1、5.15.1认识二元一次方程组认识二元一次方程组思考思考设老马驮了设老马驮了x x个包裹，小马驮了个包裹，小马驮了y y个包裹个包裹.老牛驮的包裹数比小马驮的多老牛驮的包裹数比小马驮的多2 2个，由此个，由此你能得到怎样的方程？你能得到怎样的方程？若老牛从小马背上拿来若老牛从小马背上拿来1 1个包裹，这时它个包裹，这时它们各有几个包裹？由此你又能得到怎样们各有几个包裹？由此你又能得到怎样的方程？的方程？设他们中有设他们中有x个成人，个成人，y个儿童个儿童.由此你能得到怎样的方程？由此你能得到怎样的方程？上面两个问题中，我们分别得到了方上面两个问题中，我们分别得到了方程程 x-y=2=2；x+1
2、=2=2（y-1-1）；）；x+y=8=8.5 5x+3+3y=34=34；这些方程各含有几个未知数？含未知数的项这些方程各含有几个未知数？含未知数的项的次数是多少？的次数是多少？这些方程各含有这些方程各含有2 2个未知数，含未知数的项个未知数，含未知数的项的次数是的次数是1 1.二元一次方程的概念二元一次方程的概念含有两个未知数，并且所含未知数含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是的项的次数都是1 1的方程叫做二元一次的方程叫做二元一次方程方程.在上面的方程在上面的方程x+y=8=8和和5 5x+3+3y=34=34中，中，x所代表的对所代表的对象相同吗？象相同吗？y呢？呢？相同！相同
3、！x代表成年的人数，代表成年的人数，y代表儿童的人数代表儿童的人数.方程方程x+y=8=8和和5 5x+3+3y=34=34中，中，x，y所代表的对象分别所代表的对象分别相同相同.因而，因而，x，y必须必须同时满足方程同时满足方程x+y=8=8和和5 5x+3+3y=34=34.把它们联立起来，得把它们联立起来，得x+y=8=8，5 5x+3+3y=34.=34.像这样，共含有像这样，共含有两个未知数两个未知数的的两个一次方程两个一次方程所组成的一组方程，叫做所组成的一组方程，叫做二元一次方程组二元一次方程组.x+2 2y=7,7,3y+1=23y+1=2x-y=2=2，x+1=2+1=2（y
4、-1-1）和和等都是二元一次方程等都是二元一次方程.例如，例如，（1 1）x=6,=6,y=2=2适合方程适合方程x+y=8=8吗？吗？x=5=5，y=3=3呢？呢？x=4=4呢？呢？你还能找到其他你还能找到其他x，y值适合值适合x+y=8=8吗？吗？能，比如能，比如x=1=1，y=7.=7.x，y的值不唯一的值不唯一.（2 2）x=5=5，y=2=2适合方程适合方程5 5x+3+3y=34=34吗？吗？x=2=2，y=8=8呢？呢？x=5=5，y=2=2不适合，不适合，x=2=2，y=8=8适合适合.（3 3）你能找到一组）你能找到一组x，y值，同时适合方程值，同时适合方程x+y=8=8和和
5、5 5x+3+3y=34=34吗？吗？能能适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解二元一次方程的一个解.如如x=6,=6,y=2=2是方程是方程x+y=8=8的一个解，记作的一个解，记作同样，同样，也是方程也是方程x+y=8=8的一个解的一个解.x=5=5，y=3=3x=6=6，y=2.=2.二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解二元一次方程组的解.例如，例如，就是二元一次方程组就是二元一次方程组的解的解.x+y=8=8，5x+3+3y=43=43x=5=5，
6、y=3=31 1什么是二元一次方程什么是二元一次方程.2 2什么是二元一次方程组什么是二元一次方程组.3 3什么是二元一次方程组的解什么是二元一次方程组的解.本节课你学习了哪些知识？本节课你学习了哪些知识？根据题意列方程组：根据题意列方程组：小明从邮局买了面值小明从邮局买了面值5050分和分和8080分的邮票共分的邮票共9 9枚，枚，花了花了6.36.3元元.小明买了两种邮票各多少枚？小明买了两种邮票各多少枚？解：解：设设5050分邮票有分邮票有x枚，枚，8080分邮票有分邮票有y枚枚.根据题意，得根据题意，得 解得解得答：答：小明买了小明买了5050分邮票分邮票3 3枚，枚，8080分邮票分
7、邮票6 6枚枚.x+y=9=9，50 x+10+10y=630.=630.x=3=3，y=6.=6.本课结束5 5.2 2 求解求解二元一次方程组二元一次方程组（第（第1 1课时）课时）对于上一节课提出的问题：老牛和小马到底各驮了对于上一节课提出的问题：老牛和小马到底各驮了几个包几个包裹呢裹呢?这需要解方程组这需要解方程组 x-y=2=2，x+1=2+1=2（y-1-1）.由，得由，得 y=x-2.-2.由于方程组中相同的字母代表同一对象由于方程组中相同的字母代表同一对象,所以方程所以方程中的中的y y也等于也等于x-2,-2,可以用可以用x-2-2代替方程中的代替方程中的y.y.这样有这样有
