1、2022-12-21第十五讲第十五讲 不定积分（三）不定积分（三）一、有理函数的积分一、有理函数的积分二、简单无理式的积分二、简单无理式的积分2022-12-22)()()(xQxPxRmn mmmmmnnnnnbxbxbxbxQaxaxaxaxP 11101110)()(其其中中真真分分式式多多项项式式代代数数有有理理函函数数 12111223 xxxxxx例例如如：一、有理函数的积分一、有理函数的积分（一）代数有理函数的积分（一）代数有理函数的积分假假分分式式时时当当真真分分式式时时当当,;,mnmn 2022-12-23简简分分式式的的和和真真分分式式可可分分解解为为四四类类最最 axA
2、)1(naxA)()2(qpxxCBx 2)3(nqpxxCBx)()4(2 caxAdxaxAln)1(caxnAdxaxAnn 1)(1()()2(四类最简分式的积分四类最简分式的积分2022-12-24 dxqpxxCBppxBdxqpxxCBx221212)2()3(qpxxdxCBpqpxxB2222ln21 )()(22ln2142222ppqxdxCBpqpxxB2022-12-25 dxqpxxCBppxBdxqpxxCBxnn)()2()()4(22121212)(1)1(2 nqpxxnB nppqxdxCBp)()(2242222022-12-26:)04()()()(2
3、21110诸诸因因式式之之积积与与与与形形如如都都可可以以分分解解为为一一个个常常数数任任意意一一个个实实系系数数多多项项式式 qpqpxxaxbxbxbxbxQlkmmmmm 如何将真分式分解为最简分式之和如何将真分式分解为最简分式之和？定理定理1：rslrrllkskkmqxpxqxpxqxpxaxaxaxbxQ)()()()()()()(22221122102121 2022-12-27:,)()(如如下下分分解解规规则则之之和和唯唯一一地地分分解解为为最最简简分分式式则则它它可可以以是是一一个个真真分分式式设设xQxPmn定理定理2：)()1(axA 一一次次单单因因式式对对应应一一项
4、项kkaxAaxAaxAkk)()()()2(221 项项重重因因式式对对应应一一次次2022-12-28qpxxCBx 2)3(二二次次单单因因式式对对应应一一项项kkkqpxxCxBqpxxCxBqpxxCxBkk)()()()4(22222211 项项重重因因式式对对应应二二次次2022-12-29分分解解为为最最简简分分式式的的和和将将例例435123 xxx将将分分母母分分解解因因式式)1(223)2)(1(43 xxxx将将真真分分式式分分解解)2(223)2(21435 xCxBxAxxx解解CBA,)3(用用比比较较系系数数法法确确定定常常数数)24()4()()1()2)(1
5、()2(522CBAxCBAxBAxCxxBxAx 2022-12-210 524140CBACBABA1,32,32 CBA223)2(121321132435 xxxxxx dxxxx43523 2)2(232132xdxxdxxdxCxxx 2112ln322022-12-211 dxxxxxxxxI1221223453求求积积分分例例将将分分母母分分解解因因式式)1(222345)1)(1(122 xxxxxxx将将真真分分式式分分解解)2(22223453)1(111221 xEDxxCBxxAxxxxxxx解解用用比比较较系系数数法法确确定定常常数数)3()()()2()()()1
6、)()1)(1)()1(12342223ECAxEDCBxDCBAxBCxBAxEDxxxCBxxAxx 2022-12-21223,21,43,41,41 EDCBA 110210ECAEDCBDCBABCBAdxxxdxxxdxxI 222)1(32113411141 1431)1(811ln41222xdxxxdx 22222)1(23)1()1(41xdxxxd2022-12-213xxxarctan43)1ln(811ln412 1431)1(811ln41222xdxxxdxI 22222)1(23)1()1(41xdxxxdCxxxx arctan2112123114122Cxx
7、xxI 11311ln4122即即2022-12-214Caxaaxxaaxdxaaxxaaxdxn )arctan1(212121)(22222222222)2,1(na注意注意 计算最后一个积分时计算最后一个积分时,利用了递推公式利用了递推公式Cxxxxdxxxxdx arctan21121121121)1(222222022-12-215 )3(7xxdx dxxxxx)3(33777dxxxxdx )3(3376 )1(10 xxdx )1(1011xxdx )1(10109xxdxx或或 遇到有理函数的积分要灵活处理遇到有理函数的积分要灵活处理2022-12-216 dxxxR)co
