1、2.1 同余及其基本性质同余及其基本性质人教B版数学选修4-6初等数论初步 同余是数论中一个基本概念,它的基本概念与记号都是伟大的数学家高斯引进的.它的引人简化了数论中的许多问题.本章着重讨论同余的概念及其基本性质，完全剩余系和简化剩余系，两个重要定理（欧拉定理和费马小定理）及其应用 定义定义1 给定一正整数给定一正整数m（模）模）,若用若用m去去除两个整数除两个整数a和和b所得余数相同所得余数相同,则称则称a 与与b对模对模m同余同余,记作记作a b(mod m);若余数若余数不同不同,则称则称 a 与与b对模对模m不同余不同余,记作记作a b(mod m).定义定义2若若m|(a-b),则
2、称则称a与与b对模对模m同余同余.定义定义3若若a=mq+b,则称则称a与与b对模对模m同余同余.显然，显然，a 0(mod m)等价于等价于 m|a.由同余的定义由同余的定义,可得下列性质可得下列性质:（1）自反性）自反性:a a(mod m).（2）对称性对称性:若若a b(mod m),则则 b a(mod m).（3）传递性传递性:若若a b(mod m),b c(mod m),则则a c(mod m).同余的性质同余的性质 若若a1 b1(mod m),a2 b2(mod m),则则:（4）a1+a2 b1+b2(mod m).推论：若推论：若a+b c(mod m),则则a c-b
3、(mod m)（5）a1 a2 b1b2(mod m).推论推论()若若a b(mod m)，则则ak bk(mod m)，其中其中k为整数为整数.推论推论()若若a b(mod m)，则则 an bn(mod m),其中其中 n为自然数为自然数.（7）若）若 ac bc(mod m),(m,c)=d,则则 a b(mod m/d).特别地，当特别地，当(m,c)=1时，有时，有a b(mod m).（8）若）若a b(mod m)，则则ak bk(mod mk)，其中其中k为大于零的整数；为大于零的整数；若若a b(mod m)，d为为a,b及及 m的任一正公约数的任一正公约数,则则 a/d
4、 b/d(mod(m/d).（9）a b(mod mi),(1in),则则a b(mod m1,m2,mn).（10）若若a b(mod m),且且d|m,则则 a b(modd).思考题：思考题：1、整数、整数a是偶数的同余式为是偶数的同余式为().2、整数、整数a是偶数但不能被是偶数但不能被4整除，则其同余式整除，则其同余式为为().3、已知、已知a 5(mod6)，则，则a被被3除余除余().4、已知、已知a 3(mod4)，那么，那么2a+1被被4除余除余().例题例1 有一个大于1的整数，它除300，262，205所得的余数相同，求这个数。例2 有兵200余不足300，若1至3报数，
5、最后一人报数为2，若1至5报数，最后一人报数为2，若1至7报数，最后一人报数也为2。问这一队士兵有多少人？例3 某天是星期一，从这天后第22012天是星期几？例4 分别求3406的个位数字和72012的末两位数字.例5 证明：641|225+1 （欧拉证明了费马数F5不是素数）例6 （1）求使2n-1能被7整除的一切正整数n；（2）证明：没有正整数n使2n+1能被7整除.自主学习自主学习特殊数的整除特征特殊数的整除特征定理定理 正整数a能被9整除的特征是 a的数字和能被 9整除.指出：同理可得到被2（或5）、4（或25）、8（或125）、3（或9）、11等数整除的特征.试证：（1）正整数正整数
6、a a能被能被1111整除特征是整除特征是a a的奇数位数字和与偶数的奇数位数字和与偶数位数字和的差能被位数字和的差能被1111整除整除.（2）正整数正整数a a能被能被1111整除特征是整除特征是a a 的的末三位数与末三位末三位数与末三位数之前的数之差能被数之前的数之差能被1111整除整除.（同理可证同理可证7 7与与1313也有类也有类似特征）似特征）自主学习自主学习定理定理 (弃九法弃九法)若若ab=c,其中其中a0,b0,并且并且,则则:.可见,若 ,则可判断乘积ab=c是错误的,这即是弃九法之原则：“弃九余不等，计算有问题”.,100miiiaa,100njjjbbpkkkcc01
7、0)9)(mod()(000pkknjjmiiCba)9)(mod()(000pkknjjmiiCba自主学习自主学习例8 求证 199757113828.证明证明 由于199719978(mod 9)57 57 3(mod 9)113828 l+1+3+8+2+8 5(mod 9)但是,83=24,而245(mod 9),得证.注意：使用弃九法时，若 也未必肯定原计算是无误的.例如,：199757=113829,但有人计算结果是113838，由弃九法可得 24 6(mod 9),显然,错误未验证出来.)9)(mod()(000pkknjjmiiCba费马数 当 时，总是素数吗？这个问题是费马在1640年给梅森的信中宣布的一个猜想。很容易能证明，前5个费马数都是素数。到了1732年，数学家欧拉发现下一个费马数不是素数，从而否定了费马的猜想。,3,2,1,0n122nnF判断题：判断题：1、若若a b(mod m),k为自然数，为自然数，则则ka kb(mod m),ka kb(mod km).反之呢？反之呢？2、若、若a b(mod m),则则a2 b2(mod m).反之，若反之，若a2 b2(mod m)，则则a b(mod m)The End
