1、第十二章第十二章 全等三角形全等三角形 三角形全等的判定三角形全等的判定（2）边角边边角边 三边对应相等的两个三角形全等（可以简写三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为为“边边边边边边”或或“SSS”）。）。ABCDEF在在ABC和和 DEF中中 ABC DEF（SSS）AB=DEBC=EFCA=FD用符号语言表达为：用符号语言表达为：三角形全等判定方法三角形全等判定方法1知识回顾知识回顾:除了除了SSS外外,还有其他情况吗？继续探索三角形全还有其他情况吗？继续探索三角形全等的条件等的条件.(2)三条边三条边(1)三个角三个角(3)两边一角两边一角(4)两角一边两角一边 当两个三角形满足六个
2、条件中的三个时，有四种当两个三角形满足六个条件中的三个时，有四种情况情况:SSS不能不能!?继续探讨三角形全等的条件：继续探讨三角形全等的条件：两边一角两边一角思考：已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边思考：已知一个三角形的两条边和一个角，那么这两条边与这一个角的位置上有几种可能性呢？与这一个角的位置上有几种可能性呢？ABCABC图一图一图二图二在图一中，在图一中，A A是是ABAB和和ACAC的的夹角，夹角，符合图一的条件，符合图一的条件，它可称为它可称为“两边夹角两边夹角”。符合图二的条件，符合图二的条件，通常通常说成说成“两边和其中一边的对角两边和其中一边的对角”已知已知ABCA
3、BC，画一个，画一个ABCABC使使A B=AB,A C=A A B=AB,A C=A C,C,A=A=AA。思考：思考：A B C 与与 ABC 全等吗？如何验正？全等吗？如何验正？画法画法:1.画画 DA E=A；2.在射线在射线A D上截取上截取A B=AB,在射线在射线A E上截上截取取A C=AC;3.连接连接B C.ACBAEDCB思考：思考：这两个三角形全等是满足哪三个条件？这两个三角形全等是满足哪三个条件？探索边角边探索边角边结论结论:两边及夹角对应相等的两个三角形全等两边及夹角对应相等的两个三角形全等在在ABC与与DEF中中ABC DEF（SAS）两边和它们的夹角对应相等的两
4、个三角形全两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。等。(可以简写成可以简写成“边角边边角边”或或FEDCBAAC=DFC=FBC=EF练习练习：1.1.在下列推理中填写需要补充的条件，使结论在下列推理中填写需要补充的条件，使结论成立成立在在AOBAOB和和DOCDOC中中 A0=DOA0=DO（已知）已知）=（对顶角相等对顶角相等）BO=COBO=CO（已知）已知）AOBAOBDOC(DOC().).ABODCAOBAOBDOCDOCSAS （已知）（已知）A=AA=A（公共角）公共角）=ADCBEAEC ADB().2.2.在在AECAEC和和ADBADB中中ABACADAESAS注意：注
5、意：SAS中的角必须是两边的夹角，中的角必须是两边的夹角，“A”必须在中间。必须在中间。A4545 探索边边角探索边边角BBC1010cmcm 8 8cmcm 8 8cmcm 两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等吗?已知：已知：AC=10cm,BC=8cm,AC=10cm,BC=8cm,A=45.ABCABC的形状与大小是唯的形状与大小是唯一确定的吗一确定的吗?1010cmcm ABC4545 8 8cmcm 探索边边角探索边边角BA8 8cmcm 4545 1010cmcm CSSASSA不存在不存在显然：显然：ABCABC与与ABCAB