8、 x+1=2+1=2（x-2-1-2-1）.解所得一元二次方程解所得一元二次方程，得，得x=7.=7.再把再把x=7=7代入代入得得y=5.=5.这样，我们得到二元一次方程组这样，我们得到二元一次方程组 的解为的解为 因此，老牛驮因此，老牛驮7 7个包裹，小马驮个包裹，小马驮5 5个包个包裹裹.注意注意:把求出的未知数的值代入原方程把求出的未知数的值代入原方程组组,可以知道求得解对不对可以知道求得解对不对.x-y=2=2，x+1=2+1=2（y-1-1）x=7=7，y=5.=5.例例1 解方程组：解方程组：3x+2y=14=14，x=y+3.把代入，得把代入，得 3 3（y+3+3）+2+2y
9、=14=14，3 3y+9+2+9+2y=14=14，5 5y=5=5，y=1=1，所以原方程组的解是所以原方程组的解是解：解：将将y=1=1代入，得代入，得 x=4.=4.经检验，经检验，x=4,=4,y=1=1适合原方程组适合原方程组.x=4=4，y=1.=1.用代入法解二元一次用代入法解二元一次方程组的步骤方程组的步骤代：代：1 1、用这个式子代替另、用这个式子代替另一个方程中相应的未知一个方程中相应的未知数，得到一个一元一次数，得到一个一元一次方程，求得一个未知数方程，求得一个未知数的值；的值；求：求：2 2、把这个未知数的值、把这个未知数的值代入上面的式子，求代入上面的式子，求得另一
10、个未知数的值；得另一个未知数的值；写：写：3 3、写出方程组的解、写出方程组的解.例例2 解方程组：解方程组：2x+3y=16=16，x+4 4y=1 13.将将代入，得代入，得 2 2（13-413-4y）+3+3y=16=16，26-8 26-8y+3+3y=16=16，-5 -5y=-10=-10，y=2=2，解：解：将将y=2=2代入代入，得，得 x=5.=5.x=5=5，y=2.=2.所以原方程组的解是所以原方程组的解是由由，得，得 x=13-4=13-4y.想一想与例想一想与例1 1相比例相比例2 2多了一步什么？多了一步什么？1 1、上面解方程组的基本思路是什么？、上面解方程组的
11、基本思路是什么？2 2、主要步骤有哪些？、主要步骤有哪些？上面解方程组的基本思路是上面解方程组的基本思路是“消元消元”把把“二元二元”变变为为“一元一元”.主要步骤是：将二元一次方程组中其中一个方程中主要步骤是：将二元一次方程组中其中一个方程中的某个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代的某个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫代入消元法，简称代入法组的解，这种方法叫代入消元法，简称代入法.1 1、二元一次方程组、二元一次方程组这节课我们学习了什么知识这节课我们学习了什么
12、知识?代入消元法代入消元法一元一次方程一元一次方程2 2、代入消元法的一般步骤：、代入消元法的一般步骤：3 3、思想方法：转化思想、消元思想、思想方法：转化思想、消元思想 变变代代求求写写转化转化用代入消元法解方程组：用代入消元法解方程组：y=2x，x+y=1212.把把代入代入，得，得 x+2x=12=12，3 3x=12=12，x=4=4，所以原方程组的解是所以原方程组的解是解：解：将将x=4=4代入，得代入，得 y=8.=8.经检验，经检验，x=4,=4,y=8=8适合原方程组适合原方程组.x=4=4，y=8.=8.本课结束5 5.2 2 求解求解二元一次方程组二元一次方程组（第（第2
13、2课时）课时）想一想：怎样解下面的二元一次方程组 3x+5y=21，2x-5y=-11.按照小丽的思路按照小丽的思路,你能消去一个未知数吗你能消去一个未知数吗?5y和和-5y互为互为相反数相反数.把把变形得变形得5y=2x+11,可以直接整体代入可以直接整体代入呀！呀！把把变形得变形得x=代入代入，不就消去，不就消去x了了小明小明小丽小丽小亮小亮2115 y怎样解下面的二元一次方程组 两个方程相加两个方程相加 (3x+5y)+(2x-5y)=21+(-11)可以得到可以得到 5x=10，x=2.将将x=2代入代入,得得32+5y=21，y=3所以方程组的解为所以方程组的解为 x=2=2，y=3
14、=3.3x+5y=21，2x-5y=-11.例例1 1 解方程组：解方程组：2 2x-5-5y=7=7,2 2x+3+3y=-1.-1.解：解：由由-,得得 8 8y=-8=-8，y=-1=-1.将将 y=-1=-1 代入代入 ,得得 2 2x+5=7+5=7，x=1=1.所以原方程组的解是所以原方程组的解是 x=1=1，y=-1=-1.例例2 2 解方程组：解方程组：2 2x+3+3y=12=12，3 3x+4+4y=17=17.解：解：由由3 3,得得 6 6x+9y=36x+9y=36.2 2,得得 6x+8y=34 6x+8y=34.-,得得 y=2 y=2.将将y=2 y=2 代入代
