1、第一章第一章 函数与极限函数与极限重点内容：重点内容：定理定理1 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界.定理定理2.)(lim)(lim)(limAxfAxfAxfxxx 且且几个极限不存在的例子几个极限不存在的例子lim,limarctan,limsin.xxxxexx因因,0lim xxe.lim xxe,2arctanlim xx.2arctanlim xx定理定理3.)(lim)(lim00Axfxfxxxx Axfxx)(lim0几个极限不存在的例子几个极限不存在的例子100011lim,limarctan,limsinxxxxexxxy1sin oyx1xey1 因因,0lim10
2、 xxe.lim10 xxe,21arctanlim0 xx.21arctanlim0 xx,)(lim)1(0Axfxx 若若定理定理4(局部保号性局部保号性);0)(0)(,),(0 xfxfxU或或有有内内则在则在),0)(0)(),()2(0 xfxfxU或或内有内有若在若在).0(0 AA或或则则必必有有),0(0 AA或或且且B例例1 2()()lim1,()xaf xf axa 若若则点则点 )(ax （A）是是 的极大值点的极大值点（B）是是 的极小值点的极小值点 （C）是是 的驻点，但不是极值点的驻点，但不是极值点（D）不是不是 的驻点的驻点)(xf)(xf)(xf)(xf定
3、义定义1.极限为零的变量称为极限为零的变量称为无穷小无穷小.无穷小与函数极限的关系无穷小与函数极限的关系定理定理5Axfxx)(lim0.)(0时的无穷小时的无穷小是当是当其中其中xxx),()(xAxf 定理定理6 无穷小与有界函数的乘积是无穷小无穷小与有界函数的乘积是无穷小.,1arctan,1cos1sin22并并判判断断其其类类型型的的间间断断点点或或求求函函数数例例 xxyxxyxxy答案答案.0为为第第一一类类可可去去间间断断点点 x定义定义2.绝对值无限增大的变量称为绝对值无限增大的变量称为无穷大无穷大.定理定理7 在同一过程中在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小无穷大的倒数为无穷
4、小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.无穷小与无穷大的关系无穷小与无穷大的关系定理定理8则则设设,)(lim,)(limBxgAxf 这是因为这是因为.0,)()(lim)3(;)()(lim)2(;)()(lim)1(BBAxgxfBAxgxfBAxgxf其中其中推论推论.0)(lim,0)(lim,)()(lim xfxgAxgxf则则且且若若.00)()()(lim)(lim Axgxgxfxf典型极限典型极限为为非非负负整整数数时时有有和和当当nmba,0,000 00101101,lim0,.mmmnnxnanmba xa xanmb xb xbnm 当当
5、当当当当lim().xxxxx例例3 求求解解limxxxxxxx 3111lim.21111xxxx 原式原式例例4 试确定常数试确定常数 a,使使解解 令令,1xt 则则01 a即即.1 a tatt33011lim0tatt 1lim30301lim30 att3.0)1(lim33 xaxx求求,2112111111nxn .limnnx 解解 即即.25lim nnx因为因为2)1(1211 nnn)1(2 nn,122 nn所以所以 12242323222211nnxn121211 n),(25 n例例5 设设例例6,12lim31bxaxxx 已知已知解解1lim(1)0,xx3
6、1lim(2)0,xxxa,3 a3123lim1xxxbx .5 求常数求常数 a,b.123lim21 xx);,3,2,1()1(nzxynnn,lim,lim)2(azaynnnn 准则准则I 如果数列如果数列 及及 满足下列条件满足下列条件:,nnyxnz.limaxnn 那么数列那么数列 的极限存在的极限存在,且且nx两个极限准则两个极限准则准则准则II 单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限.例例7 求求解解nnnnnnnn 22limsinlim 又又,由由夹逼定理夹逼定理.sin2sin1sinlim222 nnnnn ,1sinsinsin2122 nnknnnnnk n
