1、第第三三节节 一阶微分方程一阶微分方程第第八八章章 微分方程微分方程一、变量可分离的微分方程一、变量可分离的微分方程二、齐次微分方程二、齐次微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程一、变量可分离的微分方程一、变量可分离的微分方程形如)()(ygxhdxdy的微分方程称为变量可分离的微分方程。此类方程的特点是：右端是只含 的函数和 的函数的乘积。xy用方程（1）的两端分别乘以 和除以 ，得dx)(ygdxxhygdy)()(此称做分离变量。（1）（2）若 作为 的函数是方程（1）的解，则（2）式两端是彼此恒等式的微分，两端积分得到 所满足的隐函数方程yyx()()dyh x dxCgy或
2、()()G yH xC其中 分别是 和 的原函数，为任意常数。dxxhxHygdyyG)()()()(和1()g yC()h x例例1 求微分方程 的通解。xyy解：解：应用分离变量法，得xdxydy两边积分 xdxydy得 1|ln|lncxy化简得到xeyc11令 ，则12cecxcy202c此外，为方程的解，故 可取0。因此 可作为任意常数，原方程的通解为0y2cxcy 2cc（为任意常数）例例2 求微分方程Ayykydxdy)0()1(的解。解：解：由分离变量法，原方程可变为kdxyydy)1(即 kdxydyydy1两边积分得1|1|ln|lnckxyykxceeyy1|1|kxce
3、eyy11令 ，然而 也是原方程的解，故 也可取值零。换言之，可取任意常数，上式可转化为0,212cecc0y2c2ckxceyy1)1(yceykx原方程的通解为kxkxcecey1又由于 ，故Ay)0(Acc1解得)11(1Ac得原方程满足初始条件的解为kxecy111kxeA)11(11此式恰好是本章第一节中所提及的阻滞模型的解。二、齐次微分方程二、齐次微分方程通常情况下，变量可分离的微分方程（1）并不常见。然而经常有一些方程经变量替换后，转换成变量可分离的微分方程，再用分离变量方法求解。下面给出一例子，引出如何用变量替换将一类微分方程转化成可分离变量微分方程。例例3 求微分方程 的通解
4、。xyxydxdy 2解：解：若令 ，即 ，其中 为 的函数，对 关于 求导，则有xyu uxy uxyxuxuy代入原方程，得uuuxu2即 udxdux2由此变换后，原方程转化为一个变量可分离的微分方程。由分离变量法可知 xdxudu2两边积分，可得cxuln2)(lncxu故 由 代入，得原方程的通解为xyu 2)(lncxxy此例给出的方程是一种特殊结构的微分方程，其一般形式可表述为 )(xyfy 例例4 下列微分方程是否为齐次微分方程（1）；（2）；（3）。yxyxdxdy02)(22xydydxyxxyxedxdy通常将此类方程称为齐次微分方程。（3）解：解：（1）方程可化为)()
5、(1)(1xyfxyxydxdy所以该方程为齐次微分方程。（2）方程两端同乘 ，方程改写为21x0)(2)(1 2dyxydxxy即)()(2)(12xyfxyxydxdy因此，此方程也是齐次微分方程。（3）由于该方程右端不能写成 形式，故此方程不是一个齐次微分方程。对于齐次微分方程（3）而言，作变量替换xyu)(ufdxduxu分离变量得 xdxuufdu)(两边积分，可得 cxuufduln|ln)(计算出左端积分以后，再有 替回式中的 ，得齐次方程（3）的通解。uxy由 ，其中 为 的函数，可得 ，将其代入原方程有 uxy xdxduxudxdyu例例5求微分方程 满足初始条件 的特解。
6、dxyxxydy)(222/1xy解：解：原方程可化为xyyxdxdy22即xyyxdxdy令 ，得 代入原方程，有xyu dxduxudxdyuudxduxu1分离变量后，可得dxxudu1两边积分，有cxu ln212由 代入上式得xyu cxxy ln222再由初始条件 ，可知 ，故所求的特解为 2/1xy2c)ln2(222xxy三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程形如：)()(xqyxpy的微分方程，称为一阶线性微分方程，其中式中的 是某区间 上的已知函数。)(),(xqxpbxa一阶线性微分方程由 的取值分为两类。当 时，方程)(xq0)(xq0)(yxpy称为一阶线性齐次微分
7、方程；当 时，方程（4）称为一阶线性非齐次微分方程。0)(xq（4）将 分离变量，得0)(yxpydxxpdyy)(1上式两端求积分，得Cdxxpyln)(ln即 dxxpCey)(此为一阶线性齐次微分方程的通解。此为一阶线性齐次微分方程的通解。（5）对于一阶线性非齐次微分方程（4），我们运用下述所谓常数变易法，或变动参数法求方程（4）的通解。其方法如下：假设方程（4）有形如（5）的通解，其中C是 的待定函数，即设 x()()p x dxyC x e为方程（4）的解。由于()()()()()p x dxp x dxyCx eC x p x e代入方程（4），得所以，一阶线性齐次微分方程（4）的
8、通解为即 两端积分后，得（C为任意常数）()()()p x dxCxq x e()()()p x dxC xq x eC()()()p x dxp x dxyeq x edxC()()()()()()()()()p x dxp x dxp x dxC x eC x p x ep x C x eq x例例6 求微分方程 的通解。02yxy解解分离变量后，得 dxxydy2两端积分，得 Cxyln31ln3通解为 331xCey 方法二：，应用通解公式（5），得2)(xxp3231)(xdxxCecey方法一：例例8 求一阶线性非齐次微分方程 的通解。xyxxy132解：解：把原方程表示为 211xyxy则 21(),()1p xq xxx 故原方程的通解为11211ln(1)2 ln(1)232()()1(1)1111()132dxdxxxxxyex edx Cex edx Cxx dx CxxxCx。