8、s,(sintx 2tan令令212sinttx 2211costtx dttdx212 dttR)(1有理函数有理函数万能万能代换代换（二）三角有理函数的积分（二）三角有理函数的积分代数有理函数的积分代数有理函数的积分2022-12-217dxxI cos213求求积积分分例例tx 2tan令令22113121cos2122ttxtt dttdx212 dttI 2312Ct 3arctan32解解Cx )3tanarctan(3222022-12-218 三角函数有理式积分的最常用的方法是用三角函数有理式积分的最常用的方法是用三角恒等式将问题化简三角恒等式将问题化简 nxdxmxcosco
9、s nxdxmxsinsin:1例例 dxxnmxnm)cos()cos(21 dxxnmxnm)cos()cos(21 nxdxmxcossin dxxnmxnm)sin()sin(212022-12-219 xxdxcossin1:2例例 2cos22cos2sin22xxxdxcxxxd|2tan1|ln2tan1)2tan1(xdx2sin:32例例 xxdx22cossin41 dxxxxxxx)csc(sec41cossincossin41222222cxx )cot(tan412022-12-220dxxI 2sin314求求积积分分例例dxxxxI 222tansec3sec
10、xxd2tan43)(tanCx tan32arctan63解解2022-12-221dxxxI cos)sin2(15求积分求积分例例dxxxxxI cos)sin2()cos(sin43122dxxxdxxx sin2cos31cossin231 xxdxxdxdxsin2)sin2(31cos)(cos31cos32Cxxxx sin2ln31cosln31tansecln32解一解一Cxxxx sin2cosln31tansecln322022-12-222 )sin1)(sin2()(sincos)sin2(cos22xxxddxxxxI )(sin1sinsin1sin261213
11、1xdxxx Cxxx sin1ln61sin1ln21sin2ln31Cxxx cos)sin2()sin1(ln312解二解二2022-12-223dxbaxxRn),()1(tbaxn 令令abtxn dttandxn 1 dttR)(1二、简单无理式的积分二、简单无理式的积分代数有理函数的积分代数有理函数的积分2022-12-224dxbaxbaxbaxxRknnn),()2(21 tbaxn 令令的的最最小小公公倍倍数数为为knnnn,21 dttR)(1代数有理函数的积分代数有理函数的积分2022-12-225dxdcxbaxxRn),()3(tdcxbaxn 令令 dttR)(1
12、代数有理函数的积分代数有理函数的积分2022-12-226dxcbxaxxR),()4(2 )04,0(2 acbaduau 221经经配配方方只只要要求求tauduautan22 令令tauduuasin22 令令tausec 2022-12-227dxxxI 153求求积积分分例例则则令令,66txtx 11233 ttxxdttdx56 dxttI 1628dttttt)111(62246 Cxxxxx 66636567arctan315171(6解解Cttttt )arctan357(63572022-12-228dxxxI 32)1)(1(16求求积积分分例例先先将将积积分分化化为为
13、dxxxxI11113 1111333 ttxtxx令令1211113333 ttttxdtttdx232)1(6 解解2022-12-229 dttttdttdttI121111323 2232212122)()()(231)1(211lnttdttttdtdttttt 13)12(211ln2Ctttt 312arctan3)1(1ln2122311 xxt其其中中，2022-12-230 22)1(7xxxdxI求求积积分分例例 22149)()1(xxdxI 24923)(uudutusin23 令令21 xu令令 tttdtcos)1(sincos232323解解2022-12-23
14、1dtt sin1132 dttt2cossin132Ctt )cos1(tan32tu23249u Cuu 2492332Cxxx 22232Cxx 1232 三角形法三角形法2022-12-232等等函函数数下下列列积积分分不不能能表表示示为为初初 xkdxdxxkdxxdxxdxxxdxxxdxxdxxdxxdxex2222223sin1,sin1cos,sincos,sin,sin1,ln1,22022-12-233 dxxfCxFdxxfxfxfdxxx)()()(,)(,)(2)1ln(111求求且且是是它它的的反反函函数数单单调调连连续续设设练习练习2022-12-234以下题目不用笔算立即写出结果以下题目不用笔算立即写出结果dxexx121.1 dueudxxxar 231)sin(.2 duu3 dxxx2.32 udu dxxxsin1.4 udusin2022-12-235 xxdx2costan.7duu 21dxxxx 1arcsin.8 udu dxxx2ln.6 duu 294.5xxdx udu2022-12-236dxxx lnln.9xxxlnlnlnln xdxxexcossin.102sin dueu
