1、3.4导数在经济中的应用 3.4.1 3.4.1 边际分析边际分析 3.4.2 3.4.2 弹性分析弹性分析3.4.1 边际分析 一一 、边际概念、边际概念 二二 、经济学中常见的边际函数经济学中常见的边际函数 三三、案例、案例 四四、进一步练习、进一步练习在经济学中，常用变化率的概念.变化率分为平均变化 和瞬时变化率，平均变化率是函数的增量与自变量的增量的 比值，瞬时变化率是函数对自变量的导数，在经济学中也将瞬时变化率即函数的导数称为边际函数.00f xxf xyxx一般称 为函数 yf x在 00,x xx内的平均变化率（速度）00,xx x或 表示fx0 xx根据导数的定义，导数在点 0
2、fx处的边际 函数值.fx在点 0 xx处的变化率，在经济学中，称其为 一、边际概念一、边际概念0 x它表明：当自变量在处改变一个单位时（增加或减少，f x此处是增加了一个单位），近似改变了边际0fx个单位.在经济学中，解释边际函数值的具体意义时，通常略去“近似”二字.1x当函数的自变量0 x在处改变一个单位（即）时，x001f xf x函数的增量为，则有近似公式0001f xf xfx2yx22,yx yx8x 例如，设函数，则在点8x 时，816y处的边际函数值为，它表示当xy改变一个单位，（近似）改变16个单位.的意义：当0 xx时x改变一个单位，边际函数值0fx改变边际0fx个单位.f
3、x注意：改变一个单位有两种含义：增加或减少一个单位.x f x)(xf 为的边际函数边际函数.0 x0fx点在的函数值为边际函数值.简称为边际边际.定义定义 yf x 设函数在处可导，则称其导数 fxx 二、经济学中常见的边际函数二、经济学中常见的边际函数（1 1）边际成本）边际成本总成本是指生产一定数量的产品所需的全部成本总额，一般分为固定成本和变动成本.平均成本是指生产一定数量的 产品时，每单位产品的成本.边际成本是指总成本的变化率.总成本函数 01CC xCCx平均成本函数 10C xCxCCC xxxx边际成本函数 CCx 因为当 20 xCxCxCxx得 CxCxCxx即当边际成本等
4、于平均成本时，平均成本达到最小.为平均成本，C为产量，则有为边际成本，xC0C1C设为总成本，为固定成本，为可变成本，C（2 2）边际收益）边际收益总收益是指出售一定数量的产品所得的全部收入.平均收益是指出售一定数量的产品，平均每出售单位产品所得到的收入，即单位商品的售价.边际收益是指总收益的变化率.RRR设为总收益，为平均收益，为边际收益，收益函数 RR xxP x平均收益函数 R xRR xx边际收益函数 RR xx为商品的价格，为销量，则有P（3 3）边际需求）边际需求P xx Px设需求函数，则需求量对价格 xx P的导数称为边际需求函数.（4 4）边际利润）边际利润x P x在估计产
5、品销售量时，给产品所定的价格个单位时的总利润，于是，L xR xC x利润函数（C x是成本函数）L xR xCxCx边际利润函数为（是成本函数）P xx称为价格函数，应是Lx为产量是的递减函数.设 案例案例1 21000080 xCC x.求到800 x 1000 x（2）当时总成本的平均变化率.800 x840 x（3）当时的边际成本，并解释其经济意义.800 x 2800800100001800080C解（1）当时的总成本为平均成本为8001800080022.5800800CCCC 某商品生产单位的总成本是的函数xx（1）当800 x 时的总成本和平均成本.三、三、案例案例800 x1
6、000 x（2）当到时总成本的平均变化率为100080022500 1800022.5200200CCCx（3）总成本的边际成本函数为 40 xCx800 x 8008002040C当时边际成本为它表示生产第801个单位产品所花费的成本为20840 x 8408402140C当时边际成本为它表示生产第841个单位产品所花费的成本为21可见，生产第841个单位产品所花费的成本比生产第801个单位产品所花费的成本要多一个单位.10000 100 xP800 x求时的总收益、平均收益、与边际收益.Px 设某产品的价格与销量的函数关系为 案例案例2解 总收益函数为 2100 0.011000.01RR
7、 xx P xxxxx .边际收益函数为1000.02Rxx.平均收益函数为 1000.01R xR xxx80073600R800 x80092R当时的总收益为、平均收益为80084R边际收益为.xP21000080Px 案例案例3 某商品需求量与价格的需求关系为120 x求时的边际需 求，并说明其经济意义.40Pxx P 120 x1203x 解 ，当时的边际需求为 经济意义为：当120 x价格上涨（或下降）一个单位，需求量将减少 减少（或增加）三个单位.Lx 某企业生产某种产品，每天的总利润元与产量吨的函数关系为：22004L xxx20,25,30ttt，求当每天生产时的边际利润，并说
