1、一、直角坐标下二重积分的计算一、直角坐标下二重积分的计算二、极坐标下二重积分的计算二、极坐标下二重积分的计算第二节第二节 二重积分的计算法二重积分的计算法第十一章第十一章 重积分重积分1垂直型区域垂直型区域一、直角坐标下二重积分的计算一、直角坐标下二重积分的计算)()(,|),(21xyxbxayxD设区域D为由介于上下两条自变量为 的单值连续曲线 与 和两条竖直线 与 之间所构成的，即可表示为)(1xy)(2xyax bx x且穿过区域D内部平行于 轴的直线与D的边界至多交于两点。y2水平型区域水平型区域)()(,|),(21yxydycyxDx且穿过区域D内部平行于 轴的直线与D的边界至多
2、交于两点。设区域D为由介于上下两条自变量为 的单值连续曲线 与 和两条竖直线 与 之间所构成的，即可表示为y)(1yx)(2yxcy dy 这种垂直型区域与水平型区域统称为简单区域简单区域。按照二重积分的几何意义，等于以区域D为底，以D上曲面 为顶的曲顶柱体的体积V。先假设D为垂直型区域。设平行于 坐标面且在 轴上的截距为 ()的平面与曲顶柱体相截而成截面的面积为 。由“平行截面面积已知的立体体积”计算方法，可知 (,)Df x y d(,)zf x yyOzxxba,A xbadxxAV)(其中 为曲边梯形的面积。该曲边梯区间 为底，以曲线 为顶，A x)(),(21xx),(yxfz)()
3、,(21xxy)()(12),()(xxdyyxfxA所以于是，曲顶柱体体积为 21,bbxaaxDVfx y dA x dxfx y dy dx 把上式右端积分写成 21(,)bxaxdxf x y dy在上述讨论中，我们始终假定 ，但上述计算公式的成立并不受此条件限制。(,)0f x y 21(,)(,)bxaxDf x y ddxf x y dy其中积分区域 为垂直型区域，为 上的连续函数。bxaxyxyxD),()(|,21),(yxfD最后，得到二重积分化为先对 、后对 的二次积分的公式：yx类似地，如果积分区域D为水平型区域，为 D上的连续函数，可以写出体积V的另一种二次积分的表达
4、式),(yxf 21(,)(,)dycyDf x y ddyf x y dx如果积分区域D是非简单区域，即D的边界与穿过D的内部且平行于坐标轴的直线的交点多于两个，则可把D分成若干部分，使每个部分都是简单区域。再在每个区域上用前面两个公式来计算。21(,)(,)bxaxDf x y ddxf x y dy 21(,)(,)dycyDf x y ddyf x y dx定理定理 (富比尼富比尼定理定理)设 在平面闭区域 上连续，D,fx y 12,axbxyx)(1x)(2xba,（1）若闭区域 可表示为：，其中 和 在 上连续，则D 12,cydyxydc,)(1x)(2x（2）若闭区域 可表示
5、为：，其中 和 在 上连续，则D例例1 计算 ，其中D是有抛物线 和直线 所围成的闭区域。Dxyd2yx2yx解解：方：方法法1 先画出积分区域D。把区域D看作二个垂直型区域的并集。这时，区域边界的下部是由两条不同的曲线组成的，两条曲线交点为 ，；因此用直线 将D分为1x 1y1x 10,|),(1xxyxyxD41,2|),(2xxyxyxD和12DDDxydxydxyd14012xxxxdxxydydxxydy4211022x xxdx443211154522438xxx方方法法2：将区域D是水平型区域，D可表示为 21,2|),(2yyxyyxD所以 2221yyDxyddyxydx22
6、41122yyydy2532111145242538yyyy解解 由于 这个积分的原函数不能表示为一个初等函数，因此无法直接计算，为此我们需要交换积分次序。首先确定积分限例例2 计算累次积分1120sinxdxy dy12sinxy dy10,0|),(yyxyxD10,1|),(xyxyxD把 变换为 故积分11220sinsinxDdxy dxy d1200sinydyy dx1200sinyxydy120sinyydy1201cos2y 11cos12例例3 计算 ，其中D是由 及 所围 成的区域2Dxy d22yx21yx 11,12|),(22xxyxyxD22111222xxDxy
7、 ddxxy dy2211212xxxyydy14202321xxdx3215解：解：方法方法1：如图，若把D看作垂直型区域，则 可应用区域对称性及函数奇偶性来简化运算。因为区域 是关于 轴对称，设 是 在第一象限的部分，是关于 的奇函数，故方法方法2：Dy1DDx0.Dxdx22111021240222432212315xxDDydyddxydyxxdx323220.1515Dxy d所以x2y而 是关于 的偶函数，故例例4 求两个底圆半径都为 的直交圆柱面所围的立体的体积。R解解 设这两个圆柱面的方程分别为222xyR222xzR利用立体关于坐标平面的对称性，只要算出它在第一卦限部分的体积