15、入 ,得得 x=3x=3.所以原方程组的解是所以原方程组的解是x=3 3，y=2.2.能否使两个方程中能否使两个方程中x（或（或y）的系数相等）的系数相等（或相反）呢（或相反）呢1 1基本思路基本思路 仍然是消元仍然是消元.2 2主要步骤主要步骤 通过两式相加通过两式相加(减减)消去其中一个未知数消去其中一个未知数.3 3这种解二元一次方程组的方法叫做这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法加减消元法.上面解方程组的基本思路是什么上面解方程组的基本思路是什么?主要步骤有哪些主要步骤有哪些?1.1.用加减消元法解方程组：用加减消元法解方程组：7x-2y=3=3，9x+2y=-1919.解：解：由
16、由+,得得 1616x=-=-1616，x=-1=-1.将将 x=-1=-1代入代入 ,得得 -7-7-2-2y=3 3，y=-5.-5.所以原方程组的解是所以原方程组的解是 x=-1 1，y=-=-5.5.2.2.用加减消元法解方程组：用加减消元法解方程组：6x-5y=3=3，6x+y=-1515.解：解：由由-,得得 6 6y=-=-1818，y=-=-3.3.将将 x=-=-3 3 代入代入,得得 6 6x-3-3=-15-15，x=-2.-2.所以原方程组的解是所以原方程组的解是 x=-2-2，y=-=-3.3.本课结束5 5.3 3 应用应用二元一次方程组二元一次方程组鸡兔同笼鸡兔同
17、笼 孙子算经孙子算经是我国是我国古代一部较为普及的算古代一部较为普及的算书书,许多问题浅显有趣许多问题浅显有趣.其中下卷第其中下卷第3131题题“雉兔雉兔同笼同笼”流传尤为广泛流传尤为广泛,飘洋过海流传到了日本飘洋过海流传到了日本等国等国.“鸡兔同笼鸡兔同笼”题为题为:今有鸡兔同笼今有鸡兔同笼,上有三十五头上有三十五头,下有九十四足下有九十四足,问鸡兔各几何问鸡兔各几何?“上有三十五头上有三十五头”的意思是什么的意思是什么?“下有九十四足下有九十四足”的意思是什么的意思是什么?3594足足头头总数总数鸡头鸡头+兔头兔头=35,鸡脚鸡脚+兔脚兔脚=94.等量关系：等量关系：xy2x4x你能找出问
18、题中的等量关系吗？你能找出问题中的等量关系吗？解：解：设有鸡设有鸡x只，有兔只，有兔y只只.由题意，得由题意，得.9442,35yxyx由由2 2,得得 2 2x+2 2y=70.70.-,得得 2 2y=2 24 4.y=1 12 2.将将y=1 12 2 代入代入 ,得得 x=2 23 3.所以原方程组的解是所以原方程组的解是x=2323，y=12.12.答：有鸡答：有鸡2323只，兔只，兔1212只只.例例 以绳测井以绳测井.若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺若将绳四折测之，绳多一尺.绳长、井深各绳长、井深各几何？几何？(1)“(1)“将绳三折测
19、之，绳多五尺将绳三折测之，绳多五尺”，什么意思？，什么意思？(2)“(2)“若将绳四折测之，绳多一尺若将绳四折测之，绳多一尺”，又是什么意思？，又是什么意思？题中有哪些等量关系题中有哪些等量关系?用绳子测量水井的深度用绳子测量水井的深度.如果将绳子折如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多成三等份，一份绳长比井深多5 5尺；如尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多深多1 1尺尺.绳长、井深各是多少尺？绳长、井深各是多少尺？解：设绳长解：设绳长x尺，井深尺，井深y尺，由题意，得尺，由题意，得答：绳长答：绳长48尺，井深尺，井深11尺尺.解得：解得：等量关系：等量
20、关系：列二元一次方程组解应用题的步骤是什么？列二元一次方程组解应用题的步骤是什么？（1 1）审题；）审题；（2 2）设两个未知数，找两个等量关系；）设两个未知数，找两个等量关系；（3 3）根据等量关系列方程，联立方程组；）根据等量关系列方程，联立方程组；（4 4）解方程组；）解方程组；（5 5）检验并作答）检验并作答.本节课学习了哪些知识？本节课学习了哪些知识？会了如何利用二元一次方程组解决实际问题会了如何利用二元一次方程组解决实际问题.1.1.设甲数为设甲数为x x，乙数为，乙数为y y，则，则“甲数的二倍与甲数的二倍与乙数的一半的和是乙数的一半的和是15”15”，列出方程为，列出方程为_.
