1、复变函数与积分变换复变函数与积分变换 历史v 复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔-欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西-黎曼条件”。v 单复变函数的理论基础是在19世纪由柯西、魏尔斯特拉斯和黎曼所奠定的。柯西的积分理论，魏尔斯特拉斯的无穷级数理论和黎曼的共形（保角）映射理论构成优美的单复变函数论。v 复变函数论在数学领域的许多分支都
2、有深刻的应用，已经深入到微分方程、积分方程、概率论和数论等学科，对它们的发展很有影响。复变函数论在实际应用方面，涉及的面很广，有很多复杂的计算都是用它来解决的。比如物理学上有很多不同的稳定平面场，所谓场就是每点对应有物理量的一个区域，对它们的计算就是通过复变函数来解决的。俄国数学家茹柯夫斯基在设计飞机的时候，就用复变函数论解决了飞机机翼的结构问题。问题的提出v1，已知 求v2，欧拉公式（数学中的美学高峰）：v3，Fermat-Torricelli问题：已知平面中若干个点，求另外一点使得它与给定的点的距离之和最小。v4，Fermat问题，经典平面几何难题。v5，电位、电力线问题：已知两电板（平直
3、或者弯曲）的电位，求两电板之间的电位及电力线方向。11,xx221xx10ie 第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数第二章第二章 解析函数解析函数第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分第四章第四章 级数级数第五章第五章 留数留数第六章第六章 保角（共形）映射及其应用保角（共形）映射及其应用第七章第七章 Fourier,LaplaceFourier,Laplace变换变换第一章第一章 复数与复变函数复数与复变函数复数及其代数运算复数的表示复数的乘幂与方根复平面点集与区域复变函数复变函数的极限与连续复数复数v 有许多的原因使得数的概念必须越出实数域有许多的原因使得数的概念必须越出实数域而
4、引进复数。最早要求引进复数是为了解三次方而引进复数。最早要求引进复数是为了解三次方程，但通常为容易理解故，都是从二次方程引入。程，但通常为容易理解故，都是从二次方程引入。实数域内没有提供解二次方程的完整理论，就如实数域内没有提供解二次方程的完整理论，就如解解v这样的简单方程都没有实数解。这样的简单方程都没有实数解。v 摆在面前有两种方案可供选择：摆在面前有两种方案可供选择：1，干脆宣布，干脆宣布此方程无解；此方程无解；2，扩充数的概念，引进一种新的数，扩充数的概念，引进一种新的数（虚想之数），并记此数为（虚想之数），并记此数为“i”，称为虚数单位。，称为虚数单位。历史上曾有不少数学家持第一种态
5、度，然而更多历史上曾有不少数学家持第一种态度，然而更多的则采取第二种开放的态度，引进复数。的则采取第二种开放的态度，引进复数。v 210 x 复数及其代数运算复数及其代数运算 1)复数：形如复数：形如 z=x+i y的数称为复数，其中的数称为复数，其中x,y是任意的实是任意的实数，分别称为复数数，分别称为复数z的实部和虚部，记为的实部和虚部，记为两个复数相等，当且仅当其实部和虚部分别相等。两个复数相等，当且仅当其实部和虚部分别相等。2)定义两个复数的加法、乘法运算如下：定义两个复数的加法、乘法运算如下：)()(212121yyixxzz)()(2121212121xyyxiyyxxzzRe()
6、,Im()xzyz221121iyxiyxzz 减法、除法运算则定义为加法、乘法运算的逆减法、除法运算则定义为加法、乘法运算的逆运算：运算：22222211iyxiyxiyxiyx121221122222 x xy yi x yx yxy121212()()zzxxi yy可以验证这些运算满足关于加法的交换律和结合可以验证这些运算满足关于加法的交换律和结合律、乘法的交换律和结合律以及乘法对加法的分律、乘法的交换律和结合律以及乘法对加法的分配率。这样，按代数结构而言，复数全体构成了配率。这样，按代数结构而言，复数全体构成了一个代数域，称为复数域。一个代数域，称为复数域。3)共轭复数共轭复数.对于