7、n11lim .sin2sin1sinlim222 nnnnn1lim1sinlim22 nnnnnn ,11lim2 nn,0lim.1高高阶阶的的无无穷穷小小是是比比则则称称如如果果 定义定义3.0,且且穷穷小小是是同同一一过过程程中中的的两两个个无无设设;),0(lim.2是是同同阶阶的的无无穷穷小小与与则则称称如如果果 CC是是与与则则称称如如果果特特殊殊地地，,1lim.),0,0(lim.3无无穷穷小小阶阶的的的的是是则则称称如如果果kkCCk );(o;等等价价无无穷穷小小记作记作记作记作常用等价无穷小常用等价无穷小:,0时时当当 x,sinxx,tanxx,arctanxx,)
8、1ln(xx,1xex,21cos12xx,arcsinxx.ln1axax 定理定理9 (等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理),设设),(lim 或或且且A lim则则 ).(lim 或或A 0 x,cos1)(xA,tansin)(xxB,sin)(xC.)(2xD其它三个更高阶的无穷小其它三个更高阶的无穷小 【】例例8 当当B时时，下面四个函数哪一个是比，下面四个函数哪一个是比)1(costantansin xxxx,212132xxx 解解也可能是连续点也可能是连续点,需要判定需要判定.初等函数无定义的孤立点是初等函数无定义的孤立点是间断点间断点.分段函数的分段点分段函数的分段点可能
9、是间断点可能是间断点,求函数的间断点的方法求函数的间断点的方法间断点的分类间断点的分类.)(),0()0(,)(0000的跳跃间断点的跳跃间断点为函数为函数则称点则称点但但存在存在右极限都右极限都处左处左在点在点如果如果xfxxfxfxxf 1.跳跃间断点跳跃间断点2.可去间断点可去间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.)(,)(),()(lim,)(00000的的可可去去间间断断点点为为函函数数则则称称点点义义处处无无定定在在点点或或但但处处的的极极限限存存在在在在点点如如果果xfxxxfxfAxfxxfxx 3.第二类间断点第二类间断点00
10、(),().f xxxf x如如果果在在点点处处的的左左、右右极极限限至至少少有有一一个个不不存存 在在 则则称称点点为为函函数数的的第第二二类类间间断断点点0,().xf x如如果果左左、右右极极限限中中有有一一个个为为无无穷穷大大 则则称称点点为为函函数数的的无无穷穷间间断断点点1.铅直渐近线铅直渐近线(垂直于垂直于x 轴的渐近线轴的渐近线)(lim)(lim00 xfxfxxxx或或如果如果曲线的渐近线曲线的渐近线.)(0的的一一条条铅铅直直渐渐近近线线就就是是直直线线那那么么xfyxx 2.水平渐近线水平渐近线(平行于平行于x 轴的渐近线轴的渐近线)()(lim)(lim为常数为常数或
11、或如果如果bbxfbxfxx .)(的的一一条条水水平平渐渐近近线线就就是是那那么么直直线线xfyby .,11sin)1sin(1212.911并判断类型并判断类型的间断点的间断点求求例例 xxyxx1sin1lim1sin1lim0)1(2020 yyxxx，处，处，在在，处，处，在在31lim1)2(1 yxx解解.10是间断点是间断点，xx;00为为第第一一类类跳跳跃跃型型间间断断点点所所以以但但不不相相等等，处处的的左左右右极极限限都都存存在在，因因在在 xx.1是可去型间断点是可去型间断点所以所以 x例例10 求求函数函数 的间断点并判断其类型的间断点并判断其类型.11)(1 xx
12、exf0,1xx 为为间间断断点点.11lim)(lim100 xxxxexf )(lim01xfx 又又1 11lim101 xxxe11lim)(lim10101 xxxxexf0.0为为第第二二类类无无穷穷间间断断点点所所以以，x.1为为第第一一类类跳跳跃跃间间断断点点所所以以，x解解例例11 求出曲线求出曲线 xyln1 的水平与铅直渐近线的水平与铅直渐近线.解解,0ln1limlim xyxx是是曲曲线线0 y的一条水平渐近线的一条水平渐近线.,ln1limlim11 xyxx而而 的铅直渐近线的铅直渐近线.是是曲曲线线1 x,0ln1limlim00 xyxx例例12 设函数设函数
13、 解解 ,1lim)(212 nnnxxxxf求出求出 的解析表达式的解析表达式.)(xf 1,1,1,01lim)(212xxxxxxxxxfnnn重要结果重要结果0,1,1lim1,1,1nnqqqqq 不不存存在在例例13 求求.1coslim2nnn 解解 先考虑先考虑.1coslim2xxx 因为因为2211coslnlim1coslnlimxxxxxx 20)ln(coslim1tttxt tttt2cossinlim0 ,21 所以所以,1coslim212 exxx故故.11coslim2ennn .1sin53lim23xxxx 解解 原式原式例例14 计算计算23153li
