1、第2课时 简单线性规划的应用在实际问题中常遇到两类问题：在实际问题中常遇到两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理地安排和规划二是给定一项任务，如何合理地安排和规划能以最少的人力、物力、资金等资源来完成它能以最少的人力、物力、资金等资源来完成它.下面我们来看看线性规划在实际中的一些应用下面我们来看看线性规划在实际中的一些应用.1.1.体会线性规划的基本思想，并能借助几何直体会线性规划的基本思想，并能借助几何直观解决一些简单的实际问题；观解决一些简单的实际问
2、题；(重点）重点）2.2.利用线性规划解决具有限制条件的不等式；利用线性规划解决具有限制条件的不等式；3.3.培养学生搜集、整理和分析信息的能力，提培养学生搜集、整理和分析信息的能力，提高学生数学建模和解决实际问题的能力高学生数学建模和解决实际问题的能力.一、用量最省问一、用量最省问题题例1 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg的碳水化合物,0.06 kg的蛋白质,0.06 kg的脂肪.1 kg食物A含有0.105 kg碳水化合物,0.07 kg蛋白质,0.14 kg脂肪,花费28元;而1 kg食物B含有0.105 kg碳水化合物,0.14 kg蛋白质,0.07 kg脂
3、肪,花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求,同时使花费最低,需要同时食用食物A和食物B多少kg?探究点探究点1 1 简单线性规划问题及在实际问题中的应用简单线性规划问题及在实际问题中的应用分析分析:将已知数据列成下表：将已知数据列成下表：0.070.140.1050.140.070.105BA脂肪/kg蛋白质/kg碳水化合物/kg食物/kg解解:设每天食用设每天食用x kgx kg食物食物A,y kgA,y kg食物食物B,B,总成总成本为本为z.z.那么那么x,yx,y满足的约束条件是满足的约束条件是:0 1050 1050 0750 070 140 060 140 070 06 0
4、0.x.y.,.x.y.,.x.y.,x,y.目标函数为目标函数为z=28x+21y.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域即可行域.775,7146,1476,0,0.xyxyxyxy 二元一次不等式组等价于二元一次不等式组等价于z zz z是是 直直在在 y y上上 的的 截截 距距，取取 最最 小小 值值，2 21 12 21 1z z的的 值值 最最 小小.然然 直直要要 与与 可可 行行 域域 相相 交交，即即 在在足足束束件件目目函函z z=2 28 8x x+2 21 1y y取取 得得 最最 小小值值.线轴当时当线满约条时标数4 4
5、z z 考考z z=2 28 8x x+2 21 1y y，它它形形y y=-x x+，3 32 21 14 4是是斜斜率率-、z z化化的的一一族族平平行行直直.3 3虑将变为这为随 变线xO1476xy7146xy37475767137576743yx y775xyM由图知由图知,当直线当直线经过可行域上的点M时,截距最小最小,即即z z最小最小.2821zxyz21解方程组解方程组得得M M的坐标为的坐标为7751476xy,xy,14()77,.所以所以z zminmin=28x+21y=16.=28x+21y=16.答：每天食用食物答：每天食用食物A A约约143 g143 g，食物
6、，食物B B约约571 g571 g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为成本为1616元元.解线性规划应用问题的一般步骤：解线性规划应用问题的一般步骤：1.1.理清题意，列出表格；理清题意，列出表格；2.2.设好变量，列出线性约束条件（不等式组）设好变量，列出线性约束条件（不等式组）与目标函数；与目标函数；3.3.准确作图；准确作图；4.4.根据题设精确计算根据题设精确计算.【提升总结】例2 要将两种大小不同的钢板截成A，B，C三种规格,每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示:A规格B规格C规格第一种钢板第二种钢板211213 今