7、复数对于复数 ，称，称 为其共轭复数。称为其共轭复数。称 为其模，记作为其模，记作 。iyxz,iyxz22yxz z2Re,zzzIm/2zzzi2121zzzz2121zzzz2121zzzz容易验证22xyz4)复平面复平面一对有序实数（x，y）平面上一点P复数 z=x+i y xyz=x+i yO实轴、虚轴、复平面Z 平面5)复数的几种表示法复数的几种表示法几何表示：几何表示：平面上一矢量与一复数z构成一一对应，复 数的加减与矢量的加减一致。xyO21zz 1z2z2121zzzz加法运算xyO21zz 1z2z2z2121zzzz减法运算复数的三角形式复数的三角形式利用极坐标来表示复
8、数z，sincosryrxxyyxrarctan22则复数 z 可表示为三角式三角式：sincosirzzr z Arg复数的 模复数的 幅角讨论：讨论：1)复数的幅角不能唯一地确定。任意非零复数均有无穷多个幅角。通常把 的幅角称为Arg z的主值。记为0zarg02）复数“零”的幅角没有意义，其模为零。3）当 r=1时，复数z称为单位复数。利用复数的三角形式或指数形式作乘除法比较方便。),sin(cos1111irz设)sin(cos2222irz)sin)(cossin(cos22112121iirrzz)sin()cos(212121irr定理2121zzzz)()()(2121zArg
9、zArgzzArg注意注意多值性多值性xyO1z2z21zz例：已知正三角形的两个顶点为例：已知正三角形的两个顶点为,11ziz 22求三角形的另一个顶点。xyO1z2z3z3zxiy令313221|2.zzzzzziz2312333iz2312333解得解得复数的乘幂复数的乘幂n个相同复数z的乘积成为z的n次幂nz)sin(cosninrzzzznn复数方根的复数方根的cossinzri为已知复数，n为正整数，则称满足方程zwn的所有w值为z的n次方根，并且记为nzw 当k0，1，2，n1时，得到n个相异的根：)sin(cos10ninrwn)2sin2(cos11ninrwn)1(2sin
10、)1(2(cos11nninnrwnn)4sin4(cos12ninrwn例：例：38)sin(cos283i)32sin32(cos283kik2,1,0k即2103123183kkkii复数的球面表示与扩充复平面复数的球面表示与扩充复平面zPN球极平面射影法取一个在原点O与z平面相切的球面，过O点作z平面的垂线与球面交于N点（称为北极或者球极）。2NS平面zzP对于平面上的任一点z，用一条空间直线把它和球极连接起来，交球面于P。从几何上可以看出：Z平面上每个以原点为圆心的圆周对应于球面上的某一个纬圈，这个圆周以外的点则对应于相应纬圈以北的点，而且若点z的模越大，球面上相应的点则越靠近北极N
11、。由此我们引进一个理想“点”与北极N对应。称之为无穷远点扩充复平面 复平面 。规定：,zz约定无穷远点的实部、虚部及幅角都没有意义；另外,0,等也没有意义。N复平面点集与区域（1）邻域:),(00rzzCzrzB（2）去心邻域0:),(000rzzCzzrzB（3）内点点z是点集E的内点存在z的某个r邻域含于E内，即ErzB),(0（4）外点点z是点集E的外点存在z的某个r邻域不含E内的点 ErzB),(0（5）边界点点z 的任意邻域既有 E 的点，又有非 E 的点.（6）开集点集E中的点全是内点（7）闭集开集的余集空集和整个复平面既是开集，又是闭集。（8）连通集E中任意两点可以用一条全在E中
12、的曲线连接起来。（9）区域非空的连通开集（10）有界区域如果存在正数M，使得对于一切D中的点z，有Mz（11）简单曲线、光滑曲线简单曲线、光滑曲线ttiytxtzzz),()()(:点集称为z平面上的一条有向曲线。)(tzz)(zA)(zB 则称 D为有界区域。简单曲线：简单曲线：)()(,2121tztztt简单闭曲线：简单闭曲线：光滑曲线：光滑曲线：存在、连续且不全为零)(),(tytx（12）单连通区域设D为复平面上的区域，若在D内的任意简单闭曲线的内部仍属于D，则称D为单连通区域单连通区域，否则称多连通区域。没有交叉点。平面图形的复数表示 很多平面图形能用复数形式的方程（或不等式）来表
13、示；也可以由给定的复数形式的方程（或不等式）来确定所表示的平面图形。例：Z平面上以原点为中心、R为半径的圆周方程为Rz Z平面上以 z_0为中心、R为半径的圆周方程为Rzz0例：（1）连接z1 和z2两点的线段的参数方程为)10(),(121tzztzz（2）过两点 z1 和z2的直线L的参数方程为)(),(121tzztzz（3）z1、z2，z3 三点共线得充要条件为)(t ,1213为一非零实数tzzzz例：考察下列方程（或不等式）在平面上所描绘的几何图形。（1）22ziz该方程表示到点2i和2距离相等的点的轨迹，所以方程表示的曲线就是连接点2i 和2的线段的垂直平分线，它的方程为y=x。