8、明其经济意义.2008L xx20,25,30ttt解 边际利润为，每天生产时的边际利润分别为2040,250,3040LLL 2040L20t经济意义为：表示每天产量在时再增加1t，总利润将增加40元.3040L 30t1t表示每天产量在时再增加总利润将减少40元.案例案例4 4注：注：最大利润与边际利润的关系：RxCx L x 0L x利润函数取得最大值的必要条件为 ,即.RxCx L x 0Lx利润函数取得最大值的充分条件为，即.四四、进一步的练习进一步的练习练习1.设每月的产量为x吨时，总成本函数为 24900 84xC C xx 求最低平均成本和相应产量的边际成本.解：平均成本为 4
9、90084C xxC xxx 得唯一驻点x=140，令 24900104Cxx 又398001400140C故x=140是的极小值点，也是最小值点.因此，每月产量为140吨时平均成本最低，其最低平均成本为49001401408781404C 边际成本函数为 182Cxx故当产量为140吨时，边际成本为14078C练习2 设某产品生产x个单位的总收益R为x的函数 22000.02R R xxx，求x=50时的总收益、平均收益、与边际收益.解：总收益250200 500.02 509950RR平均收益5 05 01 9 95 0RR边际收益函数50200 0.04 50198R练习3.某商生产某种
10、糕点的收入函数为 R xx（千元）成本函数为31xCxx（千元）15xx单位是公斤.，问他应生产多少糕点才赚钱？解：利润函数 333111xxxxxL xR xCxxxxx只有当 0L x 时才不赔钱，0L x 时会赚钱.所以，当 9x 百公斤时才不赔钱，当 9x 百公斤时 而 赔钱，当 9x 百公斤时赚钱.2201Lxxx恒成立，即边际利润大于零，表明多生产可以提高总利润（包 括减少亏损的含义），当 9x 百公斤时，多生产可以减少亏损，因为这时总利润小于零，直到 9x 百公斤时才真正赚钱.练习4.某酸乳酪商行发现收入函数与成本函数分别为 132212R xxx与 1234,05,C xxxx
11、的单位是千升，C x以千元计.解（1）边际成本函数为 312Cxx边际收入函数为 11312312222xRxxxx利润函数为 132294L xR xC xxx边际利润函数为 933 3222xLxxxx求（1）边际成本、边际收益、边际利润（2）当 0L x即 3x 时，赚钱最多.（2）到底生产多少量赚钱最多？3.4.2 弹性分析 一一 、弹性的概、弹性的概念及常见函数的弹性函数念及常见函数的弹性函数 二二 、经济学中常见的弹性函数经济学中常见的弹性函数 三三、案例、案例 四四、进一步练习、进一步练习弹性的概念弹性的概念 yf xxxxx x对于函数，称为点处的自变量的绝对改变量，称 yf
12、xxf x x为点处的函数的绝对改变量.在实际中这远远是不够的.例如，商品A的单价为10元，涨价1元，商品B的单价为1000元，比却大不相同，商品A涨了11010%商品B涨了110000.1%.因此有必要研究相对改变量和相对变化率.一、弹性的概念及常见函数的弹性函数一、弹性的概念及常见函数的弹性函数涨价1元,绝对改变量都是1 元,但各与其原价相比，两者涨价的百分 yf xxxx对于函数，称为点处的自变量的相对改变量，fxxfxyyy x为点处的函数的相对改变量.2yxxy例如，函数，当从8增加到10时，相应地从64增加到100，x绝对增量为 2,xy 36,yx 绝对增量相对增量为当从8增加到
13、10时，加了，相应地增加了，而两个相应增量之比 增加了 1%,y2.25%8x 相应地平均增加，称此商式为从到10 x 时函数的平均变化率.为此引入下面的定义.22 5%,8xyx3 65 6.2 5%6 4yy相对增量，即表示x56.25%/2.2525%yxyx8,1 08x 它表示在内，从时起，yf x设函数可导，函数的相对改变量 fxxfxyyfxxx/y yx x与自变量的相对改变量之比 f x称为函数xxx在与两点间的弹性（或相对变化率）定定 义义 20/l i m/xyyxx f xx而极限称为函数在点处的弹性弹性00/limlim/xxEEyyyyxxfxyExExxxxyy（