14、mxxxx .353lim xxx例例15 计算计算.11cos1sin1cos1sinlnlim xxxxx解解 原式原式令令,1ux 则则 1cossincossinlnlim0 uuuuu1ln21limcossin1 tttuut.211lim211 tt例例16 若若解解1 ,512sin)(1lnlim0 xxexxf.)(lim20 xxfx求求,512sin)(1lnlim0 xxexxf),(52sin)(1lnxxxxf ，故故12sin)()(5(xxexxf，12sin)()(5(xxexxf，2)(5(212sin)(xexxxfxx .10)(5(lim212sin
15、lim)(lim02)(5(020 xxxxexxxfxxxxx .0)(lim0 xx 其中其中解解2 xxxfexxfxxx2sin)(lim12sin)(1lnlim00 .10)(lim20 xxfx例例16 若若,512sin)(1lnlim0 xxexxf求求.)(lim20 xxfx2002)(lim2sin)(limxxfxxxfxx ,5)(lim2120 xxfx.132lim2 xxxx解解 132lim2 xxxx,111321lim2 xxxx132lim2 xxxx所以原极限不存在所以原极限不存在.,111321lim2 xxxx例例17 求求定理定理9 初等函数在
16、其初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的.定义区间定义区间是指包含在定义域内的区间是指包含在定义域内的区间.初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法.)(),()(lim000定义区间定义区间 xxfxfxx定理定理10 (零点定理零点定理)设函数设函数 在闭区间在闭区间 a,b上连续，且上连续，且)(xf)(af与与 异号异号(即即 ),0)()(bfaf)(bf那么那么在开区间在开区间(a,b)内至少有函数内至少有函数 的一个零点的一个零点,)(xf.0)(f即至少有一点即至少有一点 使使),(ba 定理定理11 闭区间上连续的函数闭区间上连续的函数,必取得介于最
17、大必取得介于最大值值M 与最小值与最小值m 之间的任何值之间的任何值.,21 aaxxxf 3)(3则函数则函数例例18 设常数设常数 a 满足满足在区间在区间0,1上的零点个数是上的零点个数是()(A)0(B)1(C)2(D)3B 第第二二章章 导数与微分导数与微分.)()(lim)(0000hxfhxfxfh ;)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx ;)()(lim)(0000 xxfxxfxfx 导数导数定义的几种常用形式定义的几种常用形式重点内容：重点内容：2.右导数右导数单侧导数单侧导数1.左导数左导数;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxx
18、fxfxfxxx ;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 处可导处可导在在0)(xxf;,)()(00且且相相等等都都存存在在和和右右导导数数左左导导数数xfxf oxy)(xfy T0 xM处处的的切切线线的的斜斜率率在在点点表表示示曲曲线线)(,()()(000 xfxMxfyxf 切线方程为切线方程为法线方程为法线方程为).)(000 xxxfyy )0)().()(10000 xfxxxfyy.tan)(0为倾角为倾角即即 xf处处在在点点曲曲线线)(,()(00 xfxMxfy 导数的几何意义导数的几何意义)(.0 xfA)(.0 xf
19、B （D）0例例1 设设 在点在点 可导可导,则则0 x hhxfhxfh)3()2(lim000【】)(xf)(5.0 xfC)1(,1,321,)(232 fxxxxxf则则例例A.不存在不存在 B.3 C.2 D.1定理定理1 可导函数都是连续函数可导函数都是连续函数.AC可导的可导的在在可导是可导是在在例例00)()(3xxfxxfA.充分条件充分条件 B.必要条件必要条件C.充分必要条件充分必要条件 D.无因果关系无因果关系 D.023,43423垂直垂直使其与使其与的切线的切线求曲线求曲线例例 yxxxy.3,31023 所所求求切切线线斜斜率率为为的的斜斜率率为为yx解解 .05