14、（2）4)Im(zi设 z=x+iy,4)1(Im()Im(yixzi3y（3）4)arg(iz)arg(iz 表示实轴方向与由点i 到 z 的向量之间交角的主值，因此满足方程的点的全体是自 i 点出发且与实轴正向夹角为45度的一条半射线。（不包括 i点）（4）1Re2zixyyxiyxz2)()(22221Re222yxz1Im2z例：指出不等式4arg0iziz中点z的轨迹所在范围。解：222222)1(2)1(1yxxiyxyxiziz因为,4arg0iziz所以0)1(2)1(1222222yxxyxyx于是有xyxyxx21010222222)1(102222yxyxx它表示在圆2)
15、1(22yx外且属于左半平面的所有点的集合i复复 变变 函函 数数复变函数的定义复变函数的定义 设 D 是复变数z的一个集合，对于 D 中的每一个z，按照一定的规律，有一个或多个复数w的值与之对应，则称w为定义在 D 上的复变函数复变函数，记做D)(z )(zfw单值函数单值函数 f(z):对于D中的每个z，有且仅有一个w与之对应。多值函数多值函数 f(z):对于D中的每个z，有两个或两个以上 w 与之对应。GD :)(zfw定义：定义：我们主要考虑单值函数f(z)是单射单射（或一对一映射）对于任意,21zz).()(21zfzff(z)是满射满射GDf)(f(z)是双射双射f(z)既是单射，
16、又是满射。单射，又是满射。GD :)(zfwiyxz),(),(yxivyxuivuw22iyxzwi222xyyx例例：xyyxvyxyxu2),(,),(22)2sin2(cos22irzw0rz 2zw 20rw zarg0r2argw20r2zw ayx22bxy 2au bv 2zw 111108642x2468v=101y108642u=02468uv10101010复变函数的极限与连续复变函数的极限与连续函数的极限函数的极限定义：设函数w=f(z)定义在z0的去心邻域,00rzz如果有一确定的数A存在，对于任意给定的,0相应地必有一正数,使得当 时有00zz Azf)(那么称A为
17、f(z)当z 趋向z0时的极限，记作Azfzz)(lim0)(zf几何意义几何意义：当变点z一旦进入z0的充分小的去心邻域时，它的象点 f(z)就落入A的预先给定的小邻域内。关于极限的计算，有下面的定理。注意注意：z趋于z0的方式是任意的，就是说，无论z从什么方向，以何种方式趋向于z0，f(z)都要趋向于同一个常数。定理一ibaAzfzz)(lim0ayxuyyxx),(lim00byxvyyxx),(lim00定理二)(lim)(lim)()(lim000zgzfzgzfzzzzzz)(lim)(lim)()(lim000zgzfzgzfzzzzzz)(lim)(lim)()(lim000z
18、gzfzgzfzzzzzz例证明函数zzzfRe)(当z趋于0时的极限不存在。解法一令z=x+iy,则22Re)(yxxzzzf0),(,),(22yxvyxxyxu2220011)(lim),(limkkxxxyxukxyxkxyx所以极限不存在。解法2利用复数的三角表示式coscosRe)(rrzzzf当z沿着不同的射线zarg趋于零时，f(z)趋于不同的值。如0argz2argz1)(zf0)(zf极限不存在。函数的连续函数的连续),()(lim00zfzfzz如果那么f(z)在z0处连续。如果 f(z)在D内各点都连续，那么 f(z)在 D 内连续。定理定理：f(z)在z0处连续的充分
19、必要条件是 u(x,y),v(x,y)在（x0，y0）处连续。连续函数的四则运算、复合运算都成立。有界闭区域上的连续函数的最值定理。例：122lim21zzzzzz)1)(1()1)(2(lim1zzzzz2312lim1zzz一致连续一致连续 （同学们结合微积分中的定义尝试给出）（同学们结合微积分中的定义尝试给出）作业v1，求问题1的解答v2，求问题3的解答。v3,证明：若|z1|=|z2|=|z3|=1,z1+z2+z3=0,则z1，z2，z3是内接于单位圆|z|=1的一个正三角形的三顶点。v4，如右上图，在锐角三角形中求一点，使得它与三顶点连线距离最短，则中间三线构成的角度相等。ABCP