6、C不全等不全等知识梳理知识梳理:DCBAABDABC两边及一角对应相等的两边及一角对应相等的两个三角形全等吗？两个三角形全等吗？两边及夹角对应相等的两个三两边及夹角对应相等的两个三角形全等（角形全等（SAS)SAS)；两边及其中一边的的对角对两边及其中一边的的对角对应相等的两个三角形不一定全应相等的两个三角形不一定全等等 现在你知道哪些三角形全现在你知道哪些三角形全等的判定方法？等的判定方法？SSS,SAS已知：已知：AB=CB，ABD=CBD ABD 和和 CBD 全等吗？全等吗？例例1 1分析分析:ABD ABD CBD CBD边边:角角:边边:AB=CB(已知已知)ABD=CBD(已知已
7、知)ABCD(SAS)现在例现在例1的已知条件不改变的已知条件不改变,而问题而问题改变成改变成:问问AD=CD吗？吗？BD=BD(公共边公共边)BD平分平分ADC吗？吗？ABCD练习练习3：已知已知:AD=CD，BD 平分平分 ADC。求证：求证：A=C 要证明两个三角形中的边要证明两个三角形中的边或角相等，可以先证明两或角相等，可以先证明两个三角形全等。个三角形全等。问题问题:如图有一池塘。要测池塘两端如图有一池塘。要测池塘两端A、B的距离，的距离，可无法直接达到，因此这两点的距离无法直接量出。可无法直接达到，因此这两点的距离无法直接量出。你能想出办法来吗？你能想出办法来吗？ABCED 在平
8、地上取一个可直接到达在平地上取一个可直接到达A和和B的点的点C，连结连结AC并延长至并延长至D使使CD=CA连接连接BC并延长至并延长至E使使CE=CB连接连接ED，那么量出那么量出ED的长，就是的长，就是A、B的的距离距离.为什么？为什么？1 2 两直线平行，两直线平行，内错角相等内错角相等 F FA AB BD DC CE E例例2 2：点：点E E、F F在在ACAC上，上，AD/BCAD/BC，AD=CBAD=CB，AE=CFAE=CF 求证求证（1 1）AFDAFDCEBCEB 分析分析：证三角形全等的三个条件证三角形全等的三个条件A=CA=C 边边 角角 边边 AD/BCAD/BC
9、AD=CBAD=CBAE=CFAE=CFAF=CEAF=CE？（已知）（已知）证明：证明：AD/BC A=C又又AE=CF在在AFD和和CEB中，中，AD=CBA=CAF=CE AFDAFDCEBCEB（SASSAS）AE+EF=CF+EF即即 AF=CE 摆齐根据摆齐根据写出结论写出结论指范围指范围准备条准备条件件(已知）已知）(已证）已证）(已证）已证）F FA AB BD DC CE E（两直线平行，内错角相等）（两直线平行，内错角相等）ABCDO补充题：补充题：例例1 如图如图AC与与BD相交于点相交于点O，已知已知OA=OC，OB=OD，说明说明AOB COD的理由。的理由。例例2
10、如图，如图，AC=BD，CAB=DBA，你能判断你能判断BC=AD吗？说明理由。吗？说明理由。ABCD归纳：归纳：判定两条线段相等或二个角相等可以通判定两条线段相等或二个角相等可以通过从它们所在的两个三角形全等而得到过从它们所在的两个三角形全等而得到。课堂小结课堂小结:2.求证两个三角形中的边或角相等时，求证两个三角形中的边或角相等时，一般要先证明这两个三角形一般要先证明这两个三角形全等全等。1.三角形全等的判定三角形全等的判定2：两边和它们的两边和它们的夹角夹角对应相等的两个三对应相等的两个三角形全等。角形全等。(边角边或边角边或SAS)证明三角形全等的过程证明三角形全等的过程1 1、准备条
