1、泰州市海陵区泰州中学附属初级中学2021-2022学年九年级上学期期末数学试题一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1. 若关于的一元二次方程 的一个根是2，则的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 52. 某校举行学生会成员的竞选活动，对竞选者从民主测评和演讲两个方面进行考核，两项成绩均按百分制计，规定民主测评的成绩占40%，演讲的成绩占60%，小新同学的民主测评和演讲的成绩分别为80分和90分，则他的最终成绩是（）A. 83分B. 84分C. 85分D. 86分3. 如图，AB
2、是O的直径，则BAC的度数为（）A. 22.5B. 30C. 45D. 67.54. 将抛物线y4（x+1）2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线必定经过点（）A （2，2）B. （1，1）C. （0，6）D. （1，3）5. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴、y轴的交点分别为A、B，则OAB的余弦值为（）A. B. C. D. 6. 如图，在正方形ABCD中，F是BC边上一点，连接AF，以AF为斜边作等腰直角三角形AEF有下列四个结论：CAFDAE；当AEC135时，E为ADC的内心；若点F在BC上以一定的速度，从B往C运动，则点E与点F的运动速度相等其中正确的结论
3、的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7. 一元二次方程x25x两根和为 _8. 二次函数y-3x2-2的最大值为 _9. 若二次函数yx22x+c的图象与x轴的一个交点为（1，0），则方程x22x+c0的两根为 _10. 有甲乙两组数据，如表所示：甲1112131415乙1212131414甲乙两组数据的方差分别为，则_（填“”，“”或“”）11. 我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆内接正多边形来确定圆周率，南朝的祖冲之又进一步求得的值在3.1415926和3.1415927之间，是第一
4、个将圆周率的计算精确到小数点后7位的人，一个不知道小数点后8位的人，能猜出小数点后第8位的数字的概率为 _12. 如图，O的半径为5，的长为3，则以AOB为内角正多边形的边数为 _13. 如图，四边形ABCD是平行四边形，ABD的外接圆O与CD相切，CB的延长线交O于E点，连接AE，若DAE100，则CDB_14. 已知一个圆锥的侧面积与全面积的比为3：5，则其侧面展开图的圆心角为 _15. 已知、为锐角，若，利用下列边长均为1的小正方形组成的网格图（如图），可求得tan（+）_16. 二次函数yax26ax5（a0），当5x6时，对应的y的整数值有4个，则a的取值范围是 _三、解答题（本大题
5、共有10题，共102分）17. （1）计算：；（2）解方程：x23x118 已知二次函数yx24mx+3m2，（1）求证：该二次函数的图象与x轴总有两个公共点；（2）若m0，且两交点间距离为2，求m的值并直接写出y3时，x的取值范围19. 流行病学中有一个叫做基本传染数R0的数字，简单来说，就是一个人在一个周期内会感染几个人，有一个人感染了新冠病毒，经过两个周期的传染后共有36人感染，求新冠病毒的基本传染数R020. 张大伯有晨跑锻炼的习惯，表一、表二是他两天所用跑步软件的跑步记录（不完整），试根据表一、表二中的数据，解决下列问题：表一 （2022年1月1日）5公里平均配速650公里平均配速变
6、化16492651+00236510004x0015649y表二 （2022年1月2日）5公里平均配速656“公里平均配速变化172020353+01740195+007（1）表一中，x ，y ；（2）表一中，5个配速数据的众数是 ，表二中5个配速数据的中位数是 ；（3）如果张大伯1月2日，跑步平均配速也为650，在表二中，当相邻两个1公里间的“变化数”不变的情况下，那么他第一个1公里的平均配速为多少？21. 已知：在ABC中，D为BC边上一点，AB2，CD3，BE平分ABC交AD于E，AC于F，在下列条件中选一个，求的值BADC；BD1我选择 （填序号）22. 一个不透明的袋子中装有4个只有
