1、天津市军粮城第二中学天津市军粮城第二中学 20192020 学年高三年级上学年高三年级上 12 月月 数学考试题数学考试题 一、选择题：共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1在四边形ABCD中，BCAD/，2AB，5AD，3BC，60A ，点E在线 段CB的延长线上，且 BEAE ，点M在边CD所在直线上，则 MEAM 的最大值为 （ ） A 71 4 B24 C 51 4 D30 2设集合 2 22320Ax xBx xx，则 R AC B I（ ） A 0,1 2,4
2、 B1,2 C D,04, 3过点(3,1)M作圆 22 2620xyxy的切线 L，则 L 的方程为（ ） A 40xy B40xy或3x C 20xy D20xy或3x 4 已知数列 n a是等比数列， 数列 n b是等差数列， 若 2610 3 3aaa，1 611 7bbb， 则 210 39 tan 1 bb aa 的值是（ ） A1 B 2 2 C 2 2 D 3 5设正实数, ,a b c分别满足 2 2 1 21,log1,1 2 c a abbc ，则, ,a b c的大小关系为 （ ） Ab
3、ca Bcba Ccab Dacb 6已知函数xxxf2sin32cos)(，则下列说法中，正确的是（ ） A)(xf的最小值为1 ； B)(xf在区间 6 , 6 上单调递增； C)(xf的图像关于点 Zk k ),0 , 26 ( 对称 D将)(xf的纵坐标保持不变，横坐标缩短为原来的 2 1 ，可得到) 3 cos(2)(xxg . 7抛物线 2 2(0)ypx p=的焦点与双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab -=的右焦点 F 重合，且 相交于,A B两点，直线 AF 交抛物线与另一点 C，且与双曲线的一条渐近线平行，若 1 | 2 AFFC=，则双曲线的离心
4、率为（ ） A 2 3 3 B 2 C2 D3 8 设函数 f x在R上可导，xR ， 有 2 f xfxx且 22f； 对(0,)x ， 有 fxx 恒成立，则 2 ( )1 2 f x x 的解集为（ ） y x O B F C A A( 2,0) (0,2) B(, 2)(2,) C( 2,0) (2,) D(, 2)(0,2) 9 “10 x”是“1) 1(log2x”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 二、填空题：本大题共 6
5、小题，每小题 5 分，共 30 分. 10复数i i i z2 1 1 ，则 | z . 11曲线 ( )2sincosf xxx 在点 ,( )f 处的切线方程为 . 12在 8 1 x x 的二项展开式中，含 2 x项的系数是 .（用数字作答） 13已知六棱锥ABCDEFP 的七个顶点都在球O的表面上，若2PA ，PA底面 ABCDEF，且六边形ABCDEF是边长为 1 的正六边形，则球O的体积为 . 14若0mn，则 2 1 () m mn n 的最小值为 . 15 已 知 定 义 在R上 的 函 数 ( )f x 满 足(2)(2)f xf x， 且 当( 2,2x 时 ， 2 111
6、 ,02 2( ) 2 ,20 xxx xxf x xxx ， 若 函 数( )( )log,(1) a g xf xxa在 (0,5)x上有四个零点，则实数a的取值范围为 . 三、解答题：本大题共 5 个小题，共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16 （本小题满分 14 分） 在ABC中 ， 内 角, ,A B C所 对 的 边 分 别 为, ,a b c. 已 知sin4 sinaAbB， 222 5()acabc. （I）求cos A的值； （II）求sin(2)BA的值. 17 （本小题满分 15 分） 菱形ABCD中，120oABCEA 平面ABCD，/EA FD，
7、22EAADFD， （）证明：直线/FC平面EAB； （）求二面角EFCA的正弦值； （）线段EC上是否存在点M使得直线EB与平面BDM所成角的正弦值为 2 8 ？若 存在，求 EM MC ；若不存在，说明理由. 18 （本小题满分 14 分） F E D C B A 已知点BA,分别是椭圆1: 2 2 2 2 b y a x C（0 ba）的左顶点和上顶点，F为其右焦 点，1BFBA，且该椭圆的离心率为 2 1 ； （I）求椭圆C的标准方程； （II）设点P为椭圆上的一动点，且不与椭圆顶点重合，点M为直线AP与y轴的交点， 线段AP的中垂线与x轴交于点N，若直线OP斜率为 OP
8、k，直线MN的斜率为 MN k，且 2 8 OPMN b kk a （O为坐标原点） ，求直线AP的方程. 19 （本小题满分 16 分） 已知数列 n a是公比大于 1 的等比数列， n S为数列 n a的前n项和, 3 7S ，且 1 3a ， 2 3a， 3 4a 成等差数列数列 n b的前n项和为 n T， * nN 满足 1 1 12 nn TT nn ，且 1 1b ， （I）求数列 n a和 n b的通项公式； （II）令 为偶数 为奇数， nba n bbc nn nn n , 2 2 ，求数列 n c的前n2项和为 n Q2； （III）将数列, nn ab的项按照“当n为奇
