1、第二章 平面向量1从位移、速度、力到向量1.了解向量的物理背景.2.理解向量的概念、几何意义及向量的表示.3.初步理解零向量、相等向量、共线向量的概念,并能求解一些简单的向量问题.1231.位移、速度和力(1)位移、速度和力这些物理量都是既有大小,又有方向的量,物理学中常称为“矢量”.(2)只有大小没有方向的量是数量.如,长度、面积、质量等.1232.向量的概念(1)定义:既有大小又有方向的量叫作向量.(2)有向线段:具有方向和长度的线段叫作有向线段.其方向是由起点指向终点,以A为起点、B为终点的有向线段,名师点拨有向线段包含三个要素:起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向、长度,它的终
2、点就唯一确定了.123 名师点拨1.向量a的模|a|0.2.向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.3.向量不能比较大小,这是因为向量是由大小和方向两方面确定的.向量的大小是代数特征,方向是几何特征,向量的模能比较大小,但方向不能比较大小,因此,“大于”“小于”对向量是没有实际意义的.例如,|a|b|,不能记作ab.123(4)向量的表示法:几何表示:用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的大小,箭头所指的方向表示向量的方向;字母表示:用一个黑体小写的英文字母表示,或用表示向量的有向线段的起点和终点的字母表示.123【做一做1-1】有下列各量:密度;浮力;温度;拉力.其中是向量的为()A.B
3、.C.D.解析:由向量的概念可知,浮力和拉力是向量,密度和温度是数量.答案:C【做一做1-2】下列说法中正确的是()A.数量可以比较大小,向量也可以比较大小B.方向不同的向量不能比较大小,但同向的向量可以比较大小C.向量的大小与方向有关D.向量的模可以比较大小解析:向量的模是数量,可以比较大小.故选D.答案:D1233.相等向量与共线向量(1)若表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合,则称这两个向量平行或共线.a与b平行或共线,记作ab.我们规定零向量与任一向量平行.(2)相等向量:长度相等且方向相同的向量,叫作相等向量.向量a与b相等,记作a=b.123 名师点拨1.平行向量就是共线向量
4、,这是因为任一组平行向量都可移到同一条直线上,“向量共线”的含义不同于平面几何中“共线”的含义,两个向量共线,它们各自的“基线”重合或平行.2.向量共线包括四种情况:方向相同,模相等;方向相同,模不等;方向相反,模相等;方向相反,模不等.3.在平面内,相等的向量有无数多个,它们的方向相同且长度相等.相等向量是共线向量,而共线向量不一定是相等向量.123答案:D 123【做一做2-3】下列命题中错误的是(只填序号).单位向量都相等;若向量a与向量b同向,且|a|b|,则ab;若ab,bc,则ac.解析:不正确.共线向量即平行向量,只要求方向相同或相反即不正确.单位向量的模均为1,但方向并不确定;
5、不正确.向量既有大小,又有方向,不能比较大小;不正确.当向量b=0时,则向量a与向量c不一定平行.答案:题型一题型二题型三题型一题型二题型三解析:利用向量、零向量与共线向量的定义进行判断.答案:题型一题型二题型三 反思1.向量的模为表示向量的有向线段的长度,与方向无关.2.若两个向量平行,则它们的方向相同或相反.3.0是一个向量,且模为0,方向任意,而0是一个数量.4.数量能比较大小,而向量不能比较大小.题型一题型二题型三【变式训练1】判断下列命题是否正确,并简述理由.(1)若a=b,b=c,则a=c;(2)在四边形ABCD中(3)模为0的向量方向不确定;(4)若|a|=|b|,且ab,则a=
6、b.题型一题型二题型三题型一题型二题型三【例2】如图,ABC的三边均不相等,AC,AB,BC的中点分别是点E,F,D.在以A,B,C,D,E,F为起点或终点的向量中,分析解答本题可先找出图中长度相等的线段以及互相平行的线段,再根据相等向量、共线向量的定义求解.题型一题型二题型三反思在平面图形中找相等向量、共线向量时,首先要注意利用平行四边形的性质、三角形的中位线定理等平面几何知识分析平面图形中线段相等、平行的关系,然后判断向量相等、平行.题型一题型二题型三题型一题型二题型三【例3】一辆汽车从点A出发向西行驶了100 km到达点B,然后又改变方向向西偏北50行驶了200 km到达点C,最后又改变
7、方向,向东行驶了100 km到达点D.题型一题型二题型三反思在实际问题中准确画出向量的方法是先确定向量的起点,再确定向量的方向,最后根据向量的大小确定向量的终点.题型一题型二题型三题型一题型二题型三123451.下列说法中正确的是()A.平行向量就是向量所在的直线平行的向量B.方向相同的向量叫相等向量C.零向量的长度为零D.若ab,则a一定不与b共线答案:C12345答案:D 1234512345答案:菱形 123455.在图中的方格纸上(每个小方格的边长均为1),已知向量a.(1)试以B为起点画一个向量b,使b=a;(2)画一个以C为起点的向量c,使|c|=2,并说出c的终点的轨迹是什么.12345解:(1)根据相等向量的定义,所作向量应与a平行,且长度相等,如图.(2)由平面几何知识可作出满足条件的向量c.所有这样的向量c的终点的轨迹是以C为圆心,2为半径的圆,如图.