8、 ,可得立体体积为1V18.VV及 所求立体在第一卦限部分可以看成是一个曲顶柱体，它的底为RxxRyyxD0,0|),(22如图所示。它的顶是柱面 。于是22xRz221.DVRx d222222100RRXDVRx dRx dy dx 从而所求立体的体积为311683VVR222222300023RxRRRx ydxRxdxR二、极坐标下二重积分的计算二、极坐标下二重积分的计算1,|01,02D 2,|12,0D 有些二重积分，其积分区域 的边界用极坐标表示比较方便，例如圆弧或过原点的射线，且被积函数用极坐标 、表示比较简单，诸如 、等。此时可以考虑用极坐标来计算这些二重积分。如图所示的区域
9、可以分别表示为：22fxyxfyyfx假定闭区域 的边界与从极点 出发穿过 的内部的射线的交点不多于两点，或者边界的一部分是射线的一段。在极坐标系中，我们采用两族曲线：常数及 常数，即以一族过极点的射线与一族以极点为圆心的同心圆来细分区域 。除了包含边界点的一些小闭区域外，小闭区域的面积 可计算如下：DODDi221122iiiiii,iii2iiiii122iiii 其中 为相邻两圆弧的半径的平均值。在这小闭区域内取圆周 上的点 设该点的直角坐标为 则由直角坐标与极坐标之间的关系有ii,ii,ii cos,sin.iiiiii 于是 0011lim,limcos,sin,nniiiiiiii
10、iiiiff 这样，直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分的变换公式为,cos.sinDDf x y dxdyfd d 要把直角坐标系中的二重积分变换为极坐标系中的二重积分，只要把被积函数中的 、分别换成 、，并把直角坐标系中的面积元素 换成极坐标系中的面积元素 就可以了。xycossindxdyd d ,(1)假设极点 在积分区域 外，即 夹于两条射线 之间，而对 内任一点 ，其极径 始终介于 与 之间。则区域 在极坐标系中可表示为ODD,D 1 2),()(|,21D其中函数 和 在 上连续。1 2,对于在 上任意取定的一个 值，对应此 值在 点的极径为从 变到 ，因此可得在此区
11、域D上的极坐标系中的二重积分化为二次积分的公式为,D 1 2dfdddfD)sin,cos()sin,cos()()(21(2)极点 在积分区域 的边界上，即由如图所示的曲边扇形，则可以把它看作当 时的特例，这时区域可表示为OD 120,),(0|,D 0cos,sincos,sinDfd ddfd cos,sinDfd d (3)极点 在积分区域 的内部，如图所示，这时区域 可表示为OD20),(0|,DD由二重积分的性质3可知，闭区域 的面积 可表示为DDd所以，在极坐标系中，面积元素 于是区域D的面积,dd d Dd d 200cos,sindfd 例例5 计算 其中 是由中心在原点、半
12、径为 的圆周所围成的闭区域。22,xyDedxdyDa解解 在极坐标系中，闭区域 可表示为D20,0|,D222222220022000111221axyDDaaaedxdyed ddededede 由于积分 不能用初等函数表示，本题如果用直角坐标计算，则无法算出结果。2xedx下面我们用上面的结果来计算概率论中常用的反常积分设 20.xedxRxxRyyxD0,0|),(221RxxRyyxD20,20|),(222RxRyyxS0,0|),(显然 。由于 ，所以有不等式12DSD022yxxe122DyxeSyxe22222Dyxe故应用上面已得的结果有于是不等式可写为222222000R
13、RRxyxyxSedxdyedxedyedx2221222221414xyRDxyRDedxdyeedxdye因为214RedxeRx022214Re令 上式两端趋于同一极限 从而,R ,4202xedx 例例6 求抛物面 下方,坐标面上方,圆柱面 内部的立体体积。22zxy222xyxxOy解解 立体关于 面对称,设 在第一卦限部分的体积为 ，则 zOxV1V12.VV立体在 坐标面上的投影区域是由圆周 所围成。其在第一象限中的半区域 可用极坐标表示为xOy222xyx1D20,cos20|,1D该立体的顶为抛物面 故其体积为22,zxy112222cos342200022224cos3 138.4 2 22DDVxy dxdyd dddd
