1、一、极限存在准则一、极限存在准则二、两个重要极限二、两个重要极限第五节第五节 极限的存在准则与两个极限的存在准则与两个重要极限重要极限第二章第二章 极限与连续极限与连续三、用等价无穷小量计算极限三、用等价无穷小量计算极限一、极限存在准则一、极限存在准则azynnnnlimlim（2）nnnzxy),2,1(n（1）准则准则I（夹逼准则）（夹逼准则）设有三个数列 ，满足条件：nynznxnx则数列 收敛，且 。axnnlim类似地，有关于函数极限的夹逼准则：设函数 ，在点 的某去心领域内有定义，且满足条件：)(xf)(xg)(xh0 x（1）)()()(xhxfxg（2）Axgxx)(lim0A
2、xhxx)(lim0则 存在，且等于 。)(lim0 xfxxA例例1给定 对所有 ，求 。221()142xxu x 0 x 0lim()xu x解：解：由于 以及 ，20lim(1)14xx20lim(1)12xx 故由夹逼准则得：。0lim()1xu x准则准则II（单调有界准则）（单调有界准则）单调有界数列必有极限。几何解释几何解释从数轴上看，对应于单调数列的点 只能向一个方向移动（单调增加数列只向右方移动，单调减少数列只向左移动），所以只有两种可能情形：nx或者点 沿数轴移向无穷远处（或 ）；或者点 无限接近于某个定点（但不会超过上界 或小于下界 ）。nxnxnxAMmnx因此，对于
3、单调增加数列 来说，当它有界时，有 ，当它无界时，有 ；对于单调减少数列 来说，当它有界时，有 。当它无界时，有 。nxAxnnlimnnxlimnxAxnnlimnnxlim由第一节我们知道，数列有界是数列收敛的必要条件。但对于单调数列来说，有界是其收敛的充有界是其收敛的充分必要条件。分必要条件。二、两个重要极限二、两个重要极限 重要极限重要极限1sinlim0 xxx证：证：如图在单位圆中，设圆心角 ,(),过点 作圆的切线与 的延长线交于 ，又作 ，垂足为 。显然，从图中可以看到：xAOB 20 xBOADOBAC CxACsinABxxDBtanDOBAOBSSSAOB扇形故 xxxt
4、an2121sin21)20(x即xxxtansinxxxcos1sin11sincosxxx由于 ，1均为偶函数，故以上不等式当 时 也成立。xcosxxsin)0,2(x又 ，由夹逼准则，得1coslim0 xx11lim0 x1sinlim0 xxx 解：解：例例2 求 xxxtanlim0例例3 求 0sin7limxxx解：解：1cos1limsinlim)cos1sin(limtanlim0000 xxxxxxxxxxxx000sin77sin7sin7limlim7lim777xxxxxxxxx例例4 求 20cos1limxxx解：解：21121)22sin(lim21)2(2
5、sinlim212sin2limcos1lim22022022020 xxxxxxxxxxxx例例5 求 xxx1sinlim此题不可以使用乘积的极限运算法则。由于 ，当 时，xxxx11sin1sinx01x111sinlim1sinlimxxxxxx解：解：故重要极限重要极限exxx)11(lim从表中不难看出，当 时，数列 的变化趋势是稳定的，且可以证明它的极限存在。这个极限值记为 ，即n)11(nnennn)11(limee 是一个无理数，其近似值为 。71828.2e当 取实数而趋于无穷大时，仍有xexxx)11(limettt10)1(limtx1x0t如果令 ，当 时，上式还可以
6、改写成例例6 求 xxx10)31(lim解：解：令 ，当 时，于是tx13 0 xt33310)11(lim)11(lim)31(limettxttttxx或33310331010)31(lim)31(lim)31(limexxxxxxxxx例例7 求 52)11(limxxx解：解：利用适当变形，求极限2)2(5252)11(lim)11(lim)11(lim)11(limexxxxxxxxxxx三、用等价无穷小量计算极限三、用等价无穷小量计算极限定理定理 如果在自变量的同一变化过程中，且 存在（或为 ），lim则 limlim该定理实质上是等价无穷小的替换。在求极限时，分子及分母中的无穷
7、小量因子，可用等价无穷小量代替。如果使用恰当，可以简化计算。一些常见的等价无穷小 当 时，0 xxx sinxx tan2cos12xxxx arcsinxex1xx)1ln(例例8.求 xxx2tan3sinlim0解：解：当 时，所以0 xxx33sinxx22tan2323lim2tan3sinlim00 xxxxxx例例9求 30tansinlimxxxx解：解：tansintan(1cos)xxxx当 时，0 x21 cos2xxtanxx30tansinlimxxxx30tan(1 cos)limxxxx23012lim2xxxx所以注意：注意：相乘（除）的无穷小都可用各自的等价无穷小代换，但是相加（减）的无穷小的项不能作等价代换，例如30tansinlimxxxx30lim0 xxxx
