1、 专题专题 01 “构造函数，比较大小”之归纳大全“构造函数，比较大小”之归纳大全 一、作差构造函数，求参数范围 1设函数 2 , x f xxe g xaxx （）若 f x与 g x具有完全相同的单调区间，求a的值; （）若当0x时，恒有 f xg x，求a的取值范围 【思路引导】 （）求导，通过导函数的符号变化确定函数 f x的单调区间，再通过二次函 数的对称性和单调性求出a值； （）作差构造函数，将问题转化为函数的最小值为正，再通 过研究导数的符号变化研究函数的最值 （）当0x时恒有 f xg x，即 10 x f xg xx eax恒成立， 故只需 10 x F xeax 恒成立，
2、对 F x求导可得 x Fxea 0, x xFxea 若1,a 则 当0,x时 ， 0,FxF x为 增 函 数 ， 从 而 当0x时 ， 00F xF 即 ;f xg x 若1,a 则当0,xlna时， 0,FxF x为减函数， 从而当0,xlna时， 00,F xF即 ,f xg x故 ;f xg x不恒成立 故a的取值范围为,1 2已知函数 2 , x f xxaxb g xecxd若曲线 yf x和曲线 yg x都过 点0,2P，且在点P处有相同的切线42yx （）求, , ,a b c d的值; （）若2x时， f xkg x，求k的取值范围 【思路引导】（） 由已知得 02,02
3、,0 =4,0 =4fgfg， 即可求解, , ,a b c d的值； （）由（）知，设 2 2142 x h xkg xf xkexxx，求得 h x，根据 题意 00h，得1k ，利用导数分类讨论，的奥函数的单调性与最值，即可求得实数k的 取值范围 试题解析： （）由已知得 02,020 =40 =4fgfg ， 2, x fxxa g xecxdc 4,2,2,2.abcd （）由（）知， 2 42,21 x f xxxg xex， 设 2 2142 x h xkg xf xkexxx， 则 2224221 xx h xkexxxke 由题意知， 00h，即1k ， 令 0h x，则 1
4、2 2,lnxxk ， 当 2 1ke即 2 20x 时， 由 0h x得， lnxk， 由 0h x得， 2lnxk ， 所以 h x在2, lnk 单调递减，在ln , k单调递增， 所以 h x在区间2,上的最小值 min lnlnln20h xhkkk， 所以当2x时， 0h x 即 f xkg x恒成立 当 2 ke即 2 2x 时， 0h x恒成立，即 h x在2,单调递增， 所以 h x在区间2,上的最小值 min 20h xh， 所以当2x时， 0h x 即 f xkg x恒成立 当 2 ke即 2 2x 时， 0h x恒成立即 h x在2,单调递增， 所以 h x在区间2,上
5、的最小值 22 min 220h xheke ， 所以当2x时， f xkg x不可能恒成立 综上所示， k的取值范围是 2 1,e 3已知函数 2 21lnf xxmxx mR （1）当 1 2 m 时，若函数 1 lng xf xax恰有一个零点，求a的取值范围； （2）当1x 时， 2 1f xm x恒成立，求m的取值范围 【思路引导】 1将当 1 2 m 时代入，得 2 lng xa xx，求导，分类讨论当0a时、当 0a时、 当0a时三种情况求出a的取值范围(2)构造 2 21lnh xmxmxx， 求导， 讨论 1 0 2 m、 1 2 m 、0m三种情况，求出m的取值范围 当0a
6、时，令 0gx ，解得 2 a x 当0 2 a x时， 0gx ，所以 g x在0, 2 a 上单调递减； 当 2 a x 时， 0gx ，所以 g x在, 2 a 上单调递增 要使函数 f x有一个零点，则ln0 222 aaa ga 即2ae 综上所述，若函数 g x恰有一个零点，则2ae或0a 若 1 2 m ，则1,x时， 0h x 恒成立，所以 h x在1,上是增函数，且 1 ,h xh，所以不符题意 若0m， 则1,x时， 恒有 0h x ， 故 h x在1,上是减函数， 于是“ 0h x 对任意1,x都成立”的充要条件是 10h，即210mm，解得1m，故 10m 综上， m的
7、取值范围是1,0 4已知函数 1 3lnf xxb x x （1）当4b时，求函数 f x的极小值； （2）若1,xe 上，使得 11 4 b xf x xx 成立，求b的取值范围 【思路引导】 （1） 将参数值代入表达式， 再进行求导， 根据导函数的正负得到原函数的单调性， 进而得到极值； （2） 1 h xln0 b xb x x ，有解，即 h(x)的最小值小于 0 即可，对函数 求导，研究函数的单调性，得到最小值即可 解析： （1）当时， / 22 31141 3 xx fx xxx 令 / fx 0，得 且在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增 所以在时取得极小值为 12f （2）
