1、一、平面点集与一、平面点集与n n维空间维空间二、多元函数的概念二、多元函数的概念第一节第一节 多元函数的基本概念多元函数的基本概念第十章第十章 多元函数微分学多元函数微分学三、多元函数的极限三、多元函数的极限四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性一、平面点集与一、平面点集与n n维空间维空间1平面点集平面点集由二元有序数组 的全体所组成的集合，记作(,)x y2(,),Rx y x yR(,)x y(,)x y2R2R 中的任一元素 可看成是直角坐标平面上的一个点，其坐标为 。直角坐标平面上所有坐标构成整个坐标平面 。平面点集是指平面上满足某个条件平面点集是指平面上满足某个条件 的一切点构
2、的一切点构成的集合，记作成的集合，记作(,)(,)Ex yx yP具有性质P现在，我们引入二维空间 中邻域的概念。设 是 平面上的一个点，为某个正数。与点 距离小于 的点 的全体，称为点 的 邻域，记作 或 ，即2R000(,)P xyxoy000(,)P xy(,)P x y0P0(,)U P0()U P2220000(,)(,)()()U PPRP Px yxxyy点 的去心邻域，记作 或 ，即为集合0P0(,)oU P0()oU P200(,)0oU PPRP P设 是平面点集，是平面上一个点。如果存在点 的某个邻域 ，使得该邻域 ，则称 为 的内点内点。(如图中 为 的内点)。的内点本
3、身均属于 。EPP()U P()U PEPE1PEEE如果点 的任一邻域内既有属于 的点，也有不属于 的点，则称 为 的边界点边界点PEEPE 的边界点的全体所组成的集合，称为 的边界。记作 。作为 的边界点，该点既可以属于 ，也可以不属于 。EEEEEE 例如，设 是平面点集。满足 的点 是 的内点；21),(22yxyxE2122yx(,)x yE满足 的点 是 的边界点，但它们不属于 ；221xy(,)x yEE而满足 的点 也是 的边界点，它们都属于 。222xy(,)x yEE 如果集合 中的任意两点 、，都可用折线连接起来，且该折线上的点都属于 ，则称集合为 的连通集连通集。1P2
4、PEEE 如果集合 是一个连通的开集，则称开集 为开开区域区域或区域。例如圆环 是一个区域。EE22(,)19x yxy 开区域连同它的边界一起组成的集合，称为闭闭区域区域.如果点集 中的点都是由其内点组成，则称 为开集开集。如集合 。EE22(,)12x yxy 如果区域E可以包含在以原点为中心的某个圆内，则称该区域E为有界区域有界区域。否则，就称该区域E为无界区域无界区域。例如，是有界区域，而 是无界区域。22(,)1x y xy22(,)1x y xy2 维空间维空间n 记 为实数全体，元有序实数组 的全体所组成的集合，记作 ，即Rn12(,)nx xxnR11112(,),1,2,nn
5、iRRRRx xxxR in 中的元素 常用字母 表示，即 =。中的元素 =也称为 中的一个点或一个 维向量，称为该点的第 个坐标。nR12(,)nx xxxx12(,)nx xxnRx12(,)nx xxnRnixi当所有的 都为零时，称该元素为 中的零元素0。特别地，中的零元素0称为 中的坐标原点或 维零向量。ix),3,2,1(ni ),3,2,1(ni nRnRnRn对集合 中的元素定义如下的线性运算：nR设 =，=为 中任意两个元素，定义：x12(,)nx xxy),(21nyyy nRR(1)向量的加法运算：，(2)向量的数乘运算：),(2211nnyxyxyxyx ),(21nx
6、xxx 这样赋予了线性运算的集合 称为 维空间。nRn 中两点 和 的距离，记作 ，令nR12(,)nP x xx12(,)nQ y yyPQ2222211)()()(nnyxyxyxPQ 在 维空间 中定义了距离以后，就可以定义点 的 邻域为：nRn0P(0)00|),(PPRPPUn 从邻域概念出发可以把前面讨论过的有关平面点集的内点、边界点以及区域等概念推广到 维空间。n二、多元函数概念二、多元函数概念 多元函数是一个因变量由几个自变量确定的依赖关系。现举例如下：例例1：圆锥体的体积 和它的高 及底面半径 之间有关系 。当 和 在集合 内取定一组数 时，通过关系式 ，的值就随之惟一确定。
7、Vhr213Vr hrh(,)0,0r h rh(,)r h213Vr hV例例2：设某种产品每件的销售价格为 ，生产成本为 ，总销售量为 ，则该产品的总利润为xyz()uxy z当 在某个范围中给定以后，由上式就可惟一地确定 。,x y zu 上面两个例子虽然来自不同的实际问题，但都说明，在一定条件下，变量之间存在着一种依赖关变量之间存在着一种依赖关系，系，这种关系给出了一个因变量与几个自变量之间因变量与几个自变量之间的对应法则的对应法则，依照这个法则，当自变量在允许的范围内取定一组数时，因变量有惟一确定的值与之对应。由这些共性便得到多元函数的定义。定义定义 设设D是是 中非空点集，称映射中
8、非空点集，称映射 为定义在为定义在D上的上的 元函数，即对于元函数，即对于D上每一上每一点点 ，都按确定的关系，都按确定的关系 ，惟一地对应，惟一地对应于一个实数于一个实数 ，记为，记为 或或 。D称为称为 的定义域的定义域 ，P称为函数的自变量，称为函数的自变量，有时也将有时也将P的分量均称为自变量。的分量均称为自变量。nR:fDRn12(,)nP x xxfu()uf P12(,)nuf x xxffD 通常把集合 称为 值域。把集合 称为 图像。(),fRu uf P PDf11212(,)(,),(,)nnnxx u uf x xxx xxD f例例3 求函数 的定义域。解：解：定义域