7、颜色不同的小球，其中2个红球，2个白球，摇匀后从中一次性摸出两个小球（1）请用列表格或画树状图的方法列出所有可能性；（2）若摸到两个小球的颜色相同，甲获胜；摸到两个小球颜色不同，乙获胜这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由23. 王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为，再从C点出发沿斜坡走米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为，若斜坡CF的坡比为（点在同一水平线上）（1）求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；（2）求大树AB的高度（结果保留根号）24. 某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向
8、四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为（1）求雕塑高OA（2）求落水点C，D之间的距离（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明25. 已知：MBN90，点A在射线BM上，点C在射线BN上，D在线段BA上，O是ACD的外接圆；（1）若O与BN的另一个交点为E，如图1，当，BD1，AD2时，求CE的长；（2）如图2，当BCABDC时，判断BN与O的位置关系，并说明理由；（3）如图3，在BN上作出C点，使得ACD最大，并求
9、当AD2，时，O的半径26. 如图，点A在抛物线上，过A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，点C为抛物线上的任一点；（1）若点A的横坐标为4，且ABC为直角三角形时，求C点的坐标；（2）当A点变化时，是否总存在C点，使得ABC是直角三角形，若是总存在，请说明理由；若不是总存在，请直接写出点A纵坐标m的取值范围；（3）若ABC为直角三角形，AB边上的高为h，h的大小是否改变，若改变，请说明理由；不改变，请求出高的长度；若将抛物线的关系式由换成yax2（a0），其余条件不发生改变，试猜想h与a的关系，并证明答案与解析一、选择题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分在每小题所给出的四个选项中，恰有一
10、项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）1. 若关于的一元二次方程 的一个根是2，则的值为（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】【分析】根据韦达定理，可知另一个根为，再根据韦达定理可知的值为根之和，即可求得【详解】的一个根为2，设另一根为，解得又故选D【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系即韦达定理，熟悉韦达定理是解题的关键2. 某校举行学生会成员的竞选活动，对竞选者从民主测评和演讲两个方面进行考核，两项成绩均按百分制计，规定民主测评的成绩占40%，演讲的成绩占60%，小新同学的民主测评和演讲的成绩分别为80分和90分，则他的最终成绩是（）A.
11、 83分B. 84分C. 85分D. 86分【答案】D【解析】【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可【详解】解：他的最终成绩为（分，故选：【点睛】本题主要考查加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义3. 如图，AB是O的直径，则BAC的度数为（）A. 22.5B. 30C. 45D. 67.5【答案】A【解析】【分析】连接OC，由可求得AOC的度数，由等腰三角形的性质即可求得BAC的度数【详解】如图，连接OC OA=OC 故选：A【点睛】本题考查了弧的关系与圆心角的关系，等腰三角形的性质等知识，关键是掌握弧的关系与圆心角的关系4. 将抛物线y4（x+1）2向右平移1个单位，再向下平移2个
