在CN上，所以P点到AC、BC两边的距离相等，从而可以由等量代换可证。证明：过点P作PD、PE、PF分别垂直于AB、BC、CA，垂足分别为点D、E、F。
13、BM是ABC的角平分线且P在BM上，PDAB、PEBCPD=PE(角平分线性质)同理PE=PFPD=PF又PDAB、PFACP点在BAC的平分线上ABCNMDFE202022-12-1三角形的角平分线向两边作垂线 如图，已知1=2，作PA OM、PB ON。结论PA=PB角平分线的性质OPA OPBAASOA=OB3=412OBPN43AM212022-12-1三角形的角平分线向两边作垂线 如图，在ABC中，C=90，AD平分CAB，BC=6cm，BD=4cm，那么点D到直线AB的距离为多少？ACBD解：过点D作DE垂直AB于点E C=90 ACCDAD平分CAB且DE ABCD=DECD=B
14、C-BD=2cmDE=2cm答：点D到直线AB的距离为2cm。E222022-12-1三角形的角平分线向两边作垂线 如图，已知1=2，3=4。求证：5=6FEGDBC34561 2MNP证明：过点E分别作线段BF、CD、BG的垂线，垂足分别为M、N、P。1=2，3=4且MEBG、PE BG、EN CDME=PE，ME=NENE=PE又EN CD、PE BG 5=6（角平分线性质的判定）232022-12-1三角形的角平分线向两边作垂线 如图，ABC的两条高BD、CE相交于点P，且PE=PD。求证：AC=AB。证明：连接AP PDA=PEA=90在RtPDA与RtPEA中PD=PEPA为公共边
15、RtPDA RtPEA(HL)AD=AE又1=90-CAB=2在ACE与ABD中思路分析：证明线段相等可以放到等腰三角形中，或者放到两个全等三角形中，进而求证对应边相等。1=2AEC=ADB=90AE=ADACE ABD(AAS)AC=AB12BEADCP242022-12-1角平分线截长补短从角平分线上一点作角两边的垂线，垂线段相等，顶点到两垂足的距离也相等。借此，可在角的两边上实施截长或补短，甚至既截长又补短达到“移多补少”的目的。其实质是角平分线两侧的“对称”位置的三角形全等。如图，在等腰直角ABC中，C=90，AD平分BAC，若DEAB于E点，则有DC=DE，AC=AE，所以ACDAE
16、D，也可得到AB=AC+CD。此时DE把长线段AB截成AE、EB两段，达到截长效果。ABCDE252022-12-1角平分线截长补短若作DEBA于点E，DFBC于点F，则可得ADE CDF。故AE=CF，从而将长线段BC上的FC“补”至短线段BA上AE处。ABCDFE如图，BD平分ABC，AD=DC262022-12-1角平分线截长补短如图，AD/BC，DCAD，AE平分BAD，且E是DC的中点。问：AD、BC、AB之间有何关系？解：AB=AD+BC，理由如下：过点E作EFAB于点F。连接BE。AE平分BAD，且DCAD、EFABEF=DE（角平分线性质）DE=CEEC=EF在RtBFE与Rt
17、BCE中EF=CEBE为公共边 RtBFERtBCE（HL）BF=BC同理AF=ADAD+BC=AF+BF=AB即AB=AD+DCADECBF272022-12-1一线三等角 如图，ABAC，BDDE，CEDE，AB=AC。求证：DE=BD+CE。证明：ADBEC ABAC，BDDE，CEDE AEC=BAC=ADB=90 1+2=90 1=3在AEC与BDA中 AEC=ADB1=3AC=AB AEC BDA(AAS)CE=ADDE=BD+CE132282022-12-1一线三等角ADBEC123ECADB132 三垂直三垂直一线三等角一线三等角 1+3=90且且2+3=90 1=2又又BDD
18、E，CEDE AEC=BDA又又 CA=BA AEC BDA(AAS)1+3=180-且且2+3=180-1=2又又AEC=BDA=又又 CA=BA AEC BDA(AAS)292022-12-1一线三等角 已知，BED与CFD为等腰直角三角形，AB AG，CG AG 求证：AB+CG=EF 证明：BAEFGCD过D作DH AG于H点 AEB+DEH=HDE+DEH=90 AEB=HDE在AEB与 HDE中AEB=HDEBAE=EHDBE=EDAEB HDE(AAS)AB=EH同理CG=HFEH+HF=EF AB+CG=EFH302022-12-1一线三等角 已知：BE=DE，A=BED=,D