8、由已知：，使得 1111 440 bb xf xxf x xxxx 111 43ln0 b xxb x xxx ，即： 1 ln0 b xb x x 设， 则只需要函数在上的最小值小于零 又， 令，得（舍去）或 当，即 时，在上单调递减， 故在上的最小值为，由，可得 因为，所以 当，即 时，在上单调递增， 故在上的最小值为，由， 可得（满足） 当，即 时，在上单调递减，在上单调递增， 故在上的最小值为 因为，所以， 所以，即，不满足题意，舍去 综上可得或， 所以实数的取值范围为 5已知函数 2 2lnf xxxa x， g xax （1）求函数 F xf xg x的极值； （2）若不等式 si
9、n 2cos x g x x 对0x恒成立，求a的取值范围 【思路引导】 （1）由题意的 F x，求得 Fx，分类讨论得到函数的单调性，即可确定函数 的极值； （2）设 sin 2cos x h xax x ，得到 h x，令costx，则1,1t ， 2 12 2 t t t ， 求得 t，得到 t的单调性和值域，进而分类讨论，得到 h x的最小值，得到实数a的 取值范围 01 2 a 即20a 时， F x在0, 2 a 和1,上递增，在,1 2 a 上递减， 2 a F xF 极大 2 ln 42 aa aa ， 11F xFa 极小 1 2 a 即2a 时， F x在0,上递增， F
10、x没有极值 1 2 a 即2a时， F x在0,1和, 2 a 上递增， F x在1, 2 a 上递减， 11F xFa 极大 ， 2 a F xF 极小 2 ln 42 aa aa 综上可知： 0a时， 1F xa 极小 ， F x无极大值； 20a 时， 2 a F xF 极大 2 ln 42 aa aa ， 11F xFa 极小 ； 2a 时， F x没有极值； 2a时， 11F xFa 极大 ， 2 a F xF 极小 2 ln 42 aa aa 当0a时， 1 0 222 ha ，不适合条件 当 1 0 3 a时，对于0 2 x ， sin 3 x h xax， 令 sin 3 x
11、T xax， cos 3 x Txa， 存在0, 2 x ，使得 0 0,xx时， 0Tx， T x在 0 0,x上单调递减， 0 00T xT， 即在 0 0,xx时， 0h x ，不适合条件 综上，a的取值范围为 1 , 3 6已知函数 2 21lnf xxmxx mR （1）当 1 2 m 时，若函数 1 lng xf xax恰有一个零点，求a的取值范围； （2）当1x 时， 2 1f xm x恒成立，求m的取值范围 【思路引导】(1)函数 g x的定义域为0,，当 1 2 m 时， 2 lng xa xx，所以 2 2 2 axa gxx xx ， 对a分类讨论， 得到函数的单调区间，
12、 由此求得a的取值范围 (2) 令 22 121lnh xf xm xmxmxx，利用 h x的导数，对m分类讨论函数 的单调区间，利用最大值小于零，来求得m的取值范围 当0a时，令 0g x，解得 2 a x ， 当0 2 a x时， 0g x，所以 g x在0, 2 a 上单调递减； 当 2 a x 时， 0g x，所以 g x在, 2 a 上单调递增 要使函数 f x有一个零点，则ln0 222 aaa ga 即2ae， 综上所述，若函数 g x恰有一个零点，则2ae或0a； （2）令 22 121lnh xf xm xmxmxx，根据题意，当1,x时， 0h x 恒成立，又 1 211
13、 221 xmx h xmxm xx ， 若 1 0 2 m，则 1 , 2 x m 时， 0h x恒成立，所以 h x在 1 , 2m 上是增 函数，且 1 , 2 h xh m ，所以不符题意 若 1 2 m ，则1,x时， 0h x恒成立，所以 h x在1,上是增函数，且 1 ,h xh，所以不符题意 若0m， 则1,x时， 恒有 0h x， 故 h x在1,上是减函数， 于是“ 0h x 对任意1,x，都成立”的充要条件是 10h，即210mm，解得1m，故 10m 综上， m的取值范围是1,0 7已知函数 22 x f xekx （）讨论函数 f x在0,内的单调性； （）若存在正数