12、单位，所得抛物线必定经过点（）A. （2，2）B. （1，1）C. （0，6）D. （1，3）【答案】B【解析】【分析】由题意可确定平移后的抛物线的函数解析式，再逐一判断即可【详解】抛物线y4（x+1）2的顶点坐标为(1，4)，抛物线y4（x+1）2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的顶点坐标为(0，2)，则平移后的抛物线解析式为；当x=2时， ，即点（2，2）不在抛物线上；当x=1时， ，即点（1，1）在抛物线上；当x=0时， ，即点（0，6）不在抛物线上；当x=1时， ，即点（1，3）不在抛物线上；故选：B【点睛】本题考查了二次函数图象的平移、点与函数图象的关系，二次函数图象
13、的平移关键是抓住抛物线顶点的平移5. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴、y轴的交点分别为A、B，则OAB的余弦值为（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先求得点A、B的坐标，表示出OA、OB的长，利用勾股定理求得AB的长，即可求得OAB的余弦值【详解】解：令x=0，y=b，令y=0，x=，点A的坐标为(，0)，点B的坐标为(0，b)，OA=、OB= b，AB=，=，故选：D【点睛】本题考查了一次函数的图象，解直角三角形，求得AB的长度的解题的关键6. 如图，在正方形ABCD中，F是BC边上一点，连接AF，以AF为斜边作等腰直角三角形AEF有下列四个结论：CAFDA
14、E；当AEC135时，E为ADC的内心；若点F在BC上以一定的速度，从B往C运动，则点E与点F的运动速度相等其中正确的结论的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】由正方形的性质及等腰直角三角形的性质得：FAE=CAF+CAE=CAE+DAE=45，从而可判定正确；由已知及可得CAFDAE，由相似三角形的性质即可判定正确；由CAFDAE可得ADE=CDE=45，由正方形的性质可证明ADECDE，可得AE=CE，即有EAC=ECA，再由AEC=135可得EAC=ECA=22.5，从而CE、AE分别平分ACD、CAD，即可判定正确；连接BD交AC于点O，由ADE=CDE
15、=45知，点E的运动轨迹为线段OD，而点F的运动轨迹为线段BC，由知，点F的运动速度是点E的运动速度的倍，即错误，因而可确定答案【详解】四边形ABCD是正方形，AC是对角线AD=CD，ADC=90，DAC=DCA=ACB=45AEF是等腰直角三角形FAE=DAC=45FAE=CAF+CAE=CAE+DAE=DAC=45CAF=DAE故正确AEF、DAC都是等腰直角三角形 即 CAF=DAECAFDAE 故正确CAFDAEADE=ACB=45ADC=90ADE=CDE=45在ADE和CDE中ADECDE(SAS)AE=CEEAC=ECAAEC=135 DAC=DCA=45=2EAC=2ECACE
16、、AE分别平分ACD、CADADE=CDE=45DE平分ADC即点E是ADC角平分线交点，从而是ADE的内心故正确如图，连接BD交AC于点OADE=CDE=45当点F与点B重合时，点E与点O重合；当点F与点C重合时，点E与点D重合点E的运动轨迹为线段OD，而点F的运动轨迹为线段BC，且点F与点E的运动时间相同 即点F与点E的运动速度不相同故错误故选：C 【点睛】本题是一个综合性较强的题目，考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，点的运动路径的确定等知识，熟练运用这些知识是正确解答本题的关键确定点E的运动路径是本题的难点所在二、填空题（本大题共有
17、10小题，每小题3分，共30分请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7. 一元二次方程x25x两根的和为 _【答案】1【解析】【分析】先将一元二次方程x25x转化为一般形式，然后根据韦达定理x1+x2填空【详解】解：由原方程，得x2x50，由韦达定理，得x1+x21；故答案是：1【点睛】本题考查了根与系数的关系在利用根与系数的关系x1+x2解题时，一定要弄清楚公式中的a、b所表示的含义8. 二次函数y-3x2-2的最大值为 _【答案】-2【解析】【分析】根据二次函数的性质即可求得最值【详解】解：由于二次函数y=-3x2-2的图象是抛物线，开口向下，对称轴为y轴， 所以当x=0时，函数取得最大值为
