1、一、全微分的定义一、全微分的定义二、可微的必要条件二、可微的必要条件第三节第三节 全微分全微分第十章第十章 多元函数微分学多元函数微分学三、可微的充分条三、可微的充分条四、全微分在近似计算中的应用四、全微分在近似计算中的应用一、全微分的定义一、全微分的定义 一元函数 的微分 是函数增量 关于自变量增量 的线性主部，即 是一个比 高阶的无穷小。对于多元函数也有类似的情形，下面以二元函数为例加以阐述。()yf xdyyxydy x设矩形的长宽分别为 ，则此矩形的面积S为 ，如果边长 与 分别给予增 量 与 ，那么面积S相应的有增量yxSxyyxyx()()Sxxyyxyy xx yx y 上式右端
2、包含两部分，前一部分是 ，是关于 、的线性函数，后一部分是 ，当 时，是比 高阶的无穷小，当 、很小时，可用 近似表示 ，其差 是一个比 高阶的无穷小，我们称线性函数 为面积 的全微分，为函数S在点 的对应于自变量增量 、的全增量。y xx y yxx y 22()()0 xy xyy xx y S()Sy xx y y xx y SxyS(,)x yyx 定义定义 如果函数 在点 的全增量(,)zf x y(,)x y(,)(,)zf xx yyf x y 可表示为()zA xB yo 其中A、B 不依赖于 、而仅与 、有关，则称函数 在点 可微。而 是函数 在点 的全微分，记为 或 ，即y
3、xyx22()()xy A xB y(,)zf x y(,)x y(,)zf x y(,)x ydz(,)df x ydzA xB y 如果函数在区域D内各点处都可微，那么称这函数在D内可微。二、可微的必要条件二、可微的必要条件 下面我们讨论可微性与连续性以及偏导数存在性之间的关系，以及全微分的计算。定理定理1 (必要条件之一)如果 在 点可微，则 在点 处连续。(,)zf x y(,)x y(,)zf x y(,)x y 换言之，函数在该点不连续，则函数在该点函数在该点不连续，则函数在该点一定不可微。一定不可微。定理定理2 (必要条件之二)如果 在点 处可微，则在该点 的两个偏导数存在，且
4、，。(,)zf x y(,)x y(,)f x y(,)xAfx y(,)yBfx y注：函数在该点偏导数存在，不能保证函数在该点函数在该点偏导数存在，不能保证函数在该点一定可微。一定可微。事实上，定理2告诉我们：如果函数 在点 处可微，则在该点的全微分可表述成(,)zf x y(,)x y(,)(,)xydzfx yxfx yy 三、可微的充分条件三、可微的充分条件 在一元函数中，可导与可微是等价的，但在多元函数中，情形就不同了。由定理1可知，不连续一定不可微。而偏导数存在也不能保证函数连续，故也不能保证该点的可微性。2222222,0,(,)0,0.xyxyxyf x yxy当当在点 处不
5、连续，故由定理1可知，函数在 点是不可微的。但这个函数在 点的两个偏导数是存在的，且(0,0)(0,0)(0,0)例如，第一节中讨论的函数(0,0)0,(0,0)0 xyff定理定理3 (充分条件充分条件)如果函数的偏导数在点连续，则函数在该点可微。这说明，偏导数存在是可微的必要，但非充分条件。下面的例子说明偏导数的连续性是多元函数可微的充分而非必要条件。即若函数的偏导数在该点连续性，则该函数在该点可微。函数在该点可微，则未必函数在该点处连续。例例1 证明 的偏导数在 不连续，但 在 处可微。22221()sin,(,)(0,0),(,)0,(,)(0,0)xyx yxyf x yx y 当时
6、当时。(0,0)(,)f x y(0,0)证明证明 当 时，(,)(0,0)x y 222222121(,)2 sincosxxfx yxxyxyxy200(,0)(0,0)1(0,0)limlim sin0 xxxf xffxxx同理，(0,0)0yf2222220000121lim(,)lim(2 sincos)xxxyyxfx yxxyxyxy当点 沿 轴趋于 时，由于 ,不存在，所以 不存在.即，在 处不连续。而 (,)x yx(0,0)2001lim2 sin0 xyxx20021limcosxyxx00lim(,)xxyfx y(,)xfx y(0,0)22001sin(0,0)(
7、0,0)limlim0 xyzfxfy 所以函数 在 处可微。(,)zf x y(0,0)当 为自变量时，因为,x y10 xxdxxyxyxxy 类似地 ，所以函数的全微分可写成dyy zzdzdxdyxy三元函数 的全微分为(,)uf x y zuuududxdydzxyz 二元函数全微分的定义以及可微的必要与充分条件，二元函数全微分的定义以及可微的必要与充分条件，可以类似地推广到二元以上的多元函数。可以类似地推广到二元以上的多元函数。例例2 求函数 在点 处的全微分 。xyze(2,1)21xydz解解,xyxyzzyexexy22(2,1)(2,1),2,zzeexy22212xydz
8、e dxe dy所以例例3 求函数 的全微分。cosarctan2yuxz解 因为2111,sin,221uuyuxyzz所以211sin221ydudxdydzz因为例例4 求函数 在点 处当 ，时的全微分 和全增量 。22zx y(2,1)0.02x 0.01y dzz22xzxy(2,1)4xz22yzx y(2,1)8yz 4 0.02(8)(0.01)0.16dz 2222(20.02)(1 0.01)2(1)0.1624z dzz解：由 ，得 ；以及 得 。从而 与 的差仅为0.0024。四、全微分在近似计算中的应用四、全微分在近似计算中的应用1.函数的近似值函数的近似值 设函数
9、在点 可微，则(,)zf x y00(,)xy0000(,)(,)zf xx yyf xy 0000(,)(,)()xyfxyxfxyyo 0000(,)(,)xyzdzfxyxfxyy 00000000(,)(,)(,)(,)xyf xx yyf xyfxyxfxyy xy故当 、很小时，有近似式或利用上面两式，进行偏差估计或近似计算。例例5 要造一个无盖的圆柱形水槽，其内半径2m为，高为4m，厚度均为0.01m，求需要多少立方米材料？2Vr h22rhVdVVrVhrhrrh 2224 0.0120.010.2V ()r m()h m解解 设圆柱底半径为 ，高为 ，则圆柱的体积2,4,0.
10、01rhrh 把 代入上式，得30.2()m所以需用材料约为 。，所以例例6 计算 的近似值。33(1.02)(1.97)1(1,2),(1,2)22xyff33331(1.02)(1.97)120.022(0.03)2.952 解解33(,)f x yxy1.02,1.97xy(1.02,1.97)f所要计算的值可看作函数 在 时的函数值 所以001,0.02,2,0.03xxyy 22333333(,),(,)22xyxyfx yfx yxyxy取 。因为2.偏差估计偏差估计设二元函数 的自变量 、的绝对偏差分别为 、，即 ，则z的绝对偏差(,)zf x yxyxyxx yy(,)(,)xyzdzfx yxfx yy;xyxxyyfxfyff 从而可得，z的绝对偏差为：zxxyyffz的相对偏差为：yxzxyffzzz例例7 单摆的周期由 确定，其中 是摆长，是重力加速度。求由测量 与 的偏差引起的T 绝对偏差和相对偏差。2lTglglgglTllgglTTglg相对偏差为12glTTlg即T 的相对偏差为 与 的相对偏差的算术平均值。lg解解绝对偏差为
