1、会计学1中值定理与导数的应用高等数学中值定理与导数的应用高等数学(1)(1)罗尔中值定理罗尔中值定理1.中值定理中值定理罗尔罗尔（R Rolleolle）定理）定理 如果函数如果函数)(xf在闭区间在闭区间 ,ba上连续上连续,在开区间在开区间),(ba内可导内可导,且在区间端点的函数且在区间端点的函数值相等，即值相等，即)()(bfaf,那末在那末在),(ba内至少有一点内至少有一点)(ba ,使得函数使得函数)(xf在该点的导数等于零，在该点的导数等于零，即即0)(f)1()2()3(第1页/共44页拉格朗日拉格朗日（LagrangeLagrange）中值定理）中值定理 如果函数如果函数
2、f(x)在在闭区间闭区间,ba上连续上连续,在开区间在开区间),(ba内可导内可导,那末在那末在),(ba内至少有一点内至少有一点)(ba ，使等式，使等式 )()()(abfafbf 成立成立.)1()2().()()(fabafbf结论亦可写成结论亦可写成第2页/共44页推论推论1 如果函数如果函数f(x)在区间在区间(a,b)内的导数恒为零，内的导数恒为零，则则f(x)在区间在区间(a,b)内是一个常数内是一个常数.推论推论2 如果在区间如果在区间(a,b)内内,则则 f(x)=g(x)+C（C为常数）为常数）.()()fxg x第3页/共44页)(xf及(1)在闭区间 a,b 上连续(
3、2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内至少存在一点,),(ba使.)()()()()()(FfaFbFafbf满足:)(xF0)(xF目录上页下页结束返回注意：注意：若令F(x)=x，则柯西中值定理变为拉氏中值定理，即拉氏定理是柯西中值定理的特殊情况。第4页/共44页2 2、罗必塔法则、罗必塔法则定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为罗必塔法则求极限来确定未定式的值的方法称为罗必塔法则.0(1).0型及型未定式00(2).0,0,1,型未定式关键关键:将其它类型未定式化为罗必塔法则可解决将其它类型未
4、定式化为罗必塔法则可解决的类型的类型 .),00()(第5页/共44页.)()(lim)()(lim);()()(lim)3(;0)()()(),()2(;)()(,0)1(xFxfxFxfxFxfxFxFxfaaxFxfxaxaxax 那末那末或为无穷大或为无穷大存在存在都存在且都存在且及及本身可以除外本身可以除外点点点的某领域内点的某领域内在在都趋于零都趋于零及及函数函数时时当当设设定理定理定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为罗必塔法再求极限来确定未定式的值的方法称为罗必塔法则则.,该法则仍然成立该法则仍然成立
5、时时以及以及时时当当 xaxx第6页/共44页00(2).0,0,1,型未定式解法,10 .0100 或或0101 .0000 ln01ln0ln01000取对数取对数.0 第7页/共44页注意：注意：1.1.罗必塔法则是求极限的一种有效方法，但与其它方罗必塔法则是求极限的一种有效方法，但与其它方 法结合使用法结合使用(比如无穷小因子替换比如无穷小因子替换)，效果更好，效果更好.2.2.罗必塔法则的条件是充分非必要的，要注意使用的罗必塔法则的条件是充分非必要的，要注意使用的 条件条件3.3.用罗必塔法则可连续用，但要步步检查，步步整理用罗必塔法则可连续用，但要步步检查，步步整理 （如约去公因子
6、，（如约去公因子，提出有确定极限的因子提出有确定极限的因子）第8页/共44页3 3、函数的单调性与极值、函数的单调性与极值定理定理.,)(0)(),(2,)(0)(),(1.),(,)(00上单调减少上单调减少在在，那末函数，那末函数内内如果在如果在上单调增加；上单调增加；在在，那末函数，那末函数内内如果在如果在可导可导内内上连续，在上连续，在在在设函数设函数baxfyxfbabaxfyxfbababaxfy (1)函数单调性的判定法函数单调性的判定法第9页/共44页.)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(000000000的一个极小值的一个极小值是函数是函数就称就称均成