21、2.小刚有小刚有5角硬币和角硬币和1元硬币各若干枚，币值元硬币各若干枚，币值共有六元五角，设共有六元五角，设5角有角有x枚，枚，1元有元有y枚，枚，列出方程为列出方程为 _.2 2x+0.5+0.5y=15=150.50.5x+y=6.5=6.53.3.某车间有工人某车间有工人5454人，每人平均每天加工人，每人平均每天加工 轴杆轴杆1515个或轴承个或轴承2424个，一个轴杆与两个轴承配成一套个，一个轴杆与两个轴承配成一套.若分若分配配x个工人加工轴杆，个工人加工轴杆，y个工人加工轴承，正好个工人加工轴承，正好使每天加工的产品成套，则可列方程组为（使每天加工的产品成套，则可列方程组为（）.A
22、 AB BC CDD1515x+24y=54，15x=24yx+y=54=54，1515x=2 22424yx+y=54，215x=24yx+y=54=54，1515x=24=24yB B4.4.甲、乙两人赛跑，若乙先跑甲、乙两人赛跑，若乙先跑1010米，甲跑米，甲跑5 5秒即可追秒即可追上乙；若乙先跑上乙；若乙先跑2 2秒，则甲跑秒，则甲跑4 4秒就可追上乙秒就可追上乙.设甲速为设甲速为x米米/秒，乙速为秒，乙速为y米米/秒，则可列方程组为秒，则可列方程组为（）.A AB BC CDD5 5y=5=5x+10+10，4 4y=6=6x5 5x+10=510=5y，4 4x=6 6y5 5x=
23、5=5y+10，4 4x=6y5 5y+10=510=5x，4 4y=6=6xB B本课结束5 5.3 3 应用应用二元一次方程组二元一次方程组增收节支某工厂去年的利润（总收入某工厂去年的利润（总收入总支出）为总支出）为200200万元万元.今年今年总总收入收入比去年增加了比去年增加了20%20%，总支出比去年减少了，总支出比去年减少了10%10%，今年，今年的利润为的利润为780780万元万元.去年的总去年的总收入收入、总支出各是多少万元？、总支出各是多少万元？去年的总去年的总收入收入去年的总支出去年的总支出=200=200万元，万元，今年的总今年的总收入收入今年的总支出今年的总支出=780
24、=780万元万元 关键关键:找出等量关系找出等量关系.今年的总今年的总收入收入=去年总去年总收入收入(1+20%(1+20%）.今年的总支出今年的总支出=去年的总支出去年的总支出(110%(110%）.设去年的总收入为设去年的总收入为x万元，总支出为万元，总支出为y万元，则有万元，则有总收入总收入/万元万元总支出总支出/万元万元利润利润/万元万元去年去年今年今年根据上表，可以列出方程组根据上表，可以列出方程组.解得解得.因此，去年的总收入是因此，去年的总收入是，总支出是总支出是.xy200200(1+20%)x(1-10%)y780780 x-y=200=200，（1+20%1+20%）x-（
25、1-10%）y=780.x=2000=2000，y=1800=1800解：解：设去年的总产值为设去年的总产值为x万元，总支出为万元，总支出为y万元万元.则：今年的总产值则：今年的总产值=（1+20%1+20%）x万元，今年的总支万元，今年的总支出出=（1 1-10%10%）y万元万元.由题意得由题意得:解得解得答：去年的总收入为答：去年的总收入为20002000万元，总支出为万元，总支出为18001800万元万元.分析分析关键关键:找出等量关系找出等量关系.每餐甲原料中含蛋白质量每餐甲原料中含蛋白质量=0.5=0.5每餐甲原料的质量每餐甲原料的质量.每餐乙原料中含蛋白质量每餐乙原料中含蛋白质量
26、=0.7=0.7每餐乙原料的质量每餐乙原料的质量.每餐甲原料中含蛋白质量每餐甲原料中含蛋白质量+每餐乙原料中含蛋白质量每餐乙原料中含蛋白质量=35.=35.例例 医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品每医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品每克甲原料含克甲原料含0.50.5单位蛋白质和单位蛋白质和1 1单位铁质，每克乙原料含单位铁质，每克乙原料含0.70.7单位蛋白质和单位蛋白质和0.40.4单位铁质若病人每餐需要单位铁质若病人每餐需要3535单位蛋白质单位蛋白质和和4040单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要足病