9、为这是一个无界开区域，如图。ln(1)zxy(,)1Dx y xy例例4 求函数 的定义域。arcsinarcsin54xyz 115114xy 5544xy 即于是，定义域 ，这是一个有界闭区域。(,)55,44Dx yxy 解：解：由正弦函数的反函数的定义，可知 二元函数 的图像 为对应于 、空间中的一张曲面，而定义域D 恰好就是这个曲面在平面上的投影。(,)zf x y(,)(,),(,)Gx y z zf x yx yDxyz例如，函数 (均大于零)的图形表示以原点为中心的三条半轴都在坐标轴上的上半椭球面。22221byaxcz,a b c曲面 被平面 (C是常数)可截得曲线L(,)z
10、f x yzC(,)zf x yzC称为等高线等高线。而L在平面上投影称为函数 的等位线。(,)zf x y三、多元函数的极限三、多元函数的极限定义定义 设函数 定义在(开或闭)区域D上，是的内点或边界点。若存在常数A，当点 以任意方式趋于 时，相应的函数值 趋近于A，则称函数 当 (或 )时的极限为A，记作f000(,)P xy(,)P x y000(,)P xy(,)f x y(,)f x y0PP00(,)(,)x yxy00(,)(,)lim(,)x yxyf x yA00(,)(,)(,)f x yAx yxy或定义定义 设函数 ：定义在区域D上，是D的内点或边界点，若存在一个常数A
11、，使对于任意给定的 ，总存在 ，当 时f0P0022000()()xxyy总有(,)f x yA则称当 (或 )时，的极限为A。0PP00(,)(,)x yxy(,)f x y下面用“”语言描述：例例5 证明 22(,)(0,0)limsin0 x yxy证明：证明：由于2222(,)sinf x yAxyxy可见，对于任意给定的 ，取 ，则0当 时成立220(0)(0)xy22sin0 xy所以22(,)(0,0)limsin0 x yxy 需要强调的是，二重极限存在是指动点P以任何方式趋于 时，相应的函数值都要趋于A。因此，如果点P沿不同的方向或路线趋近于 时，可得的极限值不同，那么二重极
12、限也就不存在。0P0P例例6 证明函数222,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)xyx yxyf x yx y在 处极限不存在，见下图。(0,0)这个极限随 而变，所以极限 不存在。k(,)(0,0)lim(,)x yf x y证证 因为当点P沿着射线 趋于原点 时，(0)ykx k(0,0)22222200222limlim1xxy kxxykxkxyxkxk四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性定义定义 设函数定义在(开或闭)区域D上，点 是D的内点或边界点，且 。如果 则称函数 在 点连续，点 称为 的连续点连续点。000(,)P xy0PD0000(,)(,)lim(,)(,
13、)x yxyf x yf xy(,)f x y000(,)P xy0P(,)f x y如果函数 在点 不连续，则称 为函数 的间断点间断点(不连续点)。(,)f x y000(,)P xy(,)f x y000(,)P xy例如,前面讨论过的函数222,(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0).xyx yxyf x yx y由于 不存在，所以 在原点 间断。00lim(,)xyf x y(,)f x y(0,0)又如因为在这圆周上函数 没有定义，所以函数在圆周 的每一点上都是间断的。221xy2211zxy由此可见，二元函数的间断情况比一元函数更复杂，它不但可以有间断点，还可以有间断曲线。
14、定义定义 如果函数 在区域D上每一点处都连续，则称函数 在区域D上连续。(,)f x y(,)f x y 以上关于二元函数的连续性概念，可以相应地推广到 元函数上去。n证明证明 任取 ，由于2000(,)P xyR22220000(,)(,)sinsinf x yf xyxyxy2222222200002 cossin22xyxyxyxy2222220000()()xyxyxxyy于是，对于任意给定的 ，只要取 ，则当 时，成立 。即02200()()xxyy00(,)(,)f x yf xy00222200lim sinsinxxyyxyxy例例7 证明 在 上连续。22(,)sinf x
15、yxy2R从而 在点 连续。由 取点的任意性可知，在 上连续。(,)f x y000(,)P xy0P22(,)sinf x yxy2R 一元连续函数和、差、积、商及符合函数性质同样可以平行地推广到多元连续函数，从而一切多元初等函数在它们的定义(即定义域内的区域)中都是连续的。解：解：函数 是初等函数，它的定义域为22ln()(,)yxef x yxy0,00|,yexyxyxD或所以 为D的内点，是 的一个定义域。故0(1,0)P0()U P(,)f x y2210ln()lim(1,0)ln2yxyxefxy例例8 计算极限2210ln()limyxyxexy例例9 计算极限 0sinli
16、mxyaxyx000sinsinsinlimlimlimlimxxxyayayayaxyxyxyyyaxxyxy解：解：多元连续函数也有与闭区间上一元连续函数相类似的性质，这里我们不加证明地把它推广到定义在有界闭域上的多元连续函数。性质性质1(最大值和最小值定理最大值和最小值定理)若函数多元连续函数在有界闭区域D上连续，则它在D上必定有界，且能取得它的最大值与最小值。换言之，若函数 在有界闭区域D上连续，则必定成在常数 ，使得对于一切 ，有 。且有 ，使得 Pf0MDP MPfDPP21、1Pf DPPf|min=PfDPmin=2Pf DPPf|min=PfDPmin=性质性质2(介值定理介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值。
