1、6 平面向量数量积的坐标表示 1.1.知识目标：知识目标：（1 1）掌握）掌握“平面向量的数量积的坐标表示平面向量的数量积的坐标表示”这个重这个重要的知识点；要的知识点；（2 2）会用）会用“平面向量的数量积的坐标表示平面向量的数量积的坐标表示”的有关的有关知识解决实际问题。如判断垂直、求解长度、角度与知识解决实际问题。如判断垂直、求解长度、角度与方程等方程等.2.2.能力目标：能力目标：体会坐标的意义，熟悉坐标化的方法体会坐标的意义，熟悉坐标化的方法.3.3.情感目标：情感目标：在师生共同的学习过程中，培养学生合在师生共同的学习过程中，培养学生合作交流，乐于探索创新的科学精神作交流，乐于探索
2、创新的科学精神.4.4.本课重点：本课重点：平面向量数量积的坐标表示平面向量数量积的坐标表示.5.5.本课难点：本课难点：平面向量数量积坐标表示的实际应用平面向量数量积坐标表示的实际应用.OAB1.1.概念概念:(1)(1)向量的夹角向量的夹角:(2)(2)平面向量数量积的定义平面向量数量积的定义:注意：注意：两个向量的数量积是数量，而不是向量两个向量的数量积是数量，而不是向量.|cosa ba b 其中：其中：0,a0b（00 ）bb2.2.平面向量数量积的几何意义平面向量数量积的几何意义:abBAOcosa bab OABBbc o sc o s与的 数 量 积 等 于的 长 度与在方 向
3、 上 投 影的 乘 积，或的 长 度与在方 向 上 投 影的 乘 积.abaababbbabacosbcosb4.4.性质性质:(1)(1)垂直的充要条件：垂直的充要条件：_(2)(2)求模公式：求模公式：_(3)(3)夹角公式：夹角公式：_|aa a cos,|a ba bab 0a b ab5.5.数量积的运算律：数量积的运算律：交换律：交换律：_数乘结合律：数乘结合律：_分配律：分配律：_a bb a ()()()a ba bab ()a bca ba c 注意：注意：数量积不满足结合律数量积不满足结合律abcabc思考思考1 1：向量的加法、减法、数乘都可以用向量的加法、减法、数乘都可
4、以用“坐坐标语言标语言”表示，向量的数量积能否由表示，向量的数量积能否由“坐标语言坐标语言”来表示？来表示？若两个向量若两个向量1122(,),(,)axybxy1122()()?a bx iy jx iy j 请计算下列式子：请计算下列式子：=i i =j j =ij =j i 设设x x轴上单位向量为轴上单位向量为i，y y轴上单位向量为轴上单位向量为j1 11 10 00 01122(,),(,),ax ybx y已知已知怎样用怎样用,a b 的坐标表示的坐标表示呢？请同学们思考！呢？请同学们思考！a b 1122,ax iy j bx iy j解：解：由题意得由题意得221 21221
5、12x x ix y ijx y ijy y j 1212x xy y1122()()a bxiy jx iy j这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和的乘积的和.即即1212a bx xy y(5,7),(6,4),.设求aba b 练习：求值练习：求值 121212125,6;7,4.567430282.xxyya bx xy y解：【技巧方法技巧方法】区分好横纵坐标，准确代入数值，精心计算区分好横纵坐标，准确代入数值，精心计算.思考思考2 2 如何用向量的坐标来表示两向量数量如何用向量的坐标来表示两向量数量积的相关性质？积的相关性质
6、？(2)(2)求模公式：求模公式：|aa a 坐标表示为：坐标表示为：(,)设，则|=ax ya22xy坐标表示为：坐标表示为：(1)(1)垂直的充要条件：垂直的充要条件：1122,设非零向量则:ax ybx y12120abx xy y坐标表示为：坐标表示为：cos|a bab(3)(3)夹角公式：夹角公式：1122(,),(,),axybxyab设与 的夹角为，则121222221122cosx xy yxyxy222121()()xxyy特别地：特别地：AB|AB|d、两点间的距离11222121A(,)B,AB,xyxyxxyy若，(),则:典型例题分析典型例题分析例例1 1 已知已知
7、 ，求向量，求向量 与与 的的夹角的余弦值夹角的余弦值.3,2a 1,1b ab2222312126cos,26321126.26 abab设 向 量 与的 夹 角 为，则即 向 量 与 夹 角 的 余 弦 值 为解：法 1 222231211,321 3,112,12 6c o s,2 61 322 6.2 6 abababab解 法 2设 向 量与的 夹 角 为，则即 向 量与夹 角 的 余 弦 值 为【技巧方法技巧方法】1.1.细心代入，精确计算细心代入，精确计算.2.2.分步计算，难度化整为零分步计算，难度化整为零.例例2 2 求以点求以点C(,b)为圆心，为圆心，r为半径的圆的方程为