19、F=CF,DFC=G=.+=180 求证：AB+CG=EF 证明：BAEFGCD 在EF上截取线段EH，使EH=AB，连DH 1+2=180-且3+2=180-1=3又BE=DEAEB HDE(SAS)DHE=又+=180 DHF=同理DHF FGC(AAS)HF=CG AB+CG=EFH213 312022-12-1截长补短法求线段数量关系（和差倍半）截长：在长边上截取一段等于短边，然后证明另外两短边相等。补短：在短边上延长一段等于另一短边，然后证明这两短边之和等于长边。322022-12-1截长补短法求线段数量关系（和差倍半截长补短法求线段数量关系（和差倍半）如图，ABC的角平分线BD，与
20、BCD的角平分线AC相交于O点。BOC=120。求证：BC=AB+CD。证明：在BC上截取点E，使BE=AB在ABO与EBO中AB=BEABO=EBOBO为公共边 ABO EBO（SAS）AOB=EOB AOB=180-BOC=60 AOB=EOB=60 COE=BOC-EOB=60 COD=AOB=60在OCE与OCD中COD=COE=90OC为公共边OCE=OCD OCE OCD(ASA)CE=CDBC=BE+CE=AB+CDABCDOE332022-12-1截长补短：半角模型截长补短：半角模型 如图，已知AB=AD，B+D=180，2EAF=BAD。求：EF与BE、DF满足什么关系？解：
21、延长DF至点G，使DG=BEB+ADF=180，且ADF+ADG=180 B=ADG在ABE与ADG中AB=ADB=ADGBE=DG ABE ADG BAE=DAG，AE=AG BAE+DAF=EAF=BADDAG+DAF=EAF即FAG=EAF在AEF与AGF中AE=AGFAE=FAGAF为公共边 AEF AGF(SAS)EF=GF又GF=DF+DG=DF+BEEF=BE+DFABECFDG342022-12-1“手拉手”模型 已知：OA=OB、OA=OB、AOB=AOB。求证：三角形全等(OAA OBB)手相等(AA=BB)手的夹角等于顶角 顶点连手交点得平分。OA（左手）A（左手）B（右
22、手）B（右手）ABBA三大特征1两个等腰三角形2顶角相等3顶点重合。顶点重合顶点重合352022-12-1“手拉手”模型证明 三角形全等(OAA OBB)AOB=AOA+AOB AOB=BOB+AOB又AOB=AOBAOA=BOB在OAA与OBB中OA=OBAOA=BOBOA=OBOAA OBB(SAS)OA（左手）A（左手）B（右手）B(右手)ABBA362022-12-1“手拉手”模型证明手相等(AA=BB)OAA OBBAA=BBOA（左手）A（左手）B（右手）ABBA372022-12-1“手拉手”模型证明手的夹角等于顶角(AA，BB的夹角，即C=AOB)OAA OBB OAP=PBC
23、在OPA与CPB中：OAP=PBC APO=BPC(对顶角)C=AOBOA（左手）A（左手）B（右手）BABACP382022-12-1“手拉手”模型证明顶点连手交点得平分(OC平分ACQ)过O点分别作OM、ON垂直于AC和BQOAA OBBOM=ON(全等三角形对应高相等)又OMAC、ONBQOC平分ACQ(角平分线的判定)OA（左手）A(左手)B（右手）B(右手)ABBACQMN392022-12-1已知：BAC=ABC，CD=CE，ACB=DCE=90，AD与BE相交于M点，(1)求证:ADBE；(2)求CME的大小。“手拉手”模型ACBMED分析：由题意看得出，ACB与DEF均为等腰直
24、角三角形，C为公共顶点，顶角相等均为90，满足“手拉手”模型的条件！AD与BE分别为左手和右手！(1)求证:ADBE，即证明AMB=90，即左右手AD与BM的夹角,即证明左右与右手的夹角等于顶角；(2)求CME的大小(左手)AD与(右手)BE交于点MC为两等腰三角形公共顶点即CM为顶点与两手交点的连线段那么CM平分AMECME显然等于AME的一半！402022-12-1已知：BAC=ABC，CD=CE，ACB=DCE=90，AD与BE相交于M点，(1)求证:ADBE；(2)求CME的大小。“手拉手”模型ACBMED(1)证明：BAC=ABCAC=BC因为：ACB=ACD+BCDDCE=BCE+
25、BCD又ACB=DCE=90 ACD=BCEF(在ACD和BCE中:AC=BCACD=BCECD=CE ACD BCE CAD=CBE在ACF和BMF中 CAD=CBEAFC=BFM(对顶角)FMB=FCA=90 ADBE412022-12-1已知：BAC=ABC，CD=CE，ACB=DCE=90，AD与BE相交于M点，(1)求证:ADBE；(2)求CME的大小。“手拉手”模型ACBMEDPQ(2)证明：过点C分别作CP、CQ垂直AD、BE，垂足分别为P、Q。ACD BCECP=CQ(全等三角形对应高相等)又CPAD、CQBECM平分AME(角平分线判定)又ADBEAME=90CME=45422022-12-1