27、人的需要？分析：设每餐需甲原料分析：设每餐需甲原料x g,需乙原料需乙原料y g,则有则有甲原料甲原料x g乙原料乙原料y g所配置的营所配置的营养品养品其中所含蛋其中所含蛋白质白质其中所含铁其中所含铁质质0.5x 0.7y 35 x 0.4y 40解：设每餐需要甲原料解：设每餐需要甲原料x g、需乙原料、需乙原料y g，根据题意，得，根据题意，得 0.5x+0.7y=35，x+0.4y=40.化简，得化简，得 5x+7y=350，5x+2y=200.解得解得 x=28，y=30.所以每餐需甲原料所以每餐需甲原料28 g、乙原料、乙原料30 g.学法小结：学法小结：1.1.图表分析图表分析有利
28、于理清题中有利于理清题中的未知量，已知量以及等量的未知量，已知量以及等量关系，条理清楚关系，条理清楚 2.2.借助方程组解决实际问题借助方程组解决实际问题本节课你学习了哪些知识？本节课你学习了哪些知识？我知道了如何利用二元一次方程组解决问题我知道了如何利用二元一次方程组解决问题 新年来临爸爸想送小明一个书包和随身听作为新年新年来临爸爸想送小明一个书包和随身听作为新年礼物爸爸对小明说：礼物爸爸对小明说：“我在家乐福、人民商场都发我在家乐福、人民商场都发现同款的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身现同款的随身听的单价相同，书包单价也相同，随身听和书包单价之和是听和书包单价之和是452452元，且
29、随身听的单价比书包单元，且随身听的单价比书包单价的价的4 4倍少倍少8 8元，你能说出随身听和书包单价各是多少元，你能说出随身听和书包单价各是多少元，那么我就买给你做新年礼物元，那么我就买给你做新年礼物”.”.你能帮助他吗？你能帮助他吗？解：设书包单价为解：设书包单价为x元，则随身听单价为元，则随身听单价为y元元.根据题意可列出方程：根据题意可列出方程：答：书包单价答：书包单价92元，随身听单价元，随身听单价360元元.解得解得:本课结束5 5.3 3 应用应用二元一次方程组二元一次方程组里程碑上的数 小明爸爸星期天开车出去兜风，他在公路上匀小明爸爸星期天开车出去兜风，他在公路上匀速行驶，下图
30、是小明每隔速行驶，下图是小明每隔1 1小时看到的里程情况，你小时看到的里程情况，你能确定他能确定他在在12:0012:00看到的看到的里程碑上的数吗？里程碑上的数吗？如果设小明在如果设小明在12:00时看到的数的十位数字是时看到的数的十位数字是x，个位数字是，个位数字是y，那么，那么（1）12:00时小明看到的数可表示为时小明看到的数可表示为 ，根据两个数字之和是根据两个数字之和是7，可列出方程，可列出方程 .（2）13:00时小明看到的数可表示为时小明看到的数可表示为 ，12:0013:00间摩托车行驶的路程是间摩托车行驶的路程是 .（3）14:00时小明看到的数可表示为时小明看到的数可表示
31、为 ，13:0014:00间摩托车行驶的路程是间摩托车行驶的路程是 .你能根据以上分析，列出相应的方程求解吗？你能根据以上分析，列出相应的方程求解吗？x+y=7，（100 x+y）-（10 x+y）=（100y+x）-（10 x+y）.整理得整理得解得解得因此，小明在因此，小明在12:00时看到的里程碑上的数是时看到的里程碑上的数是16x+y=,y=6 x.x,y.解：设小明在解：设小明在12:00看到的数十位数字是看到的数十位数字是x，个位数字是，个位数字是y，根据根据题意得：题意得：例例 两个两位数的和是两个两位数的和是6868，在较大的两位数的右边接着写较小的，在较大的两位数的右边接着写
32、较小的两位数时，得到一个四位数，在较大的两位数的左边写较小的两两位数时，得到一个四位数，在较大的两位数的左边写较小的两位数时，也得到一个四位数，已知前一个四位数比后一个四位数位数时，也得到一个四位数，已知前一个四位数比后一个四位数大大21782178，求这两个两位数，求这两个两位数.分析：设较大的两位数为分析：设较大的两位数为x，较小的两位数为，较小的两位数为y,v在较大的数的右边接着写较小的数，所写的数可表示为在较大的数的右边接着写较小的数，所写的数可表示为 _._.v在较大的数的左边写上较小的数，所写的数可表示为在较大的数的左边写上较小的数，所写的数可表示为 _._.100100 x+y1