8、半径的圆的方程.特别地：特别地：如果圆心在坐标原点上，这时如果圆心在坐标原点上，这时=0,=0,b=0=0，那么圆的标准方程为，那么圆的标准方程为 x2 2+y2 2=r2 2.CMxoy即圆的标准方程即圆的标准方程.解：解：设设M（x,y)是圆是圆C上任意一点，上任意一点，所以所以(x-)2+(y-b)2=r2,则则|=r,CM 即即 =r2CM CM 因为因为 =（x ,y-b),CM【技巧方法技巧方法】设圆上任意一点设圆上任意一点M（x，y），构造向），构造向量量 ，利用向量的模为定值，列出，利用向量的模为定值，列出相等关系，化简即得所求曲线的方程相等关系，化简即得所求曲线的方程.MC
9、yxo.例例3 已知圆已知圆C:（x-)2+(y-b)2=r2，求与，求与圆圆C相切于点相切于点Po（xo,yo)的切线方程的切线方程.cp0p.l解解:设设P（x,y)为所求直线为所求直线 l上一点上一点.根据圆的切线性质，根据圆的切线性质，有有 ，即即 =0CPlCPPP 因为因为 =(xo-,yo-b),=(x-xo,y-yo),所以所以(xo-)(x-xo)+(yo-b)(y-yo)=0.CPPP【技巧方法技巧方法】将相关向量用坐标表示，根据互将相关向量用坐标表示，根据互相垂直的向量的数量积等于零，相垂直的向量的数量积等于零，写出表达式写出表达式.若若=0，b=0,圆的标准方程为圆的标
10、准方程为x2+y2=r2，与，与它相切于它相切于P0（x0，y0）的切线方程为）的切线方程为x0（x-x0）+y0（y-y0）=0，由于由于x02+y02=r2，故此方程可化为，故此方程可化为x0 x+y0y=r2.特别地：特别地：直线的方向向量直线的方向向量 由解析几何知，给定斜率为由解析几何知，给定斜率为k k的直线的直线l，则，则向量向量m=m=（1 1，k k）与直线）与直线l共线，我们把与直线共线，我们把与直线l共线的非零向量共线的非零向量m m称为直线称为直线l的方向向量的方向向量.例例4 4 已知直线已知直线l1 1:3x+4y-12=0:3x+4y-12=0和和l2 2:7x+
11、y-:7x+y-28=028=0，求直线，求直线l1 1和和l2 2的夹角的夹角.解解:任取直线任取直线l1和和l2的方向向量的方向向量222231,1,7.4cos31 1724cos,2311744512和设向量与 夹角为，因为，从而所以，即直线 和 的夹角为45.mnmnm nmnll 【技巧方法技巧方法】利用斜率为利用斜率为k k的直线的直线l的方向向量为的方向向量为m=m=（1 1，k k），写出直线），写出直线l1 1和和l2 2的方向向量，然后运用的方向向量，然后运用向量的夹角公式计算出夹角的余弦值，从向量的夹角公式计算出夹角的余弦值，从而求出夹角而求出夹角.注意：直线的夹角取值
12、范围注意：直线的夹角取值范围0,0,当求出当求出的向量的夹角为钝角时，应取其补角的向量的夹角为钝角时，应取其补角.22 2-74 432312.2.已知已知 =（-1-1，2 2），），=（3 3，2 2），则），则 （-）=_.=_.3.3.已知已知 ，=（2 2，-5-5），则），则 =_.=_.ab1,0a ababab(2,3),a(2,4);b ()()_.则 abab4.4.已已知知5.5.给定两个向量给定两个向量 (3,4),(2,1)ab若若()axb(),ab_则x()axb(),ab_则x 若若63.65D 33.65B33.65C 63.65A1.1.若若 则则 与与 夹
13、角的余弦值为（夹角的余弦值为（）(3,4),(5,12),ab abB6.6.已知向量已知向量 (1 sin),，a(1 cos)，b，则，则 ab的最大值为的最大值为_ 27、已知向量、已知向量（）求（）求 与与 的夹角的余弦值；的夹角的余弦值；（）若向量（）若向量 与与 垂直，求垂直，求 的值的值.(4,3),(1,2)ab abab2ab14(1)3 22 a b（解）：22|(1)25b 2c o s|55abab22|435又a(2)(4,32)ab2(7,8)ab()(2)abab7(4)8(32)0529理解和应用向量坐标表示的公式解决问题：理解和应用向量坐标表示的公式解决问题：1 1、数量积的坐标表示、数量积的坐标表示1212a bx xy y 2 2、向量坐标表示的求模公式、向量坐标表示的求模公式22222,或axyaxy3 3、平面内两点间的距离公式、平面内两点间的距离公式221212AB)xxyy（4 4、两向量夹角的余弦、两向量夹角的余弦5 5、向量垂直的判定、向量垂直的判定12120abx xy y121222221122cosx xy yxyxy不患位之不尊，而患德之不崇；不耻禄之不伙，而耻智之不博。张衡