7、立均成立外外除了点除了点任何点任何点对于这邻域内的对于这邻域内的的一个邻域的一个邻域如果存在着点如果存在着点的一个极大值的一个极大值是函数是函数就称就称均成立均成立外外除了点除了点任何点任何点对于这邻域内的对于这邻域内的的一个邻域的一个邻域如果存在着点如果存在着点的一个点的一个点内内是是内有定义内有定义在区间在区间设函数设函数xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf 定义定义(2)函数的极值及其求法函数的极值及其求法函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.第10页/共44页 设设)(xf在点在点0
8、 x处具有导数处具有导数,且且在在0 x处取得极值处取得极值,那末必定那末必定0)(0 xf.定理定理(必要条件必要条件)定义定义.)()0)(的驻点的驻点做函数做函数叫叫的实根的实根即方程即方程使导数为零的点使导数为零的点xfxf 可能极值点：驻点和不可导点可能极值点：驻点和不可导点.（单调区间的（单调区间的分界点）分界点）.,)(是极值点是极值点但函数的驻点却不一定但函数的驻点却不一定点点的极值点必定是它的驻的极值点必定是它的驻可导函数可导函数xf注意：注意：极值点可以是不可导点。极值点可以是不可导点。第11页/共44页(1)如果如果),(00 xxx 有有;0)(xf而而),(00 xx
9、x,有有0)(xf，则，则)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值.(2)如果如果),(00 xxx 有有;0)(xf而而),(00 xxx 有有0)(xf，则，则)(xf在在0 x处取得极小值处取得极小值.(3)如果当如果当),(00 xxx 及及),(00 xxx时时,)(xf符符 号相同号相同,则则)(xf在在0 x处无极值处无极值.极值的第一判别法极值的第一判别法 设设)(xf在在0 x处具有二阶导数处具有二阶导数,且且0)(0 xf,0)(0 xf,那末那末(1)当当0)(0 xf时时,函数函数)(xf在在0 x处取得极大值处取得极大值;(2)当当0)(0 xf时时,函数函数)(x
10、f在在0 x处取得极小值处取得极小值.极值的第二判别法极值的第二判别法第12页/共44页()fx（1 1）确定函数的定义域，求出导数）确定函数的定义域，求出导数（2 2）求出导数等于）求出导数等于0 0（驻点）和导数不存在的点（驻点）和导数不存在的点()fx（3 3）根据（）根据（2 2）中的点将定义域分成若干个区间，）中的点将定义域分成若干个区间，并确定并确定 在每个区间的符号在每个区间的符号（4 4）判断（）判断（2 2）中的点是否是极值点，是极大值）中的点是否是极值点，是极大值还是极小值还是极小值第13页/共44页（1）闭区间）闭区间a,b 上的连续上的连续函数函数：在在 a,b 上连续
11、的函数上连续的函数 f(x)，一定存在最大值和，一定存在最大值和最小值最小值.这时这时 f(x)在在 a,b 上的最大值点和最小值上的最大值点和最小值点一定是区间的端点或可能极值点点一定是区间的端点或可能极值点.求法如下：求法如下：（比较法）（比较法）4.函数的最大值、最小值及其应用函数的最大值、最小值及其应用第14页/共44页 f(x)在一个区间内可导且只有一个驻点在一个区间内可导且只有一个驻点x0，并且，并且这个驻点这个驻点x0是函数是函数f(x)的极值点，那么，当的极值点，那么，当f(x0)是极是极值时值时 f(x0)就是就是f(x)在该区间上的最值；在该区间上的最值；（2）任意区间（包
12、括无穷区间）上连续）任意区间（包括无穷区间）上连续函数函数，有唯一驻点且为极值点有唯一驻点且为极值点单峰曲线单谷曲线转化法（两个条件）转化法（两个条件）第15页/共44页 （3）实际问题中，往往根据问题的性质可以）实际问题中，往往根据问题的性质可以断定可导函数断定可导函数f(x)确有最值，而且一定在定义区间确有最值，而且一定在定义区间内部取得内部取得.这时如果这时如果f(x)在定义区间内部只有一个在定义区间内部只有一个驻点驻点x0，那么不需要判断，那么不需要判断f(x0)是不是极值点是不是极值点,就就可以断定可以断定f(x0)是最值是最值.实际问题求最值实际问题求最值:(1)列出目标函数，并确