33、00100y+x解：设较大的两位数为解：设较大的两位数为x，较小的两位数为，较小的两位数为y,根据题意得根据题意得x+y=68(100 x+y)-(100y+x)=2178化简得：化简得：x+y=68x-y=22解方程组得：解方程组得：x=45y=23所以这两个两位数分别为所以这两个两位数分别为45和和23 本节课你学习了哪些知识？本节课你学习了哪些知识？在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往在很多实际问题中，都存在着一些等量关系，因此我们往往可以借助列方程或方程组的方法来处理这些问题往可以借助列方程或方程组的方法来处理这些问题这种处理问题的过程可以进一步概括为：这种处理问题的过程
34、可以进一步概括为：分析求解分析求解问题问题方程（组）方程（组）解答解答抽象抽象检验检验要注意的是，处理实际问题的方法是多种多样的，图表分要注意的是，处理实际问题的方法是多种多样的，图表分析是一种直观简洁的方法，还可运用化归等数学思想方法，应析是一种直观简洁的方法，还可运用化归等数学思想方法，应根据具体问题灵活选用根据具体问题灵活选用列二元一次方程组解决实际问题的列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是什么？（设、列、解、验、答）一般步骤是什么？（设、列、解、验、答）v“设设”：弄清题意和题目中的数量关系，用字母表示：弄清题意和题目中的数量关系，用字母表示题目中的两个未知数；题目中的两个未知数；
35、v“列列”：找出能够表达应用题全部含义的两个等量关：找出能够表达应用题全部含义的两个等量关系，根据这两个相等关系列出需要的代数式，从而列出系，根据这两个相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；方程并组成方程组；v“解解”：解这个方程组，求出未知数的值；：解这个方程组，求出未知数的值；v“验验”：检验这个解是否正确，并看它是否符合题意；：检验这个解是否正确，并看它是否符合题意；v“答答”：与设前后呼应，写出答案，包括单位名称；：与设前后呼应，写出答案，包括单位名称；一个两位数，减去它的各位数字之和的一个两位数，减去它的各位数字之和的3 3倍，结果倍，结果是是2323；这个两位数除以它
36、的各位数字之和，商是；这个两位数除以它的各位数字之和，商是5 5，余，余数是数是1.1.这个两位数是多少这个两位数是多少?解：解：设这个两位数的十位数字为设这个两位数的十位数字为x，个位，个位数字为数字为y.根据题意，得根据题意，得解得解得 所以这个两位数为所以这个两位数为56.56.答：这个两位数为答：这个两位数为56.56.1010 x+y-3+y-3（x+yx+y）=23=23，10 x+y=510 x+y=5（x+yx+y）+1.+1.x=5x=5，y=6.y=6.本课结束5 5.6 6二元一次方程二元一次方程与一次函数与一次函数 十七世纪法国数学家笛卡尔有一次生病卧床，他看见屋顶十七
37、世纪法国数学家笛卡尔有一次生病卧床，他看见屋顶上的一只蜘蛛顺着左右爬行，笛卡尔看到蜘蛛的上的一只蜘蛛顺着左右爬行，笛卡尔看到蜘蛛的“表演表演”猛的猛的灵机一动灵机一动.他想，可以把蜘蛛看成一个点，它可以上、下、左、他想，可以把蜘蛛看成一个点，它可以上、下、左、右运动，能不能知道蜘蛛的位置用一组数确定下来呢？右运动，能不能知道蜘蛛的位置用一组数确定下来呢？在蜘蛛爬行的启示下，笛卡尔创建了直角坐标系，直角坐标在蜘蛛爬行的启示下，笛卡尔创建了直角坐标系，直角坐标系的创建，在代数和几何上架起了一座桥梁系的创建，在代数和几何上架起了一座桥梁.在坐标系下几何图在坐标系下几何图形（形）和方程（数）建立了联系
38、形（形）和方程（数）建立了联系.笛卡尔坐标系起到了桥梁和笛卡尔坐标系起到了桥梁和纽带的作用，而我们可以把图形化成方程来研究，也可以用图纽带的作用，而我们可以把图形化成方程来研究，也可以用图象来研究方程象来研究方程.这节课我们就来研究二元一次方程（组）与一次这节课我们就来研究二元一次方程（组）与一次函数（形）的关系函数（形）的关系.这是什么？一次函数一次函数这是怎么这是怎么回事？回事？二元一次方二元一次方程程 边做边思考边做边思考:（1 1）方程）方程x+y=5=5的解有多少个的解有多少个?写出其中的几个写出其中的几个?（2 2）在直角坐标系内分别找出以这些解为坐标的点）在直角坐标系内分别找出以
