1、 高三数学试题第 1 页（共 4 页） 南京市、盐城市 2020 届高三年级第一次模拟考试 数 学 试 题 (总分总分 160 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟) 注意事项：注意事项： 1本试卷考试时间为 120 分钟，试卷满分 160 分，考试形式闭卷 2本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分 3答题前，务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题 卡上 参考公式： 柱体体积公式：柱体体积公式：VSh，锥体体积公式：，锥体体积公式： 1 3 VSh，其中，其中S为底面积，为底面积，h为高为高. 样本数据样本数据 12 , n x xx的
2、方差的方差 22 1 1 () n i i sxx n ，其中，其中 1 1 n i i xx n . 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分. 不需写出解答过程，请把答案写在答 题纸的指定位置上） 1已知集合(0,)A，全集UR，则 UA= 2设复数2zi，其中i为虚数单位，则z z 3学校准备从甲、乙、丙三位学生中随机选两位学生参加问卷调查，则甲 被选中的概率为 4命题“R ，cossin1”的否定是 命题.(填“真”或 “假”) 5运行如图所示的伪代码，则输出的I的值为 6已知样本yx, 9 , 8 , 7的平均数是9，且110xy，则此样本的方差是 7在平面直角
3、坐标系xOy中，若抛物线 2 4yx上的点P到其焦点的距离为3，则点P到 点O的距离为 0 0 10 1 S I While S SSI II EndFor Print I (第 5 题图) 高三数学试题第 2 页（共 4 页） 8 若数列 n a是公差不为 0 的等差数列， 1 lna、 2 lna、 5 lna成等差数列， 则 2 1 a a 的值为 9在三棱柱 111 ABCABC中，点P是棱 1 CC上一点，记三棱柱 111 ABCABC与四棱锥 11 PABB A的体积分别为 1 V与 2 V，则 2 1 V V 10设函数( )sin()f xx（0,0 2 ）的图象与y轴交点的纵
4、坐标为 3 2 ， y轴右侧第一个最低点的横坐标为 6 ，则的值为 11已知H是ABC的垂心（三角形三条高所在直线的交点） ， 11 42 AHABAC， 则cosBAC的值为 . 12若无穷数列cos()n()R是等差数列，则其前 10 项的和为 13已知集合( , )16Px y x xy y，集合 12 ( , )Qx y kxbykxb， 若PQ，则 12 2 1 bb k 的最小值为 14若对任意实数 1 ,(x，都有1 12 2 axx ex 成立，则实数a的值为 . 二、解答题（本大题共 6 小题，计 90 分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤， 请把答案写在答题纸的
5、指定区域内） 15(本小题满分 14 分) 已知ABC满足sin()2cos 6 BB （1）若 6 cos 3 C ，3AC ，求AB； （2）若0, 3 A ，且 4 cos 5 BA，求sinA 高三数学试题第 3 页（共 4 页） 16(本小题满分 14 分) 如图，长方体 1111 DCBAABCD中，已知底面ABCD是正方形，点P是侧棱 1 CC上的 一点 （1）若 1 AC/平面PBD，求 PC PC1 的值； （2）求证：PABD 1 (第 16 题图) 17(本小题满分 14 分) 如图，是一块半径为 4 米的圆形铁皮，现打算利用这块铁皮做一个圆柱形油桶具体做 法是从O中裁剪
6、出两块全等的圆形铁皮P与Q，做圆柱的底面，裁剪出一个矩形 ABCD做圆柱的侧面（接缝忽略不计） ，AB为圆柱的一条母线，点A、B在O上， 点P、Q在O的一条直径上，P、Q分别与直线BC、AD相切，都与O内切 （1）求圆形铁皮P半径的取值范围； （2）请确定圆形铁皮P与Q半径的值，使得油桶的体积最大(不取近似值) (第 17 题图) 高三数学试题第 4 页（共 4 页） 18(本小题满分 16 分) 设椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左右焦点分别为 12 ,F F， 离心率是e， 动点 00 (,)P xy 在椭圆C上运动，当 2 PFx轴时， 0 1x ， 0 ye （1）