7、需要今需要A A，B B，C C三种规格的成品分别三种规格的成品分别15,18,2715,18,27块，用数学关系式和图形表示上述要求各截这块，用数学关系式和图形表示上述要求各截这两种钢板多少张可得所需两种钢板多少张可得所需A A，B B，C C三种规格成品，三种规格成品，且使所用钢板张数最少？且使所用钢板张数最少？规格类型规格类型钢板类型钢板类型分析：分析：列表列表A规格B规格C规格第一种钢板第二种钢板211213张数成品块数xy2xy2xy3xy解：解：设需截第一种钢板设需截第一种钢板x x张，第二种钢板张，第二种钢板y y张，共张，共需截这两种钢板共需截这两种钢板共z z张，则张，则21
8、521832700 xy,xy,xy,x,y.线性目标函数线性目标函数.zxy2x+y=15x+3y=27x+2y=18xOy0 xyM作出一组平行直线作出一组平行直线 z=x+yz=x+y，当直线经过可行域上的，当直线经过可行域上的点点M M时，时，z最小最小.作出可行域如图所示：作出可行域如图所示：由于由于 都不是整数，而此问题中的最优解都不是整数，而此问题中的最优解中，中，必须都是整数，所以点必须都是整数，所以点 不是最优不是最优解解.解方程组解方程组327,215,xyxy 18 39(,).55M18 39,55得得(,)x y,x y18 39(,)55使截距使截距z z最小的直线
9、为最小的直线为 ，经过的整点是B(3,9)和C(4,8)，=12xy 它们是最优解.z=12.min答：要截得所需三种规格的钢板，且使所截两答：要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板张数最小的方法有两种，第一种截法是种钢板张数最小的方法有两种，第一种截法是第一种钢板第一种钢板3 3张，第二种钢板张，第二种钢板9 9张；第二种截法张；第二种截法是截第一种钢板是截第一种钢板4 4张，第二种钢板张，第二种钢板8 8张；两种截张；两种截法都最少要两种钢板法都最少要两种钢板1212张张.例3 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐4 t、硝酸盐18 t；生产1车皮乙种
10、肥料需要的主要原料是磷酸盐1 t、硝酸盐15 t现在库存磷酸盐10 t、硝酸盐66 t，在此基础上生产这两种混合肥料.列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10 000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5 000元.那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？二、效益最佳问题二、效益最佳问题解：解：设生产设生产x x车皮甲种肥料、车皮甲种肥料、y y车皮乙种肥料，能够车皮乙种肥料，能够产生利润产生利润z z万元，则目标函数为万元，则目标函数为分析：列表4 418181 11515甲种肥料乙种肥料磷酸盐(t)硝酸盐(t）总吨数车皮数4
11、xy1815xyxy利润利润(元元)10 00010 0005 0005 00041018156600.，约束条件为，xyxyxyz0.5.xyyxO123452468104=10 xy1815=66xy作出可行域，作出可行域，2yx M直直y=-2x+2z可y=-2x+2z可行行域域上上的的M，M，z最z最大大.当线经过点 时变为把把z=x+0.5y形z=x+0.5y形y=-2x+2z,y=-2x+2z,得到斜率为得到斜率为-2-2，在，在y y轴轴上的截距为上的截距为2z2z，随，随z z变变化的一族平行直线化的一族平行直线.maxmax18x+15y=66,18x+15y=66,解解方方
12、程程得得M的M的坐坐(2,2).(2,2).4x+y=10,4x+y=10,所所以以z=2+0.5z=2+0.52=3.2=3.组标为答：生产甲、乙两种肥料各答：生产甲、乙两种肥料各2 2车皮，能够产生车皮，能够产生最大利润，最大利润为最大利润，最大利润为3 3万元万元.例例4 4 若二次函数若二次函数 的图象过原点，且的图象过原点，且 求求 的范围的范围.()yf x(2)f 3(1)4,f1(1)2,f设条关数数围线规识2 2f f(x x)=a ax x+b bx x(a a 0 0),由由已已知知件件可可以以得得到到于于二二次次函函y y=f f(x x)的的系系a a,b b的的不不