11、件、准备条件2 2、指明范围、指明范围3 3、摆齐根据、摆齐根据4 4、写出结论、写出结论 三边对应相等的两个三角形全等三边对应相等的两个三角形全等（可以简写为（可以简写为“边边边边边边”或或“SSS”）.ABCDEF在在ABC和和 DEF中中 ABC DEF（SSS）AB=DEBC=EFCA=FD用符号语言表达为：用符号语言表达为：三角形全等判定方法三角形全等判定方法1 除了除了SSS外外,还有其他情况吗？还有其他情况吗？继续探索三角形全等的条件继续探索三角形全等的条件.(2)(2)三条边三条边(1)(1)三个角三个角(3)(3)两边一角两边一角(4)(4)两角一边两角一边 当两个三角形满足
12、六个条件中的三当两个三角形满足六个条件中的三个时，有四种情况个时，有四种情况:SSSSSS不能不能!?探讨三角形全等的条件：探讨三角形全等的条件：两边一角两边一角思考：已知一个三角形的两边和一角，那么这思考：已知一个三角形的两边和一角，那么这两条边与这一个角的位置上有几种可能性呢？两条边与这一个角的位置上有几种可能性呢？ABC在图中，在图中，A是是AB和和AC的的夹角，夹角，符合图中的条件，符合图中的条件，称为称为“两边及其夹角两边及其夹角”探讨三角形全等的条件：探讨三角形全等的条件：两边一角两边一角思考：已知一个三角形的两边和一角，那么这思考：已知一个三角形的两边和一角，那么这两条边与这一个
13、角的位置上有几种可能性呢？两条边与这一个角的位置上有几种可能性呢？ABC图二图二在图中在图中,B是边是边AC的的对角对角,C是边是边AB的的对角对角符合图中的条件，常说成符合图中的条件，常说成“两边和其中两边和其中 一边的对角一边的对角”两边及其夹角两边及其夹角 先任意画出一个先任意画出一个ABC,再画再画一个一个ABC,使使AB=AB,AC=AC,A=A,把画好的把画好的 ABC,放到放到ABC上上,它们能全等吗它们能全等吗?结论:两边及夹角对应相等的两个三角形全等思考：思考：ABC与与ABC 全等吗？全等吗？画法画法:1.画画 DAE=A；2.在射线在射线AD上截取上截取AB=AB,在射线
14、在射线 AE上截取上截取AC=AC;3.连接连接BC.ACBAECD 这两个三角形全等是满足哪三个条件？这两个三角形全等是满足哪三个条件？B三角形全等判定方法三角形全等判定方法2在在ABC与与ABC中中ABC ABC（SAS）两边两边和它们的和它们的夹角夹角对应相等对应相等的两个三角的两个三角形全等。形全等。(可以简写成可以简写成“边角边边角边”或或CBACBAAC=ACC=CBC=BC1010cmcm ABC4545 8 8cmcm 探索边边角探索边边角BA8 8cmcm 4545 1010cmcm CSSA不存在不存在显然：显然：ABCABC与与ABABC C不全等不全等DCBAABDAB
15、C两边及一角对应相等的两个三角形全等吗两边及一角对应相等的两个三角形全等吗？两边及夹角对应相等的两个三两边及夹角对应相等的两个三角形全等（角形全等（SAS)；两边及其中一边的的对角对应相两边及其中一边的的对角对应相等的两个三角形不一定全等等的两个三角形不一定全等 现在你知道哪些三角形全等的现在你知道哪些三角形全等的判定方法？判定方法？SSS,SASSSA 不成立不成立 如图，有一池塘，要测池塘如图，有一池塘，要测池塘两端两端A、B的距离，可在平地上取一个可直接到的距离，可在平地上取一个可直接到达达A和和B的点的点C，连结连结AC并延长至并延长至D使使CD=CA，连结连结BC并延长至并延长至E使
16、使CE=CB，连结连结ED，那么那么量出量出DE的长，就是的长，就是A、B的距离，为什么？的距离，为什么？分析：分析：已知两边已知两边(相等）相等）找第三边（找第三边（SSS）找夹角找夹角 （SAS）如图，已知如图，已知AC、BD互相互相平分交于点平分交于点O，求证：求证：AOB COD证明：证明：AC、BD互相平分互相平分 _=_，_=_ 在在_和和_中中 _=_ _=_ _=_ _ _()CDBOAABC DE 如图如图AB=AD，AC=AE，BAD=CAE，求证：求证：BC=DE证明：证明：BAD=CAE _+_=_+_ _=_ 在在_和和_中中 _=_ _=_ _=_ _ _()_=_