14、m，对于任意的0,xm，不等式 2fxx恒成立，求正实数k的取 值范围 【思路引导】 （）求导数可得 2 x fxek， 0,x，根据k的取值情况进行讨论 可得函数的单调性 （）在（）中结论的基础上分02k和2k 两种情况讨论求解， 首先探求得到区间0,m，通过对函数 f x在此区间上单调性的讨论进一步得到 f x的符 号，进而将不等式 2f xx去掉绝对值后进行讨论分析、排除，然后得到所求的范围即可 试题解析： （）由题意得 2 x fxek， 0,x， 因为0x，所以22 x e 当2k 时， 0fx ，此时 f x在0,内单调递增 当2k 时，由 0fx 得ln 2 k x ，此时 f
15、x 单调递减； 由 0fx 得0ln 2 k x，此时 f x 单调递增 综上，当2k 时， f x在0,内单调递增； 当2k 时， f x在0,ln 2 k 内单调递减，在ln, 2 k 内单调递增 当2k 时， 由（）可得 f x在0,ln 2 k 内单调递减，且 00f， 所以存在 0 0x ，使得对于任意的 0 0,xx都有 0f x 这时 2f xx可化为 2f xx，即2220 x ekx 设 222 x h xekx，则 22 x h xek （i）若24k，则 0h x 在0,上恒成立， 这时 h x在0,内单调递减，且 00h， 所以对于任意的 0 0,xx都有 0h x ，
16、不符合题意 （ii）若4k ，令 0h x ，得 2 ln 2 k x ， 这时 h x在 2 0,ln 2 k 内单调递增，且 00h， 所以对于任意的 2 0,ln 2 k x ，都有 0h x ， 此时取 0 2 min,ln 2 k mx ，则对于任意的0,xm，不等式 2f xx恒成立 综上可得k的取值范围为4, 8已知 2 11 x f xxea x，1,x （1）讨论 f x的单调性； （2）若 2lnf xax，求实数a的取值范围 【思路引导】 （1）求出 fx，分两种情况讨论a的范围，在定义域内，分别令 0fx 求 得x的范围，可得函数 f x增区间， 0fx 求得x的范围，
17、可得函数 f x的减区间； （2）令 2 11ln x g xxea xx，问题转化为 0g x 在1,x上恒成立，利 用导数研究函数的单调性，根据单调性可得当 1 2 e a 时不合题意，当 1 2 e a 时，可证明 g x在1,上单调递增；所以 10g xg，满足题意，从而可得结果 试题解析： （1） 2 x fxxeax 2 x x ea， 当 2 e a 时， 1,x， 0fx f x在1,上单调递增； 当 2 e a 时，由 0fx，得ln 2xa 当1,ln 2xa时， 0fx；当ln 2,xa时， 0fx 所以 f x在1,ln 2a单调递减；在ln 2,a单调递增 （2）令
18、2 11ln x g xxea xx， 问题转化为 0g x 在1,x上恒成立， 1 2 x gxxeax x ，注意到 10g 当 1 2 e a 时， 1210gea ， 1 ln 21ln 21 ln 21 gaa a ， 因为21ae ，所以ln 211a， ln 210ga， 所以存在 0 1,ln 21xa，使 0 0gx， 当 0 1,xx时， 0g x， g x递减， 所以 10g xg，不满足题意 当 1 2 e a 时， 1 1 x gxxeex x 1 1 x x ee x ， 因为1x ，11 x x ee ， 1 01 x ， 所以 0g x， g x在1,上单调递增
19、；所以 10g xg，满足题意 综上所述： 1 2 e a 9已知函数 lnf xx （1）设 1g xf xax，讨论 g x的单调性； （2）若不等式 f xae xb恒成立，其中e为自然对数的底数，求 b a 的最小值 【思路引导】 （1）函数定义域为0,，由题意得 ln1g xxax，则 1 gxa x ， 分 情 况0a和0a， 由 导 函 数 的 正 负 求 单 调 区 间 即 可 ；（ 2 ） 设 函 数 lnF xxae xb， 1 Fxea x ，分ae易知不成立， ae，计算函数的 最大值为 1 F ae ，由 1 ln10Faeb ae ，得 1 ln aeb ae aa
20、 ， 令 1 ln xe G x x ， xe，求最值即可 试题解析： （1）函数定义域为0,，由题意得 ln1g xxax，则 1 gxa x ， 当0a时， 0g x，则 g x在0,上单调递增； 当0a时，令 0g x，解得 1 x a ， 当 1 0,x a 时， 0g x， g x在 1 0, a 上单调递增， 当 1 ,x a 时， 0g x， g x在 1 , a 上单调递减 （2）设函数 lnF xxae xb，其中e为自然对数的底数， 1 Fxea x ， 0x， 当ae时， 0Fx， F x在0,上是增函数， 0F x 不可能恒成立， 当ae时，由 1 0Fxea x ，得