39、这些解为坐标的点,它们它们在一次函数在一次函数y=5-=5-x的图象上吗的图象上吗?（3 3）在一次函数）在一次函数y=5-=5-x的图象上任取一点的图象上任取一点,它的坐标适合方它的坐标适合方程程x+y=5=5吗吗?（4 4）以方程）以方程x+y=5=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数函数y=5-=5-x的图象相同吗的图象相同吗?一般地一般地,以一个二元一次方程的解以一个二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与相应的一次函为坐标的点组成的图象与相应的一次函数的图象相同数的图象相同,是一条直线是一条直线.结论方程方程x+y=5=5可以转化为可以转化为任意一
40、个二元一次方程都可以转化任意一个二元一次方程都可以转化成成y=kx+b的形式的形式,所以每个二元一次所以每个二元一次方程都对应一个一次函数方程都对应一个一次函数.归纳归纳:思考：思考：是不是任意的二元一次方程是不是任意的二元一次方程都能进行这样的转换呢？都能进行这样的转换呢？y=5-=5-x从形到数从形到数从数到形从数到形每个二元一次方程都可转化为一次函数每个二元一次方程都可转化为一次函数在同一直角坐标系内分别在同一直角坐标系内分别画出一次函数画出一次函数y=5-=5-x和和y=2=2x-1-1的图象的图象,这两个图象有交点吗这两个图象有交点吗?交点的坐标与方程组交点的坐标与方程组 的解有什么
41、关系？的解有什么关系？x+y=5=5，2 2x-y=1=1在同一直角坐标系中一次函数在同一直角坐标系中一次函数y=5-5-x和和y=2=2x-1-1的图象有交点，交点坐标是的图象有交点，交点坐标是B B（2 2，3 3）.一般地，从图形的角度看，确定两条直线一般地，从图形的角度看，确定两条直线交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组交点的坐标，相当于求相应的二元一次方程组的解的解;解一个二元一次方程组相当于确定相应的解一个二元一次方程组相当于确定相应的两条直线交点的坐标两条直线交点的坐标.方程组方程组 的解是的解是x+y=5=5，2 2x-y=1=1x=2，y=3.交点坐标（交点坐标（2,32
42、,3）是方程组）是方程组 的解的解.x+y=5=5，2 2x-y=1=1 在同一坐标系内，一在同一坐标系内，一次函数次函数y=x+1+1和和y=x-2-2的的图象有怎样的位置关系？图象有怎样的位置关系？方程组方程组 解的情解的情况如何？你发现了什么？况如何？你发现了什么？两条直线互相平行，方程组无解两条直线互相平行，方程组无解.x-y=-1=-1，x-y=2=2（1 1）对应关系）对应关系 将方程组中各方程化为将方程组中各方程化为y=kx+by=kx+b的形式；的形式；画出各个一次函数的图象；画出各个一次函数的图象；由交点坐标得出方程组的解由交点坐标得出方程组的解 （2 2）图象法解方程组的步
43、骤：）图象法解方程组的步骤：二 元 一 次 方二 元 一 次 方程组的解程组的解两个一次函数两个一次函数图的交点坐标图的交点坐标两个一次函数两个一次函数（1 1）二元一次方程与一次函数的区别与联系二元一次方程与一次函数的区别与联系二元一次方程的解是一次函数上点的坐标二元一次方程的解是一次函数上点的坐标;一次函一次函数上每一个点的坐标就是二元一次方程的一组解数上每一个点的坐标就是二元一次方程的一组解.（2 2）二元一次方程组的解法总共学习了哪几种二元一次方程组的解法总共学习了哪几种?加减法加减法;代入法代入法;图象法图象法.（3 3）方法归纳方法归纳用图象法解二元一次方程组用图象法解二元一次方程
44、组优点优点:方法简便方法简便,形象直观形象直观;体现了数形结合思想体现了数形结合思想.不足不足:一般情况下求出的是近似数一般情况下求出的是近似数;要想精确还要用代要想精确还要用代数方法数方法,进行细致计算进行细致计算.1 1、一次函数、一次函数y=3=3x-1-1与与y=2=2x图象的交点（图象的交点（1 1,2,2）,则方程则方程组组 的解为的解为 .（2 2，2 2）3 3x-y=1 1，y=2=2xx=1=1，y=2=22 2、若二元一次方程组、若二元一次方程组 的解为的解为 则函则函数数y=0.5=0.5x+1+1与与 y=2=2x-2-2的图象的交点坐标为的图象的交点坐标为_._.x