7、求椭圆C的方程； （2）延长 12 ,PF PF分别交椭圆C于点,A B（,A B不重合） ，设 11 AFFP， 22 BFF P，求的最小值 (第 18 题图) 19(本小题满分 16 分) 定义:若无穷数列 n a满足 1nn aa 是公比为q的等比数列， 则称数列 n a为 “ M q 数列” 设数列 n b中 1 1b ， 3 7b （1）若 2 4b ，且数列 n b是“ M q数列”，求数列 n b的通项公式； （2）设数列 n b的前n项和为 n S，且 1 1 2 2 nn bSn ，请判断数列 n b是否为 “ M q数列”，并说明理由； （3）若数列 n b是“ 2M数列
8、”，是否存在正整数,m n使得 40394040 20192019 m n b b ?若存 在，请求出所有满足条件的正整数,m n;若不存在，请说明理由 20(本小题满分 16 分) 若函数( ) xx f xeaemx ()mR为奇函数，且 0 xx时( )f x有极小值 0 ()f x （1）求实数a的值； （2）求实数m的取值范围； （3）若 0 2 ()f x e 恒成立，求实数m的取值范围 y 高三数学试题第 5 页（共 4 页） 南京市、盐城市南京市、盐城市 20202020 届高三年级第一次模拟考试届高三年级第一次模拟考试 数学参考答案数学参考答案 一、填一、填空题空题：本大题共
9、本大题共 1414 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，计分，计 7070 分分. . 1(,0 25 3 2 3 4真 56 62 72 3 83 9 2 3 107 11 3 3 12 10 134 14 1 2 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，计小题，计 90 分分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤， 请把答案写在答题纸的指定区域内请把答案写在答题纸的指定区域内. 15解： （1）由sin()2cos 6 BB 可知BBBcos2cos 2 1 sin 2 3 ， 移项可得3tanB，又), 0(B，故 3
10、B， 2 分 又由 6 cos 3 C ，), 0(C可知 3 3 cos1sin 2 CC， 4 分 故在ABC中，由正弦定理 C c B b sinsin 可得 C ABAC sin 3 sin ，所以 2AB. 7 分 （2）由（1）知 3 B，所以0, 3 A 时，) 3 , 0( 3 A， 由 4 cos 5 BA即 5 4 ) 3 cos( A 可得 5 3 ) 3 (cos1) 3 sin( 2 AA ， 10 分 10 334 5 3 2 1 5 4 2 3 ) 3 sin( 3 cos) 3 cos( 3 sin) 3 ( 3 sin(sin AAAA .14 分 高三数学试
11、题第 6 页（共 4 页） 16 （1）证明：连结AC交BD于点O，连结OP， 又因为 1/ / AC平面PBD， 1 AC平面 1 ACC 平面 1 ACC平面OPBDP ，所以 1/ / ACOP 3 分 因为四边形ABCD是正方形，对角线AC交BD于点O ， 所以点O是AC的中点，所以AOOC， 所以在 1 ACC中， 1 1 PCAO PCOC . 6 分 （2）证明：连结 11 AC. 因为 1111 ABCDABC D为直四棱柱，所以侧棱 1 C C垂直于底面ABCD， 又BD 平面ABCD，所以 1 CCBD8 分 因为底面ABCD是正方形，所以 ACBD 10 分 又 1 AC
12、CCC，AC 面 11 ACC A， 1 CC 面 11 ACC A， 所以BD 面 11 ACC A. 12 分 又因为 1111 ,PCC CCACC A面,所以 11 PACC A面，又因为 111 AACC A面， 所以 A1P 面 ACC1A1,所以 1 BDA P 14 分 17解： （1）设P半径为r，则)2(4rAB， 所以P的周长 2 )2(41622rBCr， 4 分 解得 4 16 2 r，故P半径的取值范围为 4 16 , 0( 2 . 6 分 （2）在（1）的条件下，油桶的体积 )2(4 22 rrABrV， 8 分 设函数),2()( 2 xxxf 4 16 , 0