20、3)1(3)2(yxxy，即即所所求求切切线线方方程程为为.213632 yxxxy，解解得得令令例例5 设设函数函数 .1,1,12)(2xbaxxxxf解解 1)1()(lim)1(1xfxffx,1)(可导可导在在因因 xxf.1)(连续连续在点在点 xxf),(lim)(lim11xfxfxx .1 ba11lim1 xbaxxa.,1的值的值确定常数确定常数处的可导处的可导在在bax ),1()1(ff由由1112lim1)1()(lim)1(211 xxxfxffxx,1)1)(1(1lim221 xxxx,1 a可得可得.2 b1,06()0.10,0 xxxf xxex 例例
21、研研究究在在处处的的可可导导性性xxxexfxff100110)0()(lim)0(lim ),0()0(ff.)0(不存在不存在f xexxfxffxxx1001lim0)0()(lim)0(011lim10 xxe解解,1 定理定理2且且其其导导数数为为可可导导点点在在则则复复合合函函数数可可导导在在点点而而可可导导在在点点如如果果函函数数,)(,)()(,)(xxfyxuufyxxu 复合函数的求导法则复合函数的求导法则).()(xufdxdy 推广推广),(),(),(xvvuufy 设设的导数为的导数为则复合函数则复合函数)(xfy .dxdvdvdududydxdy .)()(的的
22、情情形形数数多多个个函函数数相相乘乘和和幂幂指指函函xvxu对数求导法对数求导法适用范围适用范围:,)()(间间的的函函数数关关系系与与确确定定若若参参数数方方程程xytytx 由参数方程所确定的函数的导数由参数方程所确定的函数的导数则则,dtdxdtdydxdy.22dtdxdxdydtddxyd 例例7解解21yx 1(2,0).yx 求求过过点点与与曲曲线线相相切切的的直直线线方方程程0201x xKyx 故故所所求求切切线线斜斜率率为为0011(,)yM xxx 设设所所求求切切线线与与曲曲线线切切于于点点001(2,0)(,)M xx而而过过点点与与也也可可写写出出切切线线斜斜率率:
23、00001012(2)xKxxx 200011(2)xxx 由由01,x 解解得得：1(1)yx 故故，所所求求切切线线方方程程为为：20.xy即即：切点为切点为).1,1(例例8 设函数设函数 由参数方程由参数方程 tytxcos12)(xyy 所确定所确定,求求;,)1(22dxyddxdy.lim,lim)2(2211dxyddxdyxx 解解(1)dtdxdtdydxdy,2sintt dtdxdxdydtddxyd 22ttt2sin21 ;4cossin3tttt dxdyx 1lim)2(221limdxydx,212sinlim0 ttt304cossinlimttttt .1
24、2112sinlim20 tttt,112x 例例9 设设解解).0(,),1ln(2yyxxy 求求 11221122xxxxy2212211xxxy ,)1(232xx .0)0(y).1(),(10yxfyyxxy 求求确定了函数确定了函数设设例例，得，得上式两端按隐函数求导上式两端按隐函数求导，时，由原方程得时，由原方程得当当11 yx解解.1)1(11 yyx代入上式，得代入上式，得及及将将,lnln,yxxy 得得方方程程两两端端取取对对数数,ln1lnyyxyxyxy 例例11.21ln2的导数的导数求函数求函数 xxy解解),2ln()1ln(212 xxy21211212 x
25、xxy.2112 xxx例例12.)(sin的导数的导数求函数求函数nxfy 解解)(sinnxfy .cos1 nnnxx例例13解解.),ln(12 xxdyexy求求设设,2122dxexxedxydyxx .1211dxeedyx 罗尔罗尔定理定理:)(满满足足若若函函数数xf(1)在在闭区间闭区间a,b上上连续连续;(2)在在开区间开区间(a,b)内可导内可导;(3),()(bfaf,),(内内至至少少存存在在一一点点则则在在开开区区间间ba使得使得.0)(f第三章第三章 中值定理与导数的应用中值定理与导数的应用利用罗尔定理的关键是构造辅助函数利用罗尔定理的关键是构造辅助函数.重点内
26、容：重点内容：.)(4)()1,0(0)1()2,2()(1 fffxf ，使得，使得求证存在求证存在，内可导，内可导，在在设函数设函数例例上上满满足足罗罗尔尔定定理理条条件件在在故故可可导导在在连连续续，在在，及及，因因1,0)(.)1,0(1,0)(0)1(0)0(xFxFFF ，而而)()(4)(43xfxxfxxF .)(4)(0)()(443 ffff ，即，即即即),()(4xfxxF 令令证证,0)()1,0(F，使，使拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理)().)()()(baabfafbf :)(满足满足若函数若函数xf(1)在在闭区间闭区间a,b上上连续连续;(2)在在开区间开