21、 1 x ae ， 不等式 0F x 恒成立， max0F x， 当 1 0,x ae 时， 0Fx， F x单调递增， 当 1 ,x ae 时， 0Fx， F x单调递减， 当 1 x ae 时， F x取最大值， 1 ln10Faeb ae ， 满足ln10aeb 即可，1 lnbae ， 1 ln aeb ae aa ， 令 1 ln xe G x x ， xe， 22 1 ln ln x xe xexee xe Gx xxe x 令 lnH xxexee， ln1Hxxe， 由 0Hx，得 1 xe e ， 当 1 ,xe e 时， 0Hx， H x是增函数， 当 1 ,xe e e
22、时， 0Hx， H x是减函数， 当 1 xe e 时， H x取最小值 11 H ee ee ， xe时， 0H x ， 2xe时， 0H x ， 20He ， 当,2xee时， 0G x， G x是减函数， 当2 ,xe时， 0G x， G x是增函数， 2xe时， G x取最小值， 1 11 2 2 Ge ee ， b a 的最小值为 1 e 10已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）若对恒成立，求 的取值范围 【思路引导】 （1）讨论函数单调性主要研究导函数大于零和小于零的不等式解集，根据题意 ， 根据 a 的不同取值逐一讨论导函数符号即可 （2） 若对恒成立，显然需要转化为最值问
23、题，设，则 ， 当时， 或， 则， 在上递增，从而若，令 ，当 时，； 当时，综合得出结论即可 解析： （1） ， 当时，在上单调递增 当时，故当或时，在上单调递增 当时，令，得或； 令，得 在上单调递减，在，上单调递增 （2）设，则， 当时，或，则， 在上递增，从而 此时，在上恒成立 若，令 ，当时，； 当时， ，则不合题意 故 的取值范围为 【总结】导数在函数中的应用，考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力导数是研 究函数的单调性、 极值(最值)最有效的工具， 对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1) 考查导数的几何意义，往往与解析几何、圆等知识联系； (2)利用导数求函数
24、的单调区间，判 断单调性；已知单调性，求参数； (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解 问题； (4)考查数形结合思想的应用 导数问题经常会遇见恒成立的问题： （1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题； （2）若 0f x 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 min0f x ，若 0f x 恒成立 max0f x； （3）若 f xg x 恒成立，可转化为 minmax f xg x（需在同一处取得最值） 二、作差构造函数证明不等式 1已知函数 2 1 ln 2 f xxa x (1)若1a，求函数 f x的极值，并指出是极大值还是极小
25、值； (2)若1a ，求证：在区间1 ，上，函数 f x的图像在函数 3 2 3 g xx的图像的下方 【思路引导】 （1）定义域为(0，)，f(x) 11xx x ，可求得单调区间有望极小值。 （2） 函数 f x的图像在函数 3 2 3 g xx的图像的下方， 即 f(x)cx 【思路引导】 （1） 求出 fx， 在定义域内分别令 0fx 求得x的范围， 可得函数 f x增 区间， 0fx 求得x的范围，可得函数 f x的减区间； （2）原不等式等价于 ln1lnxxx x ，运用（1）的单调性可得ln1xx，设 ln1,1F xx xx，求出单调 性，即可得到1lnxx x 成立； （3
26、）设 11 x g xcxc ，求出导数，可令 0gx ， 由1,0,1cx， 可得 1 1 ln c c ，由（1）可得 1 ln x c c c 有一解，设为 0 xx是 g x的最 小值点，运用最值，结合不等式的性质，即可得证. 试题解析：(1)解 由 f (x)ln xx1(x0)，得 f (x) 1 令 f (x)0，解得 x1 当 01 时，f (x)x0时，g(x)cx 【总结】利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构 造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要 观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再 化简或者进一步利用导数证明