13、( 2 x， 所以 2 34)(xxxf，由于 3 4 4 16 2 ， 所以( )0fx在定义域上恒成立， 故( )f x在定义域上单调递增， 即当 4 16 2 r时，体积取到最大 高三数学试题第 7 页（共 4 页） 值. 13 分 答：P半径的取值范围为 4 16 , 0( 2 ，当 4 16 2 r时，体积取到最大 值. 14 分 18.解： （1）由当 2 PFx轴时 0 1x ，可知 1c， 2 分 将 0 1x ， 0 ye代入椭圆方程得 2 22 1 1 e ab （） ， 而 1c e aa ， 2222 1baca，代入（）式得 222 11 1 (1)aa a ， 解得
14、 2 2a ，故 2 1b ，椭圆C的方程为 2 2 1 2 x y.4 分 （2）方法一：设 11 ( ,)A x y，由 11 AFFP得 10 10 1(1)xx yy ，故 10 10 1xx yy ， 代入椭圆的方程得 2 2 0 0 (1) ()1 2 x y （） ， 8 分 又由 2 2 0 0 1 2 x y得 2 2 0 0 1 2 x y ，代入（）式得 222 00 1 (1)2(1)2 2 xx， 化简得 2 0 3212 (1)0x ，即 0 (1)(31 2)0x ，显然10 ， 0 31 20x ，故 0 1 32x .12 分 同理可得 0 1 32 u x
15、，故 2 000 1162 3232943xxx ， 当且仅当 0 0x 时取等号，故的最小值为 2 3 . 16 分 方法二： 由点A，B不重合可知直线PA与x轴不重合， 故可设直线PA的方程为1xmy， 联立 2 2 1 2 1 x y xmy ，消去x得 22 (2)210mymy （） ， 设 11 ( ,)A x y，则 1 y与 0 y为方程（）的两个实根， 高三数学试题第 8 页（共 4 页） 由求根公式可得 2 0,1 2 22 2 mm y m ，故 01 2 1 2 y y m ，则 1 2 0 1 (2) y my ，8 分 将点 00 (,)P xy代入椭圆的方程得 2
16、 2 0 0 1 2 x y， 代入直线PA的方程得 00 1xmy， 0 0 1x m y ， 由 11 AFFP得 10 yy，故 1 0 y y 22 22 0 0 0 0 11 1 (2) ()2 x my y y 22 22 000 00 111 1 (1)232 (1)2(1) 2 xyx xx . 12 分 同理可得 0 1 32 u x ，故 2 000 1162 3232943xxx ， 当且仅当 0 0x 时取等号，故的最小值为 2 3 . 16 分 注： （1）也可设( 2cos ,sin )P得 1 32 2cos ，其余同理. （2）也可由 11 6 运用基本不等式求
17、解的最小值. 19解： （1） 2 4b ，且数列 n b是“ M q数列”， 32 21 74 1 4 1 bb q bb ， 1 1 1 nn nn bb bb ， 11nnnn bbbb ，2 分 故数列 n b是等差数列，公差为 21 3bb， 故通项公式为1 (1) 3 n bn ，即 32 n bn. 4 分 （2）由 1 1 2 2 nn bSn 得 2 3 2 b， 3 437b，故1. 方法一：由 1 1 21 2 nn bSn 得 21 1 2(1) 1 2 nn bSn ， 高三数学试题第 9 页（共 4 页） 两式作差得 211 1 2 2 nnn bbb ，即 21
18、1 3 2 nn bb ， 又 2 5 2 b ， 21 1 3 2 bb， 1 1 3 2 nn bb 对nN 恒成立，6 分 则 1 11 3() 44 nn bb ，而 1 13 0 44 b ， 1 0 4 n b ， 1 1 4 3 1 4 n n b b ， 1 4 n b 是等比数 列， 8 分 1 111 (1) 33 444 nn n b ， 11 3 44 n n b ， 21 21 1 1 1111 (3)(3) 4444 3 1111 (3)(3) 4444 nn nn nn nn bb bb ， 1nn bb 是公比为3的等比数列，故数列 n b是“ M q数 列”.