9、数时， n a放在前面；当n为偶数时， n b放在 前面” 的要求进行排列， 得到一个新的数列： 11223344556 ,a b b a a b b a a b b， 求这个新数列的前n项和 n P 20 （本小题满分 16 分） 已知 2 ( )46lnf xxxx， （）求( )f x在1,(1)f处的切线方程以及( )f x的单调性； （）对1,x ，有 2 1 ( )( )6112xfxf xxk x 恒成立，求k的最大整数 解； （）令( )( )4(6)lng xf xxax，若( )g x有两个零点分别为 1212 ,()x x xx且 0 x 为( )g x的唯一的极值点，求
10、证： 120 34xxx. 参考答案 一、选择题：共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分. 15：AACDB 69：BDCA 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 101 1121 20xy 1270 13 8 2 3 144 15(3,4(5,) 三、解答题：本大题共 5 个小题，共 75 分. 16 （本小题满分 14 分） 解： （）由sin4 sinaAbB，及 sinsin ab AB ，得2ab.（2 分） 由 222 5acabc及余弦定理，得 222 5 5 5 cos 25 ac bca A bc
11、ac . （6 分） （）由（） ，可得 2 5 sin 5 A ， （7 分） 代入sin4 sinaAbB，得 sin5 sin 45 aA B b .（8 分） 由（）知，A 为钝角，所以 2 2 5 cos1 sin 5 BB .（9 分） 于是 4 sin22sin cos 5 BBB， （10 分） 2 3 cos212sin 5 BB ， （11 分）故 4532 52 5 sin 2sin2 coscos2 sin 55555 BABABA . （14 分） 17 （本小题满分 15 分） 解：建立以D为原点，分别以DA，DT（T为BC中点），DF的方向为x轴，y轴，z轴 正方
12、向的空间直角坐标系（如图），（1 分） 则2,0,0A， 1, 3,0B， 1, 3,0C ， 0,0,0D，2,0,2E，0,0,1F.（2 分） （）证明：0,0, 2EA ， 1, 3,0AB ， 设, ,nx y z为平面EAB的法向量， 则 0 0 n EA n AB ，即 20 30 z xy ， 可得 3,1,0n ，（3 分） 又 1, 3, 1FC ，可得0n FC，（4 分） 又因为直线FC 平面EAB，所以直线/FC平面EAB； （5 分） （）2,0, 1EF ， 1, 3, 1FC ，2,0, 1FA ， 设 1 , ,nx y z为平面EFC的法向量， 则 1 1
13、0 0 n EF n FC ，即 20 30 xz xyz ，可得 1 3, 3,6n ，（6 分） F E D C B A x y z 设 2 , ,nx y z为平面FCA的法向量， 则 2 2 0 0 nFA nFC ，即 20 30 xz xyz ，可得 2 1, 3,2n ，（7 分） 所以 12 12 12 6 cos, 4 n n n n n n ，（8 分） 所以二面角EFCA的正弦值为 10 4 ；（9 分） （）设 3 , 3 , 2EMEC ，则 23 , 3 ,22M， （10 分） 则 1,3,0BD ， 23 , 3 ,22DM， （11 分） 设 3 , ,nx
14、y z为平面BDM的法向量， 则 3 3 0 0 nBD nDM ，即 30 233220 xy xyz ， 可得 3 2 33 3, 1, 1 n ，（12 分） 由 1, 3, 2EB ，得 3 2 2 33 1 2 2 32 2 cos, 8 2 2 4 33 1 EB n ， （13 分） 解得 1 4 或 7 8 （舍），（14 分） 所以 1 3 EM MC .（15 分） 18 （本小题满分 14 分） 解： （I）依题意知：)0 ,( aA ,), 0(bB,)0 ,(cF，),(baBA,),(bcBF,（1 分） 则1 2 bacBFBA， （2 分）又 2 1
15、 a c e， 2 3 a b ， （3 分） 椭圆C的标准方程为C： 22 1 43 xy .（4 分） （II）由题意)0 , 2(A，设直线AP的斜率为k，直线AP方程为)2( xky 所以)2 , 0(kM，设 ),( pp yxP ，AP中点为),( HH yxH，)0 ,( N xN 由 1 34 )2( 22 yx xky 消去y得0121616)43( 2222 kxkxk（5 分） 2 2 43 1216 )2( k k xP ) 43 12 , 43 86 ( 22 2 k k k k P （7 分） ) 43 6 , 43 8 ( 22 2 k k k k H