18、-2，故答案为-2.【点睛】本题考查了二次函数y=ax2+k的性质，熟练掌握二次函数y=ax2+k的性质是解题的关键9. 若二次函数yx22x+c的图象与x轴的一个交点为（1，0），则方程x22x+c0的两根为 _【答案】x1=-1，x2=3# x1=3，x2=-1【解析】【分析】将(-1，0)代入y=x2-2x+c即可求出c的值，将c的值代入x2-2x+c=0，再求出方程的两个根即可【详解】解：将(-1，0)代入y=x2-2x+c得，0=1+2+c，解得c=-3，x2-2x-3=0，(x+1)(x-3)=0，x1=-1，x2=3故答案为：x1=-1，x2=3【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交
19、点，抛物线上的点符合函数的解析式，同时要知道一元二次方程的解法10. 有甲乙两组数据，如表所示：甲1112131415乙1212131414甲乙两组数据的方差分别为，则_（填“”，“”或“”）【答案】【解析】【分析】根据甲、乙两组数据分别求出甲、乙的平均数，然后再利用方差公式进行求解比较即可【详解】解：由题意得：，；故答案为【点睛】本题主要考查平均数及方差，熟练掌握平均数及方差的计算是解题的关键11. 我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，利用圆内接正多边形来确定圆周率，南朝的祖冲之又进一步求得的值在3.1415926和3.1415927之间，是第一个将圆周率的计算精确到小数点后7位的人，一
20、个不知道小数点后8位的人，能猜出小数点后第8位的数字的概率为 _【答案】#0.2【解析】【分析】由题意知四舍五入近似时可知第8位数字为5,6,7,8,9共5种情况的一种，进而可求概率【详解】解：的值在3.1415926和3.1415927之间四舍五入近似时可知第8位数字为5,6,7,8,9共5种情况的一种能猜出小数点后第8位的数字的概率为故答案为：【点睛】本题考查了概率，近似数解题的关键在于列举事件12. 如图，O的半径为5，的长为3，则以AOB为内角正多边形的边数为 _【答案】5【解析】【分析】先利用利用弧长的计算公式计算出AOB的度数，即可求得以AOB为内角正多边形的边数【详解】解：，n，
21、AOB=108，设这个正多边形的边数为x正多边形的一个内角为108，这个正多边形每个外角等于72=72x=5故答案为：5【点睛】本题考查的是弧长公式、多边形的内角与外角公式，正确掌握弧长的计算公式是解决本题的关键求正多边形的边数时，内角转化为外角，利用外角和360知识求解更简单13. 如图，四边形ABCD是平行四边形，ABD的外接圆O与CD相切，CB的延长线交O于E点，连接AE，若DAE100，则CDB_【答案】【解析】【分析】利用平行四边形的定义得出对边，从而由平行线的性质得出，然后用切线性质得出，进而得出，再由圆内接四边形的性质求出，从而得出结论【详解】如图1，连接，并延长交O于点，连接四
22、边形ABCD是平行四边形， ；，ABD的外接圆O与CD相切，是O的直径，又， 四边形AEBD内接于圆O，DAE100 ， 故答案为：40【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形性质定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键14. 已知一个圆锥的侧面积与全面积的比为3：5，则其侧面展开图的圆心角为 _【答案】240【解析】【分析】首先根据圆锥的侧面积与全面积的比为3：5，得到圆锥的侧面积与底面积的比为3：2，即可得到母线l与底面半径的关系，然后根据侧面展开图的弧长等于底面周长，利用弧长公式即可求得【详解】解：设圆锥的底面半径长是r，母线长是l，圆锥
23、的侧面积与全面积的比为3：5，圆锥的侧面积与底面积的比为3：2则，解得，侧面展开图的圆心角度数为根据弧长公式：，解得：n240故答案为：240【点睛】正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长15. 已知、为锐角，若，利用下列边长均为1的小正方形组成的网格图（如图），可求得tan（+）_【答案】2【解析】【分析】先证明，得到tan（+）=tan，利用勾股定理的逆定理判断出ABC是直角三角形，进一步计算即可求得答案【详解】解：如图，BD=2，AD=1，BE=4，CE=3，tan（+）=tan，AB=，AC=，BC=，