13、定其定义列出目标函数，并确定其定义域域;(2)求出目标函数在其定义域内的驻点求出目标函数在其定义域内的驻点;小）值小）值值即为所求的最（或最值即为所求的最（或最点，则该点的函数点，则该点的函数若目标函数只有唯一驻若目标函数只有唯一驻（3）第16页/共44页（1）曲线的凹凸性的定义）曲线的凹凸性的定义 5.曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点第17页/共44页定理定理;,)(,0)()2(;,)(,0)()1(),(,),(,)(上的图形是凸的上的图形是凸的在在则则上的图形是凹的上的图形是凹的在在则则内内若在若在导数导数内具有二阶内具有二阶在在上连续上连续在在如果如果baxfxfbaxfxfbaba
14、baxf （3）凹凸性的判定方法）凹凸性的判定方法连续曲线上凹凸的分界点称为连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点曲线的拐点.（2 2）拐点）拐点定理定理 如果如果)(xf在在),(00 xx内存在二阶导内存在二阶导数数,则 点则 点 )(,00 xfx是 拐 点 的 必 要 条 件 是是 拐 点 的 必 要 条 件 是0)(0 xf.第18页/共44页()()fxfx和（1 1）确定函数的定义域确定函数的定义域，求出导求出导数数（2 2）求出二阶导数等于）求出二阶导数等于0 0和二阶导数不存在的点和二阶导数不存在的点()fx（3 3）根据（）根据（2 2）中的点将定义域分成若干个区间，）中的点
15、将定义域分成若干个区间，并确定并确定 在每个区间的符号在每个区间的符号（4 4）判断：）判断：()0()0fxfx当时，凹 当时，凸000(),(,();xfxxf x当 两近旁变号 点即为拐点000(),(,().xfxxf x当两近旁不变号 点不是拐点第19页/共44页第20页/共44页例例2 2).11(2arccosarcsin xxx证明证明证证()arcsinarccos,(1,1)f xxxx 设)11(11)(22xxxf .0(),(1,1)f xCx 0arccos0arcsin)0(f又又20 ,2 .2 C即即arcsinarccos(11).2xxx(1)(1)2ff
16、又第21页/共44页例例3.3.证明：证明：yxyxsinsin证明：设证明：设 ttfsin，在区间，在区间yx,上应用拉格朗日中值定理，有上应用拉格朗日中值定理，有yx,使得使得yxyxcossinsin因此，因此，sinsincosxyxyxy第22页/共44页()yf x()0,()0,fxfx()(),(),yf xxf x dyfx dx 0 x.0A ydy.0Dydy.0C dyy .0B dyy 例例4.4.设函数设函数二阶可导二阶可导,且且又又则当则当时，有时，有第23页/共44页例例5 求求.sinlim30 xxxx解解)()sin(limsinlim3030 xxxx
17、xxxx.616sinlim3cos1lim020 xxxxxx)00(第24页/共44页0lnsinlim.lnxxx00lnsincos/sinlimlimln1/xxxxxxx0limcos1.sinxxxx例例6 求求解：此极限为解：此极限为第25页/共44页例例7 7解：此极限为解：此极限为.1arctan2limxxx 求求22111limxxx 原式原式221limxxx .1)00(第26页/共44页例例8 8解解.tantanlim20 xxxxx 求求30tanlimxxxx 原式原式xxxx6tansec2lim20 22031seclimxxx xxxtanlim310
18、.31 第27页/共44页xxxxxxxxcos1cos1lim)sin()sin(lim.1sin1sin1limsinsinlimxxxxxxxxxx.sinsinlimxxxxx例例 9 9 计算计算解解 因为因为不满足罗必塔法则的条件，所以不能应用罗必塔法则不满足罗必塔法则的条件，所以不能应用罗必塔法则.不存在，不存在，第28页/共44页例例1010解：此极限为解：此极限为.lim2xxex 求求)0(2limxxe.2limxxex原式lim2xxex第29页/共44页)(解：此极限为解：此极限为)1(1lim)111(lim00 xxxxxexxeex xxxxxxxxxxeeee
19、xeee00lim11lim00002121lim0 xx)111(lim0 xxex例例11.11.求求第30页/共44页例例1212解：此极限为解：此极限为.lim0 xxx 求求)0(0 xxxeln0lim 原式原式xxxelnlim0 2011limxxxe 10 exxxe1lnlim0 第31页/共44页例例1313解：此极限为解：此极限为.lim111xxx 求求)1(xxxeln111lim 原式原式xxxe 1lnlim111lim1 xxe1 e第32页/共44页例例1414解解.)(cotlimln10 xxx 求求)(0 11ln(cot)lnln(cot),xxxx