16、 （9 分） AP中垂线方程为：) 43 8 ( 1 43 6 2 2 2 k k x kk k y 令0y得 2 2 43 2 k k xN )0 , 43 2 ( 2 2 k k N （10 分） 2 43 6 k k x y k P P OP ， （11 分） 2 2 2 234 2 34 MN kk k kk k （12 分） 22 2 6348 () ()12 34 OPMN kkb kk kka 解得 4 9 2 k 2 3 k（13 分） 直线AP的方程为)2( 2 3 xy，即3260xy（14 分） 19 （本小题满分 1
17、6 分） （I）由已知，得 123 13 2 7 (3)(4) 3 2 ，aaa aa a ， 即 123 123 7 67 aaa aaa ， 也即 2 1 2 1 (1)7 (1 6)7 aqq aqq 解得 1 1 2 a q （1 分） 故数列 n a的通项为 1 2n n a （2 分） 1 1 12 nn TT nn ， n T n 是首项为 1，公差为 1 2 的等差数列， （3 分） 11 1 (1) 22 n Tn n n (1) 2 n n n T * ()nN（4 分） n bn， * ()nN（5 分） （II） 1 11 , 2 2, 为奇数 为偶数 n n n cn
18、n nn （5 分） 21321242 ()()Q nnn cccccc 1 1431 14 2199 n n n （9 分） 1 13131 4 9219 n n n （10 分） （III）数列 n a前n项和21 n n S ，数列 n b的前n项和 (1) 2 n n n T ； 当2nk * ()kN， 2 (1)(2) 2121 28 n k nkk k kn n PST （11 分） 当43-nk * ()kN 当1n 时， 1 1 n PP 当2n 时, 1 21 2 2122 (22)(21)(1)(1) 2121 28 n k nkk kknn PST （13 分） 当41
19、-nk * ()kN 1 21 2 212 (2 )(21)(3)(1) 2121 28 n k nkk kknn PST （15 分） 综上 2 1 2 1 2 (2) 21,2 8 (1)(1) 21,43 8 1,1 (3)(1) 21,41 8 n n n n n n nk nn nk P n nn nk （16 分） 20 （本小题满分 16 分） 解： （） 6 ( )24fxx x ； （1 分） (1)8,(1)3ff ； （2 分） 所以切线方程为85yx ； （3 分） 2 ( )(1)(3)fxxx x ，所以( )f x的单调递减区间为(0,3)，单调递增区间为(3,)
20、. （5 分） （） 2 1 ( )( )6112xfxf xxk x 等价于 min ln ( ) 1 xxx kh x x ； （6 分） 2 2ln ( ) 1 xx h x x ， （7 分） 记 1 ( )2ln ,( )10m xxx m x x ，所以( )m x为(1,)上的递增函数， （8 分） 且(3)1 ln30,(4)2ln40mm ，所以 00 (3,4), . . ()0xst m x 即 00 2ln0xx， （9 分） 所以( )h x在 0 (1,)x上递减，在 0 (,)x 上递增， 且 000 min00 0 ln ( )()(3,4) 1 xxx h x
21、h xx x ； （10 分） 所以k的最大整数解为 3.（11 分） （） 2 22 ( )20( )ln ,g xaxa a g xx x xa x xx ，得 0 2 a x ， （12 分） 当(0,) 2 a x， '( )0g x ， (,) 2 a x， '( )0g x ；所以( )g x在(0, ) 2 a 上单调 递减，(,) 2 a 上单调递增，而要使 ( )g x有两个零点，要满足 0 ()0g x， 即 2 ()()ln02e 222 aaa gaa； （13 分） 因为 1 0 2 a x， 2 2 a x ，令 2 1 (1) x t t x ，
22、由 22 121122 ()()lnlnf xf xxaxxax， 即： 2222 11111 2 ln lnln 1 at xaxt xatxx t ， 而 22 12011 34(31)2 2(31)8xxxtxatxa 即： 2 2 ln (31)8 1 at ta t 由0,1at，只需证： 22 (31) ln880ttt， （14 分） 令 22 ( )(31) ln88h tttt，则 1 ( )(186)ln76h tttt t 令 1 ( )(186)ln76n tttt t ，则 2 61 ( )18ln110(1) t n ttt t 故( )n t在(1,)上递增，( )(1)0n tn； （15 分） 故( )h t在(1,)上递增，( )(1)0h th； 120 34xxx.（16 分）