19、10 分 方法二：同方法一得 1 1 3 2 nn bb 对nN 恒成立， 则 21 1 3 2 nn bb ，两式作差得 211 3() nnnn bbbb ，而 21 3 0 2 bb， 1 0 nn bb ， 21 1 3 nn nn bb bb ，以下同方法 一. 10 分 （3）由数列 n b是“ 2M数列”得 1 121 () 2n nn bbbb ， 又 32 21 2 bb bb ， 2 2 7 2 1 b b ， 2 3b ， 21 2bb， 1 2n nn bb ， 当2n时， 112211 ()()() nnnnn bbbbbbbb 12 222 121 nnn ， 当1
20、n 时上式也成立，故 21 n n b ， 12 分 假设存在正整数,m n使得 40394040 20192019 m n b b ，则 4039214040 2019212019 m n ， 由 214039 1 212019 m n 可知2121 mn ，mn，又,m n为正整数，1m n， 高三数学试题第 10 页（共 4 页） 又 212(21)21214040 2 2121212019 mm nnm nm n m n nnn ， 4040 23 2019 m n ，1m n， 211 2 2121 m nn ， 403914040 2 2019212019 n ， 20202 2
21、2021 n ，10n，11m， 故存在满足条件的正整数,m n，11m， 10n. 16 分 20解： （1）由函数)(xf为奇函数，得0)()(xfxf在定义域上恒成立， 所以 0 mxaeemxaee xxxx ， 化简可得 0)()1 ( xx eea，所以 1a. 3 分 （2）法一：由（1）可得mxeexf xx )(， 所以 x xx xx e mee meexf 1 )( 2 ， 其中当2m时，由于01 2 xx mee 恒成立， 即0)( x f恒成立，故不存在极小 值. 5 分 当2m时，方程01 2 mtt 有两个不等的正根)(, 2121 tttt， 故可知函数mxee
22、xf xx )(在),(ln),ln,( 21 tt上单调递增， 在)ln,(ln 21 tt上单调递减，即在 2 lnt处取到极小值， 所以，m的取值范围是 ), 2( . 9 分 法二：由（1）可得mxeexf xx )(， 令meexfxg xx )()(， 则 x x xx e e eexg 1 )( 2 ， 故当0x时，0)( x g；当 0x时， 0)( x g， 5 分 故)(xg在)0 ,(上递减，在), 0( 上递增， mgxg2)0()( min ， 若02m，则0)(xg恒成立，)(xf单调递增，无极值点； 所以02)0(mg，解得2m， 取mtln，则0 1 )( m
23、tg， 高三数学试题第 11 页（共 4 页） 又函数)(xg的图象在区间, 0t上连续不间断，故由函数零点存在性定理知在区间), 0(t上， 存在 0 x为函数)(xg的零点，)( 0 xf为)(xf极小值. 所以，m的取值范围是 ), 2( . 9 分 （3）由 0 x满足 mee xx 00 ， 代入mxeexf xx )(， 消去 m 可得 00 )1 ()1 ()( 000 xx exexxf ， 11 分 构造函数 xx exexxh )1 ()1 ()(， 所以)()( xx eexxh ，当0x时，0 1 2 x x xx e e ee ， 所以当0x时，0)( x h恒成立，
24、 故 h(x)在0， +)上为单调减函数， 其中 e h 2 ) 1 (， 13 分 则 0 2 ()f x e 可转化为 0 ()(1)h xh， 故1 0 x，由 mee xx 00 ，设 xx eey ， 可得当0x时，0 xx eey， xx eey 在 1 , 0(上递增，故 e em 1 ， 综上，m的取值范围是 1 , 2( e e . 16 分 附加题答案 21.（A）解：设圆C上一点( , )x y，经矩阵M变换后得到圆 C 上一点( ,)x y， 所以 3 32 axx yy ，所以 3 32 axyx xyy ，5 分 又圆 22 :13Cxy，所以圆C的方程为 22 (
