1、一、导数的定义一、导数的定义二、可导与连续之间的关系二、可导与连续之间的关系第二节第二节 导数导数第三章第三章 导数与微分导数与微分三、导数的几何意义三、导数的几何意义四、左导数与右导数四、左导数与右导数五、用导数定义求导数五、用导数定义求导数六、导数的实际意义六、导数的实际意义一、导数的定义一、导数的定义定义定义1 设函数 在点 的某邻域内有定义，当自变量在 处有增量 时，相应地函数也有增量 ，如果当 时，的极限存在，即0 x)0(x)()(00 xfxxfy0 xxyxxfxxfxyxx)()(limlim00000 x)(xfy)(xfy 0 x存在，则称 在 可导，且称此极限值为函数
2、在 的导数。记作 。即)(xf0 xx)(0 xfxxfxxfxfx)()(lim)(0000也可记为 ，或 。0 xxy0 xxdxdy0 xxdxdf如果上述极限不存在，就称 在 处的导数不存在，或者说 在 不可导。)(xf0 x)(xf0 x如果令 ，则 ，且当 时，于是，定义1可变成导数的另一个形式xxx00 xxx0 x0 xx 000)()(lim)(0 xxxfxfxfxx例例1 求函数 在 处的导数。解：解：当 时，。当 时，故xxy521x1x4yxx1)1(5)1(2xxyxxxxxxxy3)(5)(2)51()1(5)1(2223xxy因此，所以3)3(limlim001
3、xxydxdyxxx由导数定义，引例中（1）瞬时速度是路程 对时间 的导数，即StdtdSSvdxdyxf)(tan如果函数 在区间 内的每一点 都可导，则称 在 内可导。其导数值 是一随 的变化而变化的函数，称作 的导函数。记作 ，或 。)(xf),(ba)(xf)(xf y)(xfy x),(bax)(xfdxdydxdf（2）曲线 在点 处的切线的斜率是 对 的导数，即)(xfy xx)(xfy 其中 是切线的倾角存在。由函数极限与无穷小的关系可知二、可导与连续之间的关系二、可导与连续之间的关系设 在点 处可导，则极限)(xfy 0 x)(lim00 xfxyx)(0 xfxyxxxfy
4、)(0其中 ，等式两边同乘以 得0lim0 xx当 时，所以函数 在 处连续。0 x0y)(xf0 x定理定理1 如果函数 在 可导，则它在点 处连续。)(xf0 x0 x此定理之逆未必成立。例例2 试证函数 在 连续（如图），但不可导。0,0,xxxxxy0 xyx yxxyO证：证：00limlim1xxxyxx 00lim()lim0 xxf xxxyx0lim由于左、右极限不相等，所以极限 不存在，故函数在点 处不可导。0 x因为00limlim1xxxyxx 00lim()lim()0 xxf xx所以 ，函数在点 处连续。0lim()0 xf x0 x又因为解：解：因为 ，所以 在
5、 处连续。)0(01sinlim)(lim00fxxxfxx)(xf0 x由于 不存在，xxxxxfxffxxx1sinlim1sinlim)0()0(lim)0(000例例3 讨论函数 在点 处的连续性与可导性。0,00,1sin)(xxxxxf0 x连续是函数可导的必要条件，而不是充分条件。也就是说：如果我们已经判断出函数在某点处不连续，则可知函数在该点处不可导。反之，如果函数在某点处连续，则不能就此判定函数在某点处可导。0 x)(xf所以 在 处不可导。函数 在 处的导数 ，其几何意义就是函数 在点 处的切线的斜率)(xf0 x)(0 xf)(xfy),(00yxMtantanlimli
6、m)(000 xxxyxf)2(如果 ，则函数曲线在相应点 处的切线倾角 是锐角，且在点 附近曲线是上升的。0)(0 xfMM三、导数的几何意义三、导数的几何意义xy0M如果 ，则函数曲线在相应点 处的切线倾角 是钝角，且在点 附近曲线是下降的。0)(0 xfMMxy0M由导数的几何意义及直线的点斜式方程，可得曲线 在点 处的切线方程)(xfy),(00yxM)(000 xxxfyy)()(1000 xxxfyy及法线方程)2,1(解：解：3)1(lim1)1)(1(lim121lim1)1()(lim)1(2121311xxxxxxxxxfxffxxxx得曲线在点 处的切线方程例例4 求曲线
7、 在点 处的切线方程和法线方程。13 xy)2,1()1(32xy即013 yx其法线方程为)1(312xy即073 yx定义定义2 设函数 在点 的某邻域内有定义，)(xf0 x（1）如果极限 存在，则称此极限值为 在点 处的左导数，记作 ；xxfxxfx)()(lim000)(xf0 x)(0 xf（2）如果极限 存在，则称此极限值为 在点 处的右导数，记作 。)(xf0 xxxfxxfx)()(lim000)(0 xf四、左导数与右导数四、左导数与右导数显然，当且仅当 在点 处的左、右导数都存在且相等时，函数在该点才是可导的。左右导数常常用于讨论分段函数在分段点处的可导性。)(xf0 x
