1、22121216xxx x道县朝阳学校 2022 年下期九年级数学竞赛试题卷（考试时间：90 分钟试卷满分：100 分）亲爱的同学，请你沉着应考，细心审题，揣摩题意，应用技巧，准确作答。祝你成功！一、填空题（本大题共 10 个小题，每小题 5 分，共 50 分）1.已知关于 x 的方程 x22（a1）x+a2a20 有两个不相等的实数根 x1，x2，且 x1，x2满足，则 a 的值为2.公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图”如图所示，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形如果大正方形的面积是 100，小正方形面积是 20，则（sin+cos）23
2、.定义：若 10 xN，则 xlog10N，x 称为以 10 为底的 N 的对数，简记为 lgN，其满足运算法则：lgM+lgNlg（MN）（M0，N0）例如：因为 102100，所以2lg100，亦即 lg1002；lg4+lg3lg12根据上述定义和运算法则，计算（lg2）2+lg2lg5+lg5 的结果为4.如图，在ABC 中，B22.5，C45，若 AC2，则ABC 的面积是5.已知函数 y，若 y2，则 x6.在平面直角坐标系中,RtAOB 如图放置,直角顶点与原点O 重合,顶点A,B 恰好分别落在函数 y=-3x(x 0)的图象上,则 tanBAO 的值为7.如图，已知点 F 是A
3、BC 的重心（指三角形的三条中线的交点），连接 BF 并延长，交AC 于点 E，连接 CF 并延长，交 AB 于点 D，过点 F 作 FGBC，交 AC 于点 G设三角形 EFG，四边形 FBCG 的面积分别为 S1，S2，则 S1：S28.道县某商贸公司以每千克 40 元的价格购进一种干果，计划以每千克 60 元的价格销售，为了让顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果销售量 y（千元）与每千元降价 x（元）（0 x 20）之间满足一次函数关系（其图象如图所示），则这种干果每千克降价元时，可获得最大利润？9.如图 1，RtABC 中，ACB90，AC6cm，BC8cm，动点 P 从点
4、 B 出发，在 BA边上以每秒 3cm 的速度向点 A 匀速运动，同时动点 Q 从点 C 出发，在 CB 边上以每秒 2cm 的速度向点 B 匀速运动，经过秒（0t2）时，以 B、Q、P 为顶点的三角形与ABC 相似；（如图 2）连接 AQ，CP，经过秒（0t2）时，AQCP.密封线班级姓名考号10.在反比例函数 y10 x(x0)的图象上，有一系列点 A1，A2，A3，An，An1，若A1的横坐标为 2，且以后每点的横坐标与它前一个点的横坐标的差都为 2.现分别过点 A1，A2，A3，An，An1作 x 轴与 y 轴的垂线段，构成若干个矩形如图所示，将图中阴影部分的面积从左到右依次记为 S1
5、，S2，S3，Sn，则 S1_，S1S2S3Sn(用含 n 的代数式表示)三、解答题（本大题共 10 个小题，每小题 10 分，共 50 分）11.我们经常会采用不同方法对某物体进行测量，请测量下列灯杆 AB 的长。（1）如图（1）所示，将一个测角仪放置在距离灯杆 AB 底部 a 米的点 D 处，测角仪高为 b米，从 C 点测得 A 点的仰角为,求灯杆 AB 的高度.（用含 a,b,的代数式表示）（2）我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的方法，在至今仍有借鉴意义图（2）所示，现将一高度为 2 米的木杆 CG 放在灯杆 AB 前，测得其影长 CH 为 1 米，再将木杆沿着 BC 方向移动
6、1.8 米至 DE 的位置，此时测得其影长 DF 为 3 米，求灯杆 AB 的高度.12.已知正方形 ABCD 中，点 E 是边 CD 上一点（不与 C、D 重合），将ADE 绕点 A 顺时针旋转 90得到ABF，如图 1，连接 EF 分别交 AC、AB 于点 P、G.（1）求证：PA2PGPF；（2）如图 2，当点 E 是边 CD 的中点时，PE=1，求 AG 的长.13.如图，在平面直角坐标系中，点 O 为坐标原点，菱形 OABC 顶点 A 的坐标为（1，3）（1）求过点 B 的反比例函数 y的解析式；（2）点 P 在反比例函数上，点 D 在 x 轴上，当以 P、D、O 三点构成的三角形为
7、等边三角形时，求点 P、D 的坐标；（3）反向延长 OB，与反比例函数在第三象限交于点 F，点 Q 是 x 轴上的一点，当以 F、Q、B 三点构成的三角形为直角三角形时，直接写出 Q 点的坐标14.如图（1），在ABC 中，ABAC，D 是 AC 的中点，延长 BC 至点 E，使 DEDB，延长 ED 交 AB 于点 F，探究的值问题探究：（1）先将问题特殊化如图（2），当BAC60时，直接写出的值；（2）再探究一般情形如图（1），证明（1）中的结论仍然成立问题拓展：如图（3），在ABC 中，ABAC，D 是 AC 的中点，G 是边 BC 上一点，=1（n2），延长 BC 至点 E，点 DEDG，延长 ED 交 AB 于点 F直接写出的值（用含 n 的式子表示）15.模型学习：如图 1，ABBD，CDBD，APPC，垂足分别为 B、P、D，且三个垂足在同一直线上，我们把这样的图形叫“K 型图”；易得ABPPDC模型拓展：如图 3，在平面直角坐标系中，直线 l：y12x+2 与 x、y 轴分别相交于点 A、B，将直线 l 绕点 B 逆时针旋转 45后得到直线 l，求直线 l的函数关系式模型延伸：如图 4，反比例函数 y的图象经过点 A（4，6），在 OA 的右侧该图象上找一点 B，使 tanAOB12，求点 B 的坐标