24、,ABC是直角三角形，且90，tan（+）=tan=2，故答案为：2【点睛】本题考查了网格与勾股定理，解直角三角形，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题16. 二次函数yax26ax5（a0），当5x6时，对应的y的整数值有4个，则a的取值范围是 _【答案】或【解析】【分析】根据关于对称，分当时，开口向上，当时，随的增大而增大，当时，开口向下，当时，随的增大而增小，根据的整数值有4个，列出不等式进行求解【详解】解：关于对称，当时，开口向上，当时，随的增大而增大，当时，当时，的整数值有4个，解得：；当时，开口向下，当时，随的增大而增小，当时，当时，的整数值有4个，解得：；综上：或【点睛】本题考查
25、了二次函数的性质、不等式组的整数解问题，解题的关键是掌握相应的运算法则三、解答题（本大题共有10题，共102分）17. （1）计算：；（2）解方程：x23x1【答案】（1）0；（2）【解析】【分析】（1）直接利用负指数幂的性质、立方根的性质以及零指数幂的性质和特殊角的三角函数值带入原式化简得出答案；（2）先把方程转化为一元二次方程的一般形式，再利用求根公式求解【详解】解：（1）=0（2）x23x1x23x1=0 ， 【点睛】本题主要考查了实数的综合运算能力和一元二次方程的求解，是各地中考题中常见的计算题型解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值等考点的运算
26、以及熟练运用一元二次方程的求根公式18. 已知二次函数yx24mx+3m2，（1）求证：该二次函数的图象与x轴总有两个公共点；（2）若m0，且两交点间的距离为2，求m的值并直接写出y3时，x的取值范围【答案】（1）证明见解析 （2）m的值为1；x的取值范围为x4【解析】【分析】（1）由题意得一元二次方程，判断判根公式与0的大小即可；（2）由题意知，解得符合要求的的值，然后得到二次函数解析式，令，解得交点坐标，根据图象，即可求解x的取值范围【小问1详解】解：证明：由可得一元二次方程该二次方程的方程总有两个实数根，二次函数图象与x轴总有两个公共点【小问2详解】解：由题意知解得或（舍去）解得或由二次
27、函数图象可知，时的取值范围为或的值为1，时的取值范围为或【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点，二次函数与不等式的解集，一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式等知识解题的关键在于对知识的灵活运用19. 流行病学中有一个叫做基本传染数R0的数字，简单来说，就是一个人在一个周期内会感染几个人，有一个人感染了新冠病毒，经过两个周期的传染后共有36人感染，求新冠病毒的基本传染数R0【答案】的值为5【解析】【分析】由题意知第二个周期后共有个人感染，可列方程，计算求出符合要求的解即可【详解】解：由题意知，在第一个周期后共有个人感染第二个周期后共有个人感染可列方程解得或（舍去）新冠
28、病毒的基本传染数为5【点睛】本题考查了一元二次方程的应用解题的关键在于根据题意列正确的方程20. 张大伯有晨跑锻炼的习惯，表一、表二是他两天所用跑步软件的跑步记录（不完整），试根据表一、表二中的数据，解决下列问题：表一 （2022年1月1日）5公里平均配速650公里平均配速变化16492651+00236510004x0015649y表二 （2022年1月2日）5公里平均配速656“公里平均配速变化172020353+01740195+007（1）表一中，x ，y ；（2）表一中，5个配速数据的众数是 ，表二中5个配速数据的中位数是 ；（3）如果张大伯1月2日，跑步的平均配速也为650，在表二
29、中，当相邻两个1公里间的“变化数”不变的情况下，那么他第一个1公里的平均配速为多少？【答案】（1）， （2）649和651， （3）【解析】【分析】（1）根据表一中数据计算即可；（2）根据众数的定义及中位数定义求解即可；（3）分别设每1公里配速，再根据相邻两公里间的变化数以及平均配速列方程求解即可【小问1详解】解： ， ，【小问2详解】由（1）知表一中5个配速数据分别为649，651，651，650，649，众数649和651，表二中2公里配速为 ，3公里配速为 ，4公里配速为，5公里配速为，所以表二中位数为：，【小问3详解】设张大伯1至5公里平均配速分别为： ，相邻两个1公里间的“变化数”不