45、-2-2y=-2=-2，2 2x-y=2=2x=2=2，y=2.=2.本课结束5 5.7 7用二元一次方程组确定一次函数表达式用二元一次方程组确定一次函数表达式前面前面,我们已经学会利用一次函数的关系我们已经学会利用一次函数的关系式求二元一次方程组的解式求二元一次方程组的解.相反的相反的,能不能用二能不能用二元一次方程组来确定一次函数的表达式呢元一次方程组来确定一次函数的表达式呢?A A、B B 两地相距两地相距1 10 00 0kmkm，甲、乙两人，甲、乙两人骑车同时分别从骑车同时分别从A A、B B 两地相向而行两地相向而行.假设他假设他们都保持匀速行驶，则他们各自到们都保持匀速行驶，则他
46、们各自到A A地的距地的距离离 s s（kmkm）都是骑车时间）都是骑车时间 t t （h h）的一次函）的一次函数数.1 1 h h后乙距后乙距A A地地80km80km,2 2 h h后甲距后甲距A A地地30km30km.问：经过多长时间两人相遇问：经过多长时间两人相遇?可以分别画出两人可以分别画出两人s s 与与t t 之间的关系图象，找出交之间的关系图象，找出交点的横坐标就行了！点的横坐标就行了！你明白他们的想法吗？用他的方法做一做，看看你明白他们的想法吗？用他的方法做一做，看看和你的结果一致吗？和你的结果一致吗？1 h1 h后乙距后乙距A A地地80 km,80 km,即乙的即乙的
47、速度是速度是30 km/h30 km/h；2 h2 h后甲距后甲距A A地地30 km,30 km,故甲的速度是故甲的速度是 1515 kmkm/h h，由此可求出甲、乙两人的速度由此可求出甲、乙两人的速度,和和.设设t t 小时后两人相遇小时后两人相遇.则则8080t t+15+15t t=100.=100.你明白她的想法吗？你明白她的想法吗？用他的方法做一用他的方法做一做，看看和你的结果一致吗？做，看看和你的结果一致吗？对于乙，对于乙，s s 是是t t 的一次函数，可以设的一次函数，可以设 s s=ktkt+b b.当当t t=0=0时，时，s s=100=100；当；当t t=1=1时
48、，时，s s=80=80.将它们分别代将它们分别代入入s s=ktkt+b b中，可以求出中，可以求出k k、b b 的值，也即可以求的值，也即可以求出乙出乙 s s 与与t t 之间的函数表达式之间的函数表达式.同样可求出甲的同样可求出甲的 s s与与t t 之间的函数表达式之间的函数表达式.再联立再联立这两个表达式，求解方程组就行了这两个表达式，求解方程组就行了.tsts3015020消去消去 s3 t用一元一次方程的用一元一次方程的方法可以解决问题方法可以解决问题用图象法可以用图象法可以解决问题解决问题用方程组的方法可用方程组的方法可以解决问题以解决问题用画图象的方法可以直观地用画图象的
49、方法可以直观地获得问题的结果，但有时却获得问题的结果，但有时却难以准确，为了获得准确的难以准确，为了获得准确的结果，我们一般用代数方法结果，我们一般用代数方法.在以上的解题过程中你受到什么启发？在以上的解题过程中你受到什么启发？例 某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质某长途汽车客运站规定，乘客可以免费携带一定质量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费量的行李，但超过该质量则需购买行李票，且行李费y（元）是行李质量（元）是行李质量x（kgkg）的一次函数）的一次函数.已知李明带了已知李明带了6060 kgkg的行李，交了行李费的行李，交了行李费5 5元；张华带了元；张华带了9090
50、 kgkg的行李，的行李，交了行李费交了行李费1010元元.（1 1）写出）写出y与与x之间的函数表达式；之间的函数表达式；（2 2）旅客最多可免费携带多少千克的行李？）旅客最多可免费携带多少千克的行李？（1 1）设此一次函数表达式为：设此一次函数表达式为：y=kx+b（k00，k，b为常为常数）数）根据题意，可得方程组：根据题意，可得方程组：.9010,605bkbk.5,61bk解得：解得：（2 2）当）当x=30=30时，时，y=0.=0.所以旅客最多可免费携带所以旅客最多可免费携带30 kg30 kg的行李的行李.像本题这样，先设出函数像本题这样，先设出函数表达式，再根据所给条件表达式