25、3 )(32 )13axyxy， 化简得 222 (9)(612)1313axaxyy， 所以 2 913 6120 a a ，解得 高三数学试题第 12 页（共 4 页） 2a. 10 分 21.（B）解：以极点为原点，极轴为 x 轴的正半轴（单位长度相同）建立平面直角坐标系， 由直线cos2 sinm，可得直角坐标方程为20xym， 又曲线4sin，所以 2 4 sin，其直角坐标方程为 22 (2)4xy， 5 分 所以曲线4sin是以(0,2)为圆心，2为半径的圆， 为使直线被曲线（圆）截得的弦AB最长，所以直线过圆心(0,2)， 于是02 20m ，解得 4m. 10 分 21.（C
26、）解：因 123 1 abc ，所以 149 1 23abc ， 由柯西不等式得 2 149 23(23 )()(123) 23 abcabc abc ， 即 2336abc， 5 分 当且仅当 149 23 23 abc abc ，即abc时取等号，解得6abc， 所以当且仅当6abc时，23abc取最小值 36. 10 分 22解： （1）以CD，AB， 1 OO所在直线建立如图所示空间直角坐标系Oxyz， 由2CD ， 1 3AA ， 所以(0, 1,0)A，(0,1,0)B，( 1,0,0)C ，(1,0,0)D， 1(0, 1,3) A， 1(0,1,3) B， 从而 1 ( 1,1
27、, 3)AC ， 1 (1, 1, 3)B D ， 所以 11 222222 1 1 1 ( 1)( 3) ( 3)7 cos, 11 ( 1)1( 3)1( 1)( 3) AC B D ， 高三数学试题第 13 页（共 4 页） 所以异面直线 1 AC与 1 B D所成角的余弦值为 7 11 . 4 分 （2）设 1 0AAm，则 1(0, 1, )Am， 1(0,1, )Bm， 所以 1 ( 1,1,)ACm ， 1 (1, 1,)B Dm ，(2,0,0)CD， 设平面 1 ACD的一个法向量 1111 ( ,)nx y z， 所以 11 11111 20 0 n CDx nACxymz
28、 ， 所以 1 0x ，令 1 1z ，则 1 ym， 所以平面 1 ACD的一个法向量 1 (0,1)nm， 同理可得平面 1 BCD的一个法向量 2 (0,1)nm， 因为二面角 11 ACDB的大小为 3 ，所以 12 2222 () 1 11 cos, 2 1()1 mm n n mm ， 解得3m或 3 3 m ， 由图形可知当二面角 11 ACDB的大小为 3 时, 3m. 10 分 注：用传统方法也可，请参照评分. 23解： （1）令1x得 0122 0 n aaaa， 令1x得 122 0123212 3 333(91) 2 nn nn aaaaaa ， 两式相加得 0242
29、3 2()(91) 2 n n aaaa， 3 (91) 4 n n S .3 分 （2） 123 123 ( 1)n n nnnnnn TS CS CS CS C 高三数学试题第 14 页（共 4 页） 112233123 3 999( 1) 9 ( 1) 4 nnnnn nnnnnnnn CCCCCCCC 001122330123 3 9999( 1) 9 ( 1) 4 nnnnn nnnnnnnnnn CCCCCCCCCC 00112233 3 9999( 1) 9 4 nnn nnnnn CCCCC 001122 3 ( 9)( 9)( 9)( 9) 4 nn nnnn CCCC 33 1 ( 9)( 8) 44 nn 7 分 要证 3 | 6 n Tn，即证 3 8 4 n 3 6n，只需证明 13 8nn ，即证 1 2nn ， 当1,2n 时， 1 2nn 显然成立； 当3n时， 101101 11111 21 (1) nn nnnnn CCCCCnn ，即 1 2nn ， 1 2nn 对 * nN恒成立. 综上， 3 | 6 n Tn恒成 立.10 分 注：用数学归纳法或数列的单调性也可证明 1 2nn 恒成立，请参照评分.