30、变，平均配速为， ，解得： ，他第一个1公里的平均配速为【点睛】本题考查了众数、中位数、统计表，从统计图表中获取信息，熟练掌握众数、中位数的定义是解题的关键21. 已知：在ABC中，D为BC边上一点，AB2，CD3，BE平分ABC交AD于E，AC于F，在下列条件中选一个，求的值BADC；BD1我选择 （填序号）【答案】或#或【解析】【分析】选时，如图作，有，证明，可知，解得的值，由角平分线的性质得，证明，可得的关系，由，知，求出的数量关系，进而可求的值；选时，有，可知，即由推出了，求解过程同选时即可【详解】解：选时：如图作，解得BE是ABC的角平分线在和中选可推导出并求解的值；选时：，可知之后
31、求解值的过程同选时的证明过程选也可推导出并求解的值；综上所述，选或选均能求解的值故答案为：或【点睛】本题考查了三角形相似，三角形全等，角平分线的性质等知识解题的关键在于对知识的灵活运用22. 一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的小球，其中2个红球，2个白球，摇匀后从中一次性摸出两个小球（1）请用列表格或画树状图的方法列出所有可能性；（2）若摸到两个小球的颜色相同，甲获胜；摸到两个小球颜色不同，乙获胜这个游戏对甲、乙双方公平吗？请说明理由【答案】（1）见解析；（2）这个游戏对甲、乙双方不公平，明显乙获胜的概率更高【解析】【分析】（1）列表格列出所有可能性；（2）分别求出甲乙获胜的情况个数后比
32、较大小即可【详解】（1）所有可能性如下表： 甲乙红1红2白1白2红1（红，红）（白，红）（白，红）红2（红，红）（白，红）（白，红）白1（红，白）（红，白）（白，白）白2（红，白）（红，白）（白，白）总共12种情况（2）摸到两个小球的颜色相同有4种，摸到两个小球颜色不同有8种甲获胜概率=，乙获胜概率=这个游戏对甲、乙双方不公平，明显乙获胜的概率更高【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断判断游戏公平性就要计算每个人取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比23. 王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在
33、点C处测得大树顶端A的仰角为，再从C点出发沿斜坡走米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为，若斜坡CF的坡比为（点在同一水平线上）（1）求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度；（2）求大树AB的高度（结果保留根号）【答案】（1）2米；（2）米【解析】【分析】（1）作DHCE于H，解RtCDH，即可求出DH；（2）延长AD交CE于点G，解RtGDH、RtCDH，求出GH、CH，得到GC，再说明AB=BC，在ABG中，利用正切的定义求出AB即可【详解】解：（1）过D作DHCE于H，如图所示：RtCDH中，CH=3DH，CH2+DH2=CD2，（3DH）2+DH2=（）2，解得：DH=2或-
34、2（舍），王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为2米；（2）延长AD交CE于点G，设AB=x米，由题意得，AGC=30，GH=，CH=3DH=6，GC=GH+CH=+6，在RtBAC中，ACB=45，AB=BC，tanAGB=，解得：AB=，即大树AB的高度为米【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角问题，掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念是解题的关键24. 某游乐场的圆形喷水池中心O有一雕塑OA，从A点向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同如图，以水平方向为x轴，点O为原点建立直角坐标系，点A在y轴上，x轴上的点C，D为水柱的落水点，水柱所在抛物线第一象限部分的函数表达式为
35、（1）求雕塑高OA（2）求落水点C，D之间的距离（3）若需要在OD上的点E处竖立雕塑EF，问：顶部F是否会碰到水柱？请通过计算说明【答案】（1）；（2）22米；（3）不会【解析】【分析】（1）求雕塑高,直接令，代入求解可得；（2）可先求出的距离，再根据对称性求的长；（3）利用，计算出的函数值，再与的长进行比较可得结论【详解】解：（1）由题意得，A点在图象上当时，（2）由题意得，D点在图象上令，得解得：（不合题意，舍去）（3）当时，不会碰到水柱【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质及图像关于轴对称问题，解题的关键是：掌握二次函数的图像与性质25. 已知：MBN90，点A在射线BM上，点C在射线B
