1、一、边际分析一、边际分析二、函数弹性二、函数弹性第一节第一节 中值定理中值定理第四章第四章 微分中值定理及导数的微分中值定理及导数的应用应用一、边际分析一、边际分析1.边际函数边际函数表示 在 内的平均变化率（速度）设函数 可导，函数值的增量与自变量增量的比值()yf x()f x0 xx00()()f xxf xyxx根据导数的定义，导数 表示 在 处的变化率。而在经济学中，在 处的导数就是 在 处的边际函数值。()f x()f x0 xx0 xx0 xx()f x0()fx当函数的自变量 从 改变一个单位（即 ）时，函数的增量为 ，但当 改变的“单位”非常小时，或 的“一个单位”与 值相比
2、非常小时，则有近似式 x0 x1x 00(1)()f xf xxx0 x00000(1)()(1)()()1f xf xf xf xfx此式表明：当自变量在 处产生一个单位的改变时，函数 的改变量可近似地用 来表示。在经济学中，在解释边际函数值的实际意义时，通常略去了“近似”这二字。0 x()f x0()fx2.边际成本边际成本我们把每单位产品所承担的成本费用定义为平均成本函数，即即当边际成本等于其平均成本时，其平均成本达到即当边际成本等于其平均成本时，其平均成本达到最小。最小。成本函数 （是产量）的导数 称为边际成本函数。()CC xx()C x()()C xC xx得到注意到 可以被描述为
3、该函数曲线上的一点与原点间连线的斜率。此外 在 处无定义，表明生产数量为零时，讨论平均成本是毫无意义的。又由()C xx()C x0 x 2()()()0 xC xC xC xx()()C xC xx例例1 设月产量为 单位时，总成本函数为求最低平均成本和相应产量的边际成本。解解平均成本为令 ，得驻点为x21()849004C xxx（元）()14900()84C xC xxxx 214900()04C xx140 x又由于 ，故 是 的极小值点，也是它的最小值点。因此当月产量为140单位时，平均成本最低，其最低平均成本为(140)0C140 x()C x14900(140)140 87841
4、40C（元）边际成本函数为1()82C xx故当产量为140单位时，边际成本为(140)78C（元）3.边际收入与边际利润边际收入与边际利润收入函数利润函数()()R xxP x()()()L xR xC x若假定市场上某产品销售量为 时，相应产品所定的价格为 ，则称 为价格函数，通常为 的递减函数。于是()P xx()P x()P xx收入函数的导数 称为边际收入函数，利润函数的导数 称为边际利润函数。()L x()R x解解 假设销售了 件价格为 的产品，其收入函数 ，将需求函数 即 代入，得到总收入函数2()(10 0.01)100.01R xxxxx例例2 设产品的需求函数为 ，求需求
5、量 时，产品的总收入、平均收入和边际收入。1000 100 xP300 xxP()R xxP1000 100 xP10 0.1Px则平均收入函数为()()10 0.01R xR xxx其边际收入函数为()10 0.02R xx(300)7R平均收入为()4R x边际收入为当 时，其总收入为300 x(300)2100R解解2()()()0.01605000L xR xC xxx例例3 设产品的价格函数为 ，成本函数为80 0.1Px()5000 20C xx2()(80 0.1)800.1R xxPxxxx（2）求需求量为多少时，其利润最大？()0.260L xx150 x()L x（1）求边
6、际利润函数 ，并分别求 和 时的边际利润；400 x（1）已知 ，则有80 0.1Px()5000 20C xx边际利润函数为(150)30L(400)20L可见，销售第151个产品，利润会增加30，而销售第401个产品，利润将会减少。（2）令 ，得唯一驻点为 ，因为300 x()0L x(300)0.20L故 时，取得极大值，也是最大值300 x()L x(300)4000L二、函数弹性二、函数弹性1.函数弹性的概念函数弹性的概念定义定义 设函数 可导，函数的相对改变量()yf x()()()yf xxf xyf x与自变量的相对改变量 之比 ，称为函数 在 与 两点间的弹性（或相对变化率）
7、。而极限 称为函数 在点 处的弹性（或相对变化率），记为xxy yx x()f xxxx0limxy yx x()f xx00()limlimxxEf xEyy yy xxyExExx xx yy 注：函数 在点 处的弹性 反映随 的变化 变化幅度的大小，即 对 变化反应的强烈程度或灵敏度。数值上，表示 在点 处，当 发生1%的改变时，函数 近似地改变 。在应用问题中解释弹性的具体意义时，我们通常略去“近似”二字。()f xxEyExEyEx%EyEx()f x()f x()f xxxxx()f x例例4 求函数 在 处的弹性32yx3x 解解232EyxxyExyx3620.6793xEyE
8、x2.需求弹性需求弹性00()()limlim()PPQ QQ PfPPPP PP Qf P 假设需求函数为 ，这里 表示产品的价格，于是，可具体定义该产品在价格为 时的需求弹性：()Qf PPP当 非常小时，有P()()()fPPQPf Pf PP故需求弹性 近似地表示价格为 时，价格变动1%，需求量将变化%P注意注意：一般地，需求函数是单调减少函数，需求量随价格的提高而减少（当 时，）故需求弹性一般是负值，它反映产品需求量对价格变动反应的强烈程度（灵敏度）0P0Q例例5 设某种商品的需求量 与价格 的关系为PQ解解1()16004PQ P（1）求需求弹性（2）当商品价格 时，再提高1%，求该商品需求量的变化情况。()P10P（1）需求弹性为()()()Q PPPQ P116004116004PPP111600ln44116004PPP1ln4P2 ln2P 1.39P 需求弹性为负，说明商品价格 提高1%时，需求量将减少1.39%QP（2）当商品价格 时，10P(10)13.9 这表示价格 时，若价格提高1%，该商品需求量将减少13.9%，若价格降低1%，该商品需求量将增加13.9%。10P
