1、第一节第一节 定积分的概念定积分的概念第六第六章章 定定 积积 分分一、定积分问题举例一、定积分问题举例二、二、定积分的定义定积分的定义一、定积分问题举例一、定积分问题举例在初等数学中，我们已学会计算多边形及圆形等简单平面图形的面积。但在生产实际中常常需要求曲边梯形的面积。所谓曲边梯形是这样的图形，它的三条边是直线段，其中两条边相互平行，第三条直线边与前两条边垂直（叫做底边），第四条边是曲线段（叫曲边）。特殊情况，当互相平行的两条直线边中的任一条缩成一点时，该图形仍然称为曲边梯形。引例引例1 曲边梯形的面积曲边梯形的面积 设 在a，b连续且 ，由直线 以及曲线 所围成的图形为曲边梯形)(xfy
2、 0)(xf)(xfy,0 xa xb ya1x2xbi1ixix()if()yf x现计算该曲边梯形的面积S。解决该问题的思路主要是“以直代曲以直代曲”：将区间 a，b 分成许多小区间，从而把曲边梯形相应地分成许多小曲边梯形。由于 连续，它在每个小区间上变化不大，因此可以用小区间上某一点 处的函数值 近似代替对应的小曲边梯形的高 ，用以 为高的小矩形“直”的面积近似对应的小曲边梯形“曲”的面积。用上述所有小矩形面积的和作为所求曲边梯形面积S的近似值。)(xfi)(if)(xf)(if 显然，把 a，b 分得越细，每个小矩形的面积越接近小曲边梯形的面积，所有小矩形面积的和就越接近于所求曲边梯形
3、的面积。直至把区间 a，b 无限细分，使每个小区间的长度趋于零。这时，我们把所有小矩形面积之和的极限值就可理解为曲边梯形的面积S。具体计算步骤如下：(1)分割：把区间 a，b 任意分成n个小区间，设分点坐标为 bxxxxxxxannii11210n个小区间为 ，每个小区间的长度为 ，过各分点作垂直于x轴的直线段，把曲边梯形分成n个以这些小区间为底边的小曲边梯形，用 表示第i个小曲边梯形面积，则有,1iixx),2,1(ni1iiixxx),2,1(niiSininSSSSS121(2)求和：求和：把这n个小矩形面积相加，得到曲边梯形的近似值，即在小区间 上任取一点 ，以 为底，为高作小矩形，用
4、它的面积 作为第i个小曲边梯形面积的近似值。即,1iixx)(,1iiiixxix)(ifiixf)(iiixfS)(),2,1(niniiinnxfxfxfxfS12211)()()()(niiixfS10)(lim(3)取极限取极限：把 中的最大值 记为 。当 时，即每个小区间的长度趋于零，（这时 a，b 无限细分，即分点无限增加，即 ），取上式右端和式的极限，就得到了所求曲边梯形的面积,21nxxx0n11max,xx.,nx引引例例2 直线形构件的质量直线形构件的质量假设这构件所占的位置为x轴上的一段，它的端点是 ，在AB上任一点x处的线密度为 ，并设 在 a，b 上连续，现在要计算这
5、构件的质量。)0,(),0,(bBaA)(x)(x在设计直线形构件时，根据构件各部分受力情况，把构件上各点处的粗细程度设计得不完全一样。因此可以认为这构件的线密度（单位长度的质量）是变量。如果构件是均匀的（即线密度为常数），那么这构件的质量就等于它的线密度与长度的乘积，现在面临的问题是线密度不是常数而是变量。由于线密度 是连续变化的，在很小的一段上它变化不大，所以在很小的一小段构件上可以“以均匀代替非均匀”，而且小段越短，这种近似替代的精确度就越高。这样一来，我们又可以采用前面一例类似的方法了。)(x分成n个小区间为 ，。记各小区间长度为 ，。,1iixxni,2,11iiixxxni,2,1
6、在 上任取一点 ，用处的线密度 代替 上对应的小段构件上其它各点处的线密度，于是这一小段构件的质量的近似值为,1iixxi)(i,1iixxiix)(niiinnxxxxM12211)()()()(把区间 a，b 用点bxxxxxann1210从而，整个构件的质量近似为即：令 ，则 当分点无限增多且每个小段的长度无限缩小时，上述和式的极限就是该直线形构件的质量M。,max21nxxxniiixM10)(lim上述二例虽然实际意义不同，但解决问题的思路、方法却完全相同，最后都归结为求同一结构的和式的极限。抽去这些问题的具体意义，抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括，我们就可以抽象出定积分
7、定积分的定义。定义定义 设函数 在 区间上有界，任取分点)(xf,babxxxxxann1210把区间 分成个n小区间为 ，。第i个小区间的长度为 ，。在每个小区间 上任取 ，作乘积 ，并作和 。,ba,1iixx),2,1(ni1iiixxx),2,1(ni,1iixx)(,1iiiixxiixf)(),2,1(niniiixf1)(二、二、定积分的定义定积分的定义记 ，如果不论对 如何分法，也不论在小区间 上点 如何取法，当 时，和式 总趋于确定的极限I，则称此极限值I为函数 在区间 上的定积分，记为 ，即,max21nxxx,ba,1iixxi0niiixf1)()(xf,babadxx
8、f)(iniibaxfdxxf10)(lim)(其中x称为积分变量，称为被积函数，称为被积表达式，称为积分区间，a称为积分下限，b称为积分上限。)(xfdxxf)(,ba 如果 在 上的定积分存在，我们就说 在 上可积。,ba)(xf)(xf,ba在建立了定积分 概念后，我们知道，定积分在几何上表示由曲线 、两条直线 与x轴所围成的曲边梯形的面积。直线形构件的质量M是它的线密度 在区间 上的定积分，即()baf x()0yf x,xa xb)(t,babadttM)(1)由定积分的定义，定积分 是和式的极限，因此是一个数值。定积分只与被积函数 及积分区间 （即积分上下限）有关，而与积分变量用什
9、么字母表示无关，badxxf)(,ba)(xfbababadttfduufdxxf)()()(下面关于定积分的概念再作几点说明即 (2)关于可积性问题，我们只给出以下两个充分条件（证明略）。：如果函数 在 上连续，则 在 上可积。,ba)(xf,ba)(xf：如果函数 在 上有界，且只有有限个间断点，则 在 上可积。)(xf,ba,ba)(xf(3)在定积分的定义中假设了上下限的关系为 ，但在定积分的理论分析及实际应用中，有时会遇到 或 的情况。ba ba ba 为此，我们对定积分作以下两点补充规定：当 时，定义当 时，定义ba ba babadxxfdxxf)()(0)(badxxf如果在
10、上，此时相应的曲边梯形在x轴下方0)(xf,ba三、三、定积分的几何意义定积分的几何意义在 上，当 时，由前面讨论知 在几何上表示曲线 ，直线 ，以及x轴所围成的曲边梯形的面积。,ba0)(xfbadxxf)()(xfy,xa xbabi1ixix()if()yf x该曲边梯形的面积为S，则于是 。baniiiniiidxxfxfxfS)()(lim)(lim1010Sdxxfba)(0)(xf,babadxxf)()(xfy bxcx,也就是说，当在 上 时，在几何上表示由曲线 ，直线 ，以及x轴所围成的曲边梯形面积的负值。若用 分别表示各小曲边梯形的面积，则4321,SSSS4321)(SSSSdxxfba如果在 上 既取得正值又取得负值时，的图形某些部分在x轴上方，而某些部分在x轴下方。如图所示，,ba)(xf)(xf1S3S4S2S