36、N上，D在线段BA上，O是ACD的外接圆；（1）若O与BN的另一个交点为E，如图1，当，BD1，AD2时，求CE的长；（2）如图2，当BCABDC时，判断BN与O的位置关系，并说明理由；（3）如图3，在BN上作出C点，使得ACD最大，并求当AD2，时，O的半径【答案】（1）CE的长为； （2）BN是O的切线，理由见解析； （3）O半径为2【解析】【分析】（1）利用圆内接四边形的性质得到BDC=AEC，再证明ABECBD，利用相似三角形的性质即可求解；（2）连接并延长CO，交O于点F，连接DF，先证明BAC=BCD，利用圆周角定理证得CFD=BCD，可推出BCOC，即可证明BN是O的切线；（3）
37、过A，C，D三点作O，当BC是O的切线时，ACD最大，证得BCDBAC，得到BC2=BDBA，推出BC2=BD2+2BD，再根据勾股定理得到BC2=BD2+2BD，即11BD2-4BD-4=BD2+2BD，求得BD的值，再由BACACG，即可求解【小问1详解】解：连接AE，AEC+ADC=180，BDC+ADC=180，BDC=AEC，CBD=ABE，ABECBD，BC=，BD=1，AD=2，AB=AD+BD=2+1=3，,BE=2，CE=BE-BC=，CE的长为；【小问2详解】解：BN是O的切线，理由：连接并延长CO，交O于点F，连接DF，则CDF=90，CFD+FCD=90，BCA=BDC
38、，B=B，BAC=BCD，CAD=CFD，CFD=BCD，FCB=FCD+BCD=FCD+CFD=90，BCOC，BC是O的切线，即BN是O的切线；【小问3详解】解：过A，C，D三点作O，当BC是O的切线时，ACD最大，连接并延长CO交O于点G，连接AG，DG，则CDG=90，CAG=90，CGD+DCG=90，BC是O的切线，BCOC，BCO=90，BCD+DCG=90，BCD=CGD，CGD=CAD，BCD=BAC，B=B，BCDBAC，BC2=BDBA，AD=2，BA=BD+AD=BD+2，BC2=BD(BD+2)=BD2+2BD，BC2+BA2=AC2，AC=2BD，BC2=AC2-B
39、A2=(2BD) 2-(BD+2) 2=11BD2-4BD-4，11BD2-4BD-4=BD2+2BD，5BD2-3BD-2=0，BD=-(舍去)或BD=1，BD=1，BA=BD+AD=1+2=3，AC=2BD=2，B=90，ABBC，CGBC，CG/AB，BAC=ACG，B=CAG=90，BACACG，CG=4，OC=2，即O的半径为2【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键26. 如图，点A在抛物线上，过A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，点C为抛物线上的任一点；（1）若点A的横坐标为4，且ABC为直角三角形时，求C点的
40、坐标；（2）当A点变化时，是否总存在C点，使得ABC是直角三角形，若是总存在，请说明理由；若不是总存在，请直接写出点A纵坐标m的取值范围；（3）若ABC为直角三角形，AB边上的高为h，h的大小是否改变，若改变，请说明理由；不改变，请求出高的长度；若将抛物线的关系式由换成yax2（a0），其余条件不发生改变，试猜想h与a的关系，并证明【答案】（1）或 （2）不是总存在， （3）不改变，h=2；，证明见解析【解析】【分析】（1）由已知易得点A与点B的坐标，设AB与y轴的交点为D点，设点C的坐标为，其中，连接DC，根据直角三角形的性质， 从而可得关于n的方程，解方程即可求得n，从而可求得点C的坐标；（2）由点A的纵坐标及函数解析式可求得A、B两点的坐标及点D的坐标，若存在点C，使ABC为直角三角形，设点C的坐标为，其中，根据直角三角形的性质， 从而可得关于n的一元二次方程，解方程解即可求得点n的值，从而可以求得点C的坐标；（3）由（2）中所求得n的值，计算，根据结果即可判断h是否改变；设点A的坐标为，由函数解析式可得B点的坐标，设AB与y轴的交点为D点，则可求得点D的坐标，设点C的坐标为，其中；连接DC，根据直角三角形的性质， 从而可得关于n的一元二次方程，解方程即可求得n的值，从而由即可得到h与a的关系【小问1详解】抛物线解析式为，且ABx轴A