20、e)ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0 ,1 .1 e原式原式第33页/共44页例例151532()23.f xxx求出函数的单调区间和极值解解 定义域为定义域为(-,+)，13()22(0)fxxx，令令0)(xf1.x 得驻点0,().xfx当时不存在0()xf x即时是的不可导点。x)1,(0,)(1,0)1 0)(xf )(xf 0不存在 极大值极大值极小值极小值单调区间为单调区间为，00,11,(0)f极小值0.)1(f极大值极大值1,第34页/共44页例例16.16.试问试问a a为何值时，函数为何值时，函数 xx
21、axf3sin31sin)(在在3x处取得极值？它是极大值还是极小值？处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值。并求此极值。第35页/共44页例例1717证证.)1ln(,0成立成立试证试证时时当当xxx ),1ln()(xxxf 设设.1)(xxxf 则则,0)(),0(,),0)(xfxf可导，可导，且且上连续上连续在在上单调增加；上单调增加；在在),0,0)0(f时，时，当当0 x,0)1ln(xx).1ln(xx 即即第36页/共44页例例18 求函数求函数y=f(x)=2x3+3x2-12x+14在在-3,4上的最大值与最小值上的最大值与最小值.解方程解方程 f(x)=0，得到，
22、得到x1=-2,x2=1,由于由于解解 f(x)=6x2+6x-12=6(x+2)(x-1).f(-3)=23；f(-2)=34；f(1)=7；f(4)=142,比较可得比较可得 f(x)在在x=4处取得它在处取得它在-3,4上的最大值上的最大值f(4)=142，在在 x=1处取得处取得它在它在-3,4上的最小值上的最小值f(1)=7.第37页/共44页2020221:()0,2121()0,2121(),0,21xxtI xdttttI xdtttxI xxxx 解 由于在上可导,故在上连续,且,()0,xI x12当=时2021:()0,2.1xtI xdttt 例题 求在上的最大值与最小
23、值第38页/共44页11222122200211()(1)11tIdtd tttttt 而122340ln1lntt 02021(0)0,1tIdttt 22201(2)(1)1Id tttt 220ln1ln3tt 123()ln,2ln3.4I xxx故在处取得最小值在处取得最大值第39页/共44页()2(),0.S xx axxa()0,2aS xx令得，(0,)2aax 因此，在内惟一的驻点()24,S xax.2时，水槽的流量最大当两边各折起即，a解解 设两边各折起设两边各折起 x,则则横截面的面积为横截面的面积为从而从而x=a/2就是最大值点，就是最大值点，此时此时S(x)为函数最
24、大值。为函数最大值。依题意知必存在最大值，依题意知必存在最大值，第40页/共44页例例21 求曲线求曲线 y=2x3+3x2-12x+14的拐点的拐点.2112612,12662 xxyxxy解解方程解方程 y=0，得，得21x110;0.22xyxy 当时，当时，因此，因此，112022点（，）是曲线的拐点。是曲线的拐点。第41页/共44页例例222243341.yxx求曲线的拐点及凹、凸的区间解解),(:D,121223xxy ).32(36 xxy,0 y令令.32,021 xx得得x)0,(2(,)32(0,)3023)(xf )(xf 00凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点)1,0()2711,32(拐点：拐点：)1,0(2 11(,)3 27,32,320,0,，凹凸区间：凹凸区间：第42页/共44页,)4(92,)4(313532 xyxy.4是二阶导数不存在的点x,0)4-(y内，因为在,0),4(y内，在,4），曲线的凹区间是（所以，）是曲线的拐点，点（24,4），曲线的凸区间是（31)4(2xy例例23 23 求曲线求曲线的凹凸区间和拐点的凹凸区间和拐点.第43页/共44页