8、另外，如果 在开区间 内处处可导，且 及 均存在，则称 在闭区间 上可导。)(xf),(ba)(af)(bf)(xf,ba因为2)13(lim)(lim11xxfxx3)2(lim)(lim11xxfxx)(lim)(lim11xfxfxx所以1x所以 不存在，即 在 处不连续。故 在 处不可导。)(lim1xfx)(xf1x)(xf例例5 函数 在点 处可导否？1,1310,2)(xxxxxf1x 解：解：连续性：解：解：时时0,10,11)(xxxxxxf因为从而 例例6 讨论函数 在 处的连续性与可导性。xxf1)(0 x1)1(lim)(lim00 xxfxx1)1(lim)(lim0
9、0 xxfxx1)(lim0 xfx又 ，故 1)0(f)0()(lim0fxfx所以 在 连续。)(xf0 x在 处的右导数为0 x111lim)0()(lim)0(00 xxxfxffxx0 x)(xf可导性：又因为 在 处的左导数为111lim)0()(lim)0(00 xxxfxffxx)(xf0 x所以 在 的左右导数存在但不相等，于是 在 处不可导。0 x)(xf五、用导数定义求导数五、用导数定义求导数由导数定义可将求导数的方法概括为以下几个步骤：（1）求出对应于自变量改变量 的函数改变量)()(xfxxfyx（2）作出比值xxfxxfxy)()(（3）求当 时，的极限，即0 xx
10、yxxfxxfxfyx)()(lim)(0例例7 常函数的导数。设 ，求 。cxf)(y解：解：0)()(ccxfxxfy,0lim0 xyx0c即例例8 幂函数的导数。设 （为正整数），求 。nxy n y解：解：nxxf)(记 ，122(1)()()()2nnnnnnnn nyxxxxnxxxxxx 122(1)()()2nnnn nnxxxxx 121(1)()2nnnyn nnxxxxx 121100(1)limlim()2nnnnxxyn nynxxxxnxx 即 1)(nnnxx特别地，若 ，则 。1n1x若 ，则 。2nxx2)(2例例9 指数函数的导数。设 ，求 。)1,0(a
11、aayx y解：解：记 ，则 xaxf)(xxxaaxfxxfy)()()(xaaxyxx)1(所以)1ln(11limln)1ln(lnlim1limlim0000aaaaxaaxyyxxxxxxaaaaxxln)1ln(1limln10即aaaxxln)(特别，若.)(,xxeeea则令 ，则 ，当 时，。1xaaxln)1ln(0 x0例例10 对数函数的导数。设 ，求 。解：解：记 ，则)1,0(logaaxya yxxfalog)()1(loglog)(log)()(xxxxxxfxxfyaaaxxxxya)1(logexxxxyyaxaxxlog1)1(loglimlim100ax
12、axeexxaaln1lnlnlog1)(log即：特别：若 则 。,ea xx1)(ln例例11 正弦函数的导数。设 ，求 。xysin y解：解：记 xxfsin)(则)2cos(2sin2sin)sin()()(xxxxxxxfxxfy)2cos(22sinxxxxxyxxxxxxyyxxcos)2cos(22sinlimlim00即xxcos)(sin同理可证xxsin)(cos六、导数的实际意义六、导数的实际意义（1）瞬时速度 是路程函数 对时间 的导数，即 。加速度 是速度函数 对时间 的导数，即 。v)(tSS tdtdSv a)(tvv tdtdva（2）曲线 在点 处的切线的
13、斜率 是 对 的导数，即 或 ，其中 为切线的倾角。)(xfy k)(xf)(xfk)(tanxfxx（3）某产品的产量函数为 ，则产量函数 对资本 的导数 称为资本的边际产出。()PP k()P kk()P k（4）某产品的总成本 ，为产品产量，则成本函数 对产量 的导数 称为边际成本。x()CC x()C x()C xx例例12 假设在生产8到30台空调的情况下，生产 台空调的成本为x（元）工厂目前每天生产10台空调，每天多生产一台空调的超值成本为多少，请估计每天售出11台空调的收入为多少？32()615C xxxx而售出 台空调的收入为x32()312R xxxx（元）解：解：在每天生产10台空调的情况下每天多生产一台的成本大约为 ：(10)C（元）(10)3 100 12 10 15195C（元）322()(312)3612dR xxxxxxdx(10)3 1006 10 12252R 322()(615)31215dC xxxxxxdx附加成本约为195元。边际收入为边际收入计算出多卖出一台空调的收入的增加数量。如果目前是每天售出10台的话，那么，如果每天销售增加到11台时，可以期望的收入增加约为