13、等等式式，f f(-2 2)=4 4a a-2 2b b的的范范可可用用性性分分：划划知知析析求求解解.探究点探究点2 2 利用简单线性规划求变量的范围利用简单线性规划求变量的范围2 2y=f(x)的y=f(x)的象象原原，所所以以f(x)=ax+bx(af(x)=ax+bx(a0).0).所所以以f(-1)=a-b,f(1)=a+b.f(-1)=a-b,f(1)=a+b.1a-b2,1a-b2,所所以以3a+b4.3a+b4.f(-2)=4a-2b.f(-2)=4a-2b.令令z=4a-2bz=4a-2b解解：因因.图过点设 为作出如图所示的可行域，作出如图所示的可行域，变为线l0 0z z
14、z=4a-2b可z=4a-2b可形形b=2a-.b=2a-.2 2作作:b=2a及:b=2a及其其平平行行.Oba1 2 2424AB2ba 3ab1ab4ab2ab由图可知，由图可知，z z直直b b=2 2a a-2 2可可行行域域上上的的A A，z z截截距距-最最大大，即即z z最最小小.2 2z zB B，截截距距-最最小小，2 2即即z z最最大大.当线经过点 时经过点 时组组组组minminmaxmaxa-b=1,a-b=1,由由方方程程得得A(2,1).A(2,1).a+b=3a+b=3所所以以z=4a-2b=4z=4a-2b=42-22-21=6.1=6.a-b=2,a-b=
15、2,由由方方程程得得B(3,1).B(3,1).a+b=4a+b=4所所以以z=4a-2b=4z=4a-2b=43-23-21=10.1=10.所所以以6f(-2)10.6f(-2)10.将求变量范围的问题巧妙地转化为简单将求变量范围的问题巧妙地转化为简单的线性规划问题进行求解，减少了失误的线性规划问题进行求解，减少了失误.【提升总结】1.1.已已知知f(x)=(3a-1)x+b-a,xf(x)=(3a-1)x+b-a,x0,1,0,1,若若f(x)f(x)1 1恒恒成成立立，则则a+ba+b的的最最大大值值是是.53C2.（真题湖南高考）若变量,x y满足约束条件，5-205352ABCD（
16、）3.（真题北京高考）设D为不等式组 表示的平面区域，区域D上的点与点（1，0）之间的距离的最小值为_.2 554.某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1 t需耗A种矿石10 t、B种矿石5 t、煤4 t；生产乙种产品1 t需耗A种矿石4 t、B种矿石4 t、煤9 t.每吨甲种产品的利润是600元，每吨乙种产品的利润是1 000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300 t、B种矿石不超过200 t、煤不超过363 t.甲、乙两种产品应各生产多少吨，能使利润总额达到最大?将已知数据列成下表：分析：A种矿石(t)B种矿石(t)煤(t)甲产品(1 t)乙产品(1 t)资源限
17、额(t)利润(元)10546004491 000300200363解：解：设生产甲、乙两种产品分别为设生产甲、乙两种产品分别为x tx t、y ty t，利润总额为利润总额为z z元，则元，则10 x4y300,5x4y200,4x9y363,x0,y0;作出如图所示的可行域，作出如图所示的可行域，3zz600 x1 000yyx.51 000 可变形为z600 x1 000y.54200 xyyxO1010104300 xy49363xy03:5lyx l线0 03 3作作:y=-x及:y=-x及其其平平行行，5 5M3z3z直直y=-x+M，y=-x+M，51 00051 000z最z最大
18、大.当线经过点 时解方程组：解方程组：5x4y200,4x9y363,标标为为得得M M的的坐坐(1 12 2,3 35 5).答：甲、乙两种产品应各生产12 t,35 t，能使利润总额达到最大，利润总额最大为42 200元.maxz600 12 1 000 3542200.（元）Z Z得点得点 1.1.设所求的未知数；设所求的未知数；2.2.列出约束条件；列出约束条件；3.3.建立目标函数；建立目标函数；4.4.作出可行域；作出可行域；5.5.运用图解法，求出最优解运用图解法，求出最优解;6.6.实际问题需要整数解时，适当调整，确定最实际问题需要整数解时，适当调整，确定最优解优解.一、利用简单的线性规划解决实际问题的一般步骤：一、利用简单的线性规划解决实际问题的一般步骤：二、利用线性规划知识解决具有限制条件的函数不等式二、利用线性规划知识解决具有限制条件的函数不等式.
