1、一、无穷级数的基本概念一、无穷级数的基本概念二、级数的基本性质二、级数的基本性质第一节第一节 无穷级数的基本概念和无穷级数的基本概念和性质性质第七章第七章 无穷级数无穷级数一、无穷级数的基本概念一、无穷级数的基本概念qqccqcqcSkkk 1)1(1当此等比数列有无限多项，那么无限多项数列的“和”如何计算呢？ncqcqc在初等数学中，我们已经遇到过公比为 的等比数列 ，求其前 项和 的问题。我们知道等比数列前 项和为ncqcqc,qkSkk定义定义1 设给定无穷数列 ，则式子 nuuu21 nu1nnunnu称为无穷级数，简称为级数，记为 ，称其第 项 为级数的一般项（或称通项）。nunnu
2、uuS 21由此可由无穷级数 得到一个部分和数列1nnu定义定义2 设给定数列 ，则其前 项和n称为级数 的前 项部分和，简称为部分和。n1iiu ,21nSSS若 存在，则称级数 收敛，并称此极限值S为级数 的和，记为 。若 不存在，则称级数 发散。发散级数没有和。SSnnlim1nnu1nnu1nnSunnSlim1nnu例例1 试判断级数 的敛散性。)1(1nnn解：解：由于 ，所以前 项的部分和nnun1nnnuuuS 21)1()12(nn 11n 故)11(limlimnSnnn即：无穷级数 发散。)1(1nnn例例2 试判断级数 的敛散性。1)1(1nnn解：解：1111 22
3、3(1)nSn n)111()3121()2111(nn111n于是 。1)111(limlimnSnnn由于 ，所以前 项的部分和111)1(1nnnnunn1)1(1nnn所以，无穷级数 收敛，且其和为1。解：解：nqqSnn 11111于是 nSnnnlimlim11nnq故当公比 时，无穷级数 发散。1q例例3 试判断级数 的敛散性。11nnq当 时，所给无穷级数的前 项部分和n1q此级数为几何级数（又称等比级数几何级数（又称等比级数）。当 时，其前 项的部分和为1qnqqqqqqqSnnnn 1111111当 时，因而 ，1q01limqqnnqSnn11lim所以无穷级数 收敛，且
4、其和为 。11nnqq11当 时，因而 不存在，即无穷级数发散。1qqqnn1limnnSlim1)1(1111 nnS其部分和 0n1nnS为偶数为奇数当 时，其前 项和1q 111111nnqn综上所述，可知：几何级数 ，当 时收敛，其和为 ；当 时，几何级数发散。11nnq1qq111q根据无穷级数收敛和发散的定义及极限的运算法则，不难验证无穷级数具有下列基本性质。二、级数的基本性质二、级数的基本性质性质性质1 若无穷级数 与 都收敛，其和分别为 和 ，则级数 必收敛，且其和为 。1nnvUV)(1nnnvu UV1nnu1nnu性质性质2 (1)若无穷级数 收敛，其和为 ，为常数，则无
5、穷级数 也收敛为 。(2)若无穷级数 发散，则 必定发散。1nnuUk1nnkukU0k1nnku例例4 试判断无穷级数 的敛散性)3421(111nnn解：解：由于无穷级数 和 均为几何级数，且公比分别为 ，由例3可知：和均收敛。由性质2可知：无穷级数 收敛。而由性质1可知：无穷级数 收敛。1121nn3121和q1121nn1131nn 11314nn)3421(111nnn1131nn性质性质3 在无穷级数 中去掉或添加有限项，所得到的新级数与原来级数具有相同的敛散性。1nnu性质3表明，无穷级数 的敛散性与其前面有限项无关，而是取决于 充分大以后的 的变化趋势。1nnunnu性质性质4
6、 在无穷级数 中添加括号，即将有限项用括号括起来作为一项，得到新级数。如果原无穷级数收敛，则新无穷级数也收敛；如果新级数发散，则原级数发散。1nnu值得注意是：收敛级数去掉括号后所得的新的无穷级数不一定是收敛的。例如：)11()11()11(收敛于0，但是去掉括号后得到的新级数 1)1(1111n为发散的无穷级数。1nnu推论：推论：若 ，则无穷级数 发散。0limnnu性质性质5 （级数收敛的必要条件）（级数收敛的必要条件）若无穷级数 收敛，则 。0limnnu1nnu例例5 试判断无穷级数 的敛散性。112nnn解：解：由于021121lim12limlimnnnunnnn所以无穷级数发散。有必要指出：有必要指出：一般项趋于零的无穷级数未必一定收敛。例如无穷级数)1(1nnn