17、如图：如果如图：如果AB=AC,BAD=CAD求证：求证：ABD ACDABCD1 1、今天我们学习哪种方法判定两三角形全等？、今天我们学习哪种方法判定两三角形全等？边角边（边角边（SASSAS）2 2、通过这节课，判定三角形全等的条件有哪、通过这节课，判定三角形全等的条件有哪些？些？SSSSSS、SASSAS、注意哦！注意哦！“边边角”不能判定两个三角形全等反思反思 小结小结1.学习了三角形全等的又一个判定公理学习了三角形全等的又一个判定公理:边角边公理，到目前为止，我们已经学边角边公理，到目前为止，我们已经学习了三种判定三角形全等的方法（一个习了三种判定三角形全等的方法（一个定义，两个公理
18、）定义，两个公理）.2.证明两个三角形全等时若缺条件：证明两个三角形全等时若缺条件：找图形的隐含条件；找图形的隐含条件；根据其它已知条件推出所缺条件根据其它已知条件推出所缺条件.3.添加适当的辅助线将四边形问题转化添加适当的辅助线将四边形问题转化为三角形问题为三角形问题.反思反思 小结小结DABC 如图，点如图，点E，F在在BC上，上，BE=CF，AB=DC，B=C求证：求证：A=DECDBFA证明：证明：BE=CF BE+_=CF+_ _=_ 在在_和和_中中 _=_ _=_ _=_ _ _()_=_如图，如图，AC=BD，CAB=DBA，你能判断你能判断BC=AD吗？说明理由。吗？说明理由
19、。ABCD证明证明:在在ABC与与BAD中中 AC=BD CAB=DBA AB=BAABC BAD（SAS）(已知已知)(已知已知)(公共边公共边)BC=AD(全等三角形的对应边相等）全等三角形的对应边相等）如图如图ADBC,AE=CF,AD=BC,E、F都在直线都在直线AC上，试说明上，试说明DEBFFCBEDA 已知已知:如图如图,AB=CB,ABD=CBD,问问AD=CD,BD 平分平分ADC 吗？吗？DABCABCD已知已知:AD=CD，BD平分平分ADC，问问A=C吗？吗？如图如图EAAD于于A，FD AD于于D，且且AE=DF，AB=DC.求证：求证：CE=BF.ABCDEF已知：
20、如图已知：如图OP平分平分MON，OM=ON，MD=ND.求证：求证：OMP ONP；PMD PND；PMD=PND.MONDP已知：如图，已知：如图，ACBD，C为垂足，为垂足，AC=DC，CB=CE.求证：求证：DF AB.ABEFCD如图如图,AB=AC,AE=AD,1=2,求证求证:BD=CE.ABCED12DACBE点点C是线段是线段AB的中点，的中点，CE=CD,ACD=BCE,求证：求证：AE=BD如图，如图，ABAC，ADAE，AB=AC，AD=AE.求证：求证：DAC EABEADCB如图等边如图等边AEB与等边与等边BCD在在线段线段AC的同侧。的同侧。求证：求证：ABD
21、EBCABCEDCDEBA如图如图,ABC与与DCE都是等边三角都是等边三角形，点形，点D在在BC上，上，AD与与BE相等吗？相等吗？试说明理由。试说明理由。EDCBA如图如图,ABC与与DCE都是等边三角形，都是等边三角形，点点D在在ABC内，内，AD与与BE相等吗？相等吗？试说明理由。试说明理由。EDCBA如图如图,ABC与与DCE都是等边三角都是等边三角形，点形，点D.E在在ABC外，外，AD与与BE相相等吗？试说明理由。等吗？试说明理由。已知如图已知如图ABD与与ACE均为等边均为等边三角形，求证：三角形，求证：DC=BE B AC DE如图，已知正方形如图，已知正方形ABCD和等腰直角和等腰直角三角形三角形ECF，试说明试说明BE=DF。ABCDEF