14、或相对变化率），记为 f xxE yE xx注：1.函数在点处的弹性反映随的变化 f xfx变化幅度的大小，即x对变化反应的强烈程度或EfxEx f xxx表示在点处，当发生1%的改变时 灵敏度.f x%EfxE x近似地改变，在应用问题中解释弹性的 函数 具体意义时通常略去“近似”二字.2.弹性数值前的符号，表示自变量与函数的变化方向是否一致.例如，市场需求量与收入水平变化方向是一致的.而市场需求量对价格的弹性一般是负的，表示市场需求量与价格变化方向是相反的.f xC 0Ef xEx（1）常数函数 Ef xaxExaxb f xaxb（2）线性函数 f xaxE fxE x（3）幂函数型函数
15、 xf xba lnEf xxaEx（4）指数型函数 logaf xbx lnaEf xxExa log x（5）对数型函数 sinf xx cotEf xxxEx（6）正弦函数 cosf xx tanEf xxxEx（7）余弦函数常见函数的弹性函数常见函数的弹性函数二、二、经济学中常见的弹性函数经济学中常见的弹性函数（1）需求弹性函数 Qf PP设需求函数，在处可导，称 EQPfPEPQ 为商品在价格 为时的需求价格弹性或简称需P P，即求价格弹性或简称需求弹性，EQPPfPEPQ Q f PPQ注：一般地，需求函数是单调减函数，与PfPQ异号，所以为 负数.在经济学中，为了用正数表示需求弹
16、性 故在定义中加了负号，它反映产品需求量对价格变动的强烈程度定定 义义 3（2）供给弹性由于供给弹性是单调增加的，所以有以下定义.QPP设供给函数，在处可导，称定义定义 4 4 PPEQPPEPQ为商品在价格为，即时的供给弹性，记作 EQPPPEPQ即，320 xyeEyEx4xEyEx案例案例1 1 求函数 的需求弹性函数及4xEyEx并解释的意义.360,xye 33603,20 xxEyxxyexExye412xEyEx解 412xEyEx4x x的意义：在处，当发生1%的改变时，函数320 xye12%改变 三、三、案例案例QP案例案例2 2 设某商品的需求量与价格的关系为20PQe1
17、0,20,30PPP，求时的需求弹性并说明.其经济意义.20120PQe 202012020PPPPPPfPeQe解 ，需求弹性为 100.510P 1%，说明当时，价格上涨0.5%需求减少.20120P，说明当时，价格与需求变动的幅度相同.301.530P，说明当时，价格上涨1%1.5%，需求减少注：（1）需求弹性很小的商品，即需求的变动幅度比价格 的变动幅度小得多的商品，一般是生活必需品，如粮食、水、等，这类商品在资源紧缺的情况下，政府都要对商品的价格进行控制.需求弹性很大的商品，即需求的变动幅度比价格的变动幅度大得多的商品，一般不是生活必需品，如化妆品、名牌服装等，这类商品 都是通过市场
18、进行调价，政府一般不干预.（2）需求弹性与总收益的关系：因为总收益函数为 RPQPf P所以 11PRf PPf Pf Pf Pf PPf P 1P由上式易知：时需求的变动幅度小于价格的变动幅度0,RR 递增，小于价格的变动幅度，此时 即价格上涨，总收 益增加，价格下跌，总收益减少.1P时需求的变动幅度与价格的变动幅度相同，此时0,RR 取得最大值.1P0,RR 时需求的变动幅度大于价格的变动幅度，此时递减，即价格上涨，总收益减少，价格下跌，总收益增加.（1）求4P 时的需求弹性，并说明其经济意义.4P 6P（2）当 时总收益对价格的弹性，并说明其经济意义.22222,40.49696PPPP
19、PP4P 解 （1），说明当时，价格上 1%0.4%涨，需求减少（2）22222196196396PRf PPPPP22246963963,0.6,0.296PPERPPPERERRPEPRPQPEPEP 0.2%；当0.6%6P 1%时，价格若上涨，总收益将减少4P 1%说明:当时，价格若上涨，总收益将增加.案例案例3 3 某商品的需求函数为 296Qf PPQP123QP案例案例4 4 某商品的供给量与价格的关系4P 求时的供给弹性,并说明其经济意义.解 33,40.5123123EQPPPPPEPQPP 4P 1%0.5%说明：当，价格变化，供应量同方向变化练习1 某高档商品，因出口需要
20、，拟用提价的办法压缩国内 销售的 20%，该商品的需求弹性为 25.1之间，问应提价多少？解 由题设条件，得 20%1.513.3%PPPP 20%210%PPPP 所以该商品应提价 10%13.3%四四、进一步的练习进一步的练习练习2 某商品的需求函数为 122PQf P6P 时的需求弹性，并说明其经济意义.（1）求（2）求 6P 时总收益对价格的弹性，并说明其经济意义.（3）P为多少时总收益最大，最大总收益是多少？解（1）1,2 12/224PPPPQQPP 160.3313说明当 6P 时，价格上涨 1%需求约减少 0.33%（2）112112224PPRf PPPP 620.673PEREP说明当 6P 价格上涨 1%总收益约增加 0.67%