27、区间(a,b)内可导内可导;,),(内内至至少少存存在在一一点点则则在在开开区区间间ba使得使得；1)(f，)1,0(,.1)()(ff例例2 已知函数已知函数 在在0,1上连续，在上连续，在(0,1)内可导内可导,且且分析分析 第一部分用闭区间上连续函数的介值定理；第一部分用闭区间上连续函数的介值定理；)(xf，1)1(0)0(ff证明：证明：(1)存在存在 使得使得使得使得),1,0(2)存在两个不同的点存在两个不同的点第二部分为双介值问题，需两次使用第二部分为双介值问题，需两次使用拉格朗日中值拉格朗日中值定理定理.证证(1),1)()(xxfxF ),1,0(令令且且 F(0)=-10,
28、于是由于是由介值定理介值定理知，知，,0)(F 使得使得.1)(f即即 则则 F(x)在在0,1上连续，上连续，(2)在在 和和 上对上对 分别应用分别应用拉格朗日中值拉格朗日中值定理定理，,0 1,)(xf),1,(),0(存在两个不同的点存在两个不同的点,0)0()()(fff,1)()1()(fff.1111)(1)()()(ffff使得使得于是于是 ,1,0)2(lim0 bbaxexx解解1,1)1(lim220 xbxaxexx.21,221,122lim0 aaaexx,122lim0 xbaxexx.)1(0,322是是等等价价无无穷穷小小与与时时，的的值值，使使当当求求例例x
29、bxaxexbax 洛必达法则求极限洛必达法则求极限.)1(0,322是是等等价价无无穷穷小小与与时时，的的值值，使使当当求求例例xbxaxexbax ),()1(21)1(222xoxbxabxaxex ,)1(22是是等等价价无无穷穷小小与与因因xbxaxex .1,2101,121 baba，即，即所以所以解解2，有，有由由)(2122xoxxex 例例4解解220231lim.(1)xxxxxeexee 求求20021231limlimxxxxxeexex原原式式0()02043lim2xxxeex 2087lim.22xxxee)1()(1)(2xexxfx 设设1)2(1)(2 x
30、exxf ()0,1)f x 在在内内单单调调减减少少(0,1)0,)0()(xfxf 0,1)()xf x当当时时，单单调调减减少少0(0)(0,1)fxfx时，时，当当即即(1)式成立式成立.证证 04)(2xxexf).10(,112 xxxex例例5 证明不等式证明不等式原不等式等价于原不等式等价于)1(0)1()1(2 xexx).1(aaxaxfx）);(ax例例6 设设(1)求求 的驻点的驻点(2)求求 的极值的极值.)(xf)(ax解解(1),0ln)(aaaxfx令令，即即aaaxlnlnlnln .lnlnln1)(aaax 得得(2),0lnlnln1)(2 aaaax令
31、令.)(eeaax 的的驻驻点点得得.11)(eexe 极极小小值值为为1ln)(12 xxbxxaxf在在?21.,2212极小值极小值处分别取得极大值还是处分别取得极大值还是和和并问在并问在的值的值、试求试求处都取到极值处都取到极值在在 xxbax.)(2,121的驻点的驻点一定是一定是，知，知由极值存在的必要条件由极值存在的必要条件xfxx ,12)(bxxaxf由由解解例例7 设函数设函数 ,0142)2(,012)1(bafbaf有有.61,32 ba解出解出,0)2(,0)1(,3132)(2 ffxxf又又.2121处处取取极极大大值值处处取取极极小小值值，所所以以 xx-2-1
32、123510152025-2-1123-2-112例例8 设函数设函数 在定义域内可导，在定义域内可导，(A)(xf 的图形如右图所示的图形如右图所示则其导函数则其导函数 的图形为的图形为【】()yf x)(xf -2-1123-2-1123-2-1123-22468-2-112324681012(B)（C）（D）A(A)无实根无实根 (B)有且仅有一个实根有且仅有一个实根(C)有且仅有两个实根有且仅有两个实根 (D)有无穷多个实根有无穷多个实根例例9 在区间在区间 内，方程内，方程 0cos4121 xxx解解),(C,cos)(4121xxxxf 设设),0 因因 是偶函数，先讨论是偶函数，先讨论 在在内内根的情况根的情况.)(xf)(xf,01cos2)1(,01)0(ff由由,0sin4121)(4321 xxxxf而而在在(0,1)内内所以所以方程方程 在在(0,1)内有内有一个实根；一个实根；0)(xf,01111cos)(4121 xxxxf当当 x1时，时，故方程故方程 在在 内有惟一内有惟一实根实根.0)(xf),0 因此，原因此，原方程有且仅有两个实根方程有且仅有两个实根.
