1、1.1 正弦定理正弦定理必修5第二章:解三角形永丰中学 陈保进知识回顾知识回顾1 1、三角形中三个角有什么关系？、三角形中三个角有什么关系？边之间又有什么关系？边之间又有什么关系？2 2、三角形中边与角之间的关系是、三角形中边与角之间的关系是怎样的？怎样的？能否得到三角形边与角之间准确量化的能否得到三角形边与角之间准确量化的关系？关系？大边对大角，大角对大边大边对大角，大角对大边A+B+C=180A+B+C=180首先回忆直角三角形的边角数量关系首先回忆直角三角形的边角数量关系 ABCcba定理的推导定理的推导如图如图,用用a,b,c分别表示分别表示A,B,C的对边的对边,sincaA,sin
2、cbB cBbAasinsin1sinCCcBbAasinsinsin(1)当当 是锐角三角形时是锐角三角形时,结论是否还成立呢结论是否还成立呢?ABC D如图如图:作AB上的高CD,得到BACabcE定理的推导定理的推导BbCsinsinc得到同理作BC边上的高AE,aCDB sin，bCDAsin,sincAEB bAEC sinCbBcsinsinBaAbsinsinAaBbsinsin得到(2)当当 是钝角三角形时是钝角三角形时,以上等式是否成立以上等式是否成立?ABCBACbcaD定理的推导定理的推导课后阅读课本课后阅读课本p45用向量法证明该等式用向量法证明该等式变形公式变形公式:
3、正弦定理正弦定理 在一个三角形中在一个三角形中,各边和它所对角的各边和它所对角的正弦正弦的比相等的比相等,即即；BAbasinsin)1(CBAcbasin:sin:sin:)2(；CBcbsinsinCAcasinsin定理的理解定理的理解CcBbAasinsinsin 结构特点：结构特点：和谐美、对称美和谐美、对称美.CcBbAasinsinsin 解三角形解三角形:已知三角形的几个元素求其他元素的过程已知三角形的几个元素求其他元素的过程可以解决一些可以解决一些什么什么问题？问题？正弦定理正弦定理 在一个三角形中在一个三角形中,各边和它所对角的各边和它所对角的正弦的比相等正弦的比相等,即即
4、定理的理解定理的理解（2 2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角,从而进一步求出其它的边和角从而进一步求出其它的边和角.（1 1）已知两角和任一边，求其它两边和一角；）已知两角和任一边，求其它两边和一角；定量定量地反映了三角形中边与角之间的关系地反映了三角形中边与角之间的关系例例1 1：在：在ABCABC中中,已知已知c=10,A=45c=10,A=45,C=30,C=30,求求a,ba,b例题讲解解:由 CcAasinsin30sin1045sina得 210aBbCcsinsin105sin30sin10b得 由）（625b105180ACB
5、而变式训练变式变式1:1:在在ABCABC中中,已知已知b=10,A=45b=10,A=45,C=75,C=75,求求a a3610a60180CAB解:AaBbsinsin由45sin60sin10a得例题讲解解：由 BbAasinsin45sin24sin4A abab A45A180排除排除150 变式训练解：由 BbAasinsin45sin24sin34A得，23sinAA=60或120变式变式1:1:在在ABCABC中中,已知已知a=,b=,B=45a=,b=,B=45,求求A A24 ab A45 A=60或120 变式训练变式变式2 2：在：在ABCABC中中,已知已知a=a=
6、8 8,b=,B=45,b=,B=45,求求A A24解：由 BbAasinsin45sin24sin8A得 1sin A（满足大边对大角）A=90变式训练变式变式3 3：在：在ABCABC中中,已知已知a=a=1010,b=,B=45,b=,B=45,求求A A24解：由 BbAasinsin得，45sinA这与 矛盾45sin24sin10A1sin AA不存在，无解例例2:2:在在ABCABC中中,已知已知a=4,b=,B=45a=4,b=,B=45,求求A A24变式变式1:1:在在ABCABC中中,已知已知a=,b=,B=45a=,b=,B=45,求求A A24变式变式2:2:在在A
7、BCABC中中,已知已知a=a=8 8,b=,B=45,b=,B=45,求求A A24变式变式3:3:在在ABCABC中中,已知已知a=a=1010,b=,B=45,b=,B=45,求求A A24 归纳：已知两边和其中一边的对角，求其他角和边，此时可能有一解、两解、无解，一个解一个解两个解两个解一个解一个解无解无解你发现了什么 要结合大边对大角定理（或内角和定理）和正弦函数的有界性判断解的个数。课堂小结 (1)已知两角及任意一边，可以求其他两边和另一角；(2)已知两边和其中一边的对角，可以求其他的边和角。(此时可能有一解、二解、无解）此时可能有一解、二解、无解）1、正弦定理及其推导2、主要应用
8、：解三角形 CcBbAasinsinsin1、在ABC中,若A:B:C=1:2:3，则 a:b:c()A.1:2:3 B.3:2:1 C.1:2 D、2:1332、在ABC中,若 a=2bsinA,则B()3 A.60 B.30 C.60或120 D.30或150反馈练习CC3、ABC中,若ABC有两个解，则 取值范围是()45,2,Bbxa),2.(A)2,0.(B)22,2.(C)2,2.(DxC在我的印象里，他一直努力而自知，每天从食堂吃饭后，他总是习惯性地回到办公室看厚厚的专业书不断提升和充实自己，他的身上有九零后少见的沉稳。同事们恭喜他，大多看到了他的前程似锦，却很少有人懂得他曾经付
9、出过什么。就像说的：“如果这世上真有奇迹，那只是努力的另一个名字，生命中最难的阶段，不是没有人懂你，而是你不懂自已。”而他的奇迹，是努力给了挑选的机会。伊索寓言中，饥饿的狐狸想找一些可口的食物，但只找到了一个酸柠檬，它说，这只柠檬是甜的，正是我想吃的。这种只能得到柠檬，就说柠檬是甜的自我安慰现象被称为：“甜柠檬效应”。一如很多人不甘平庸，却又大多安于现状，大多原因是不知该如何改变。看时，每个人都能从角色中看到自已。高冷孤独的安迪，独立纠结的樊胜美，乐观自强的邱莹莹，文静内敛的关睢尔，古怪精灵的曲筱绡。她们努力地在城市里打拼，拥有幸或不幸。但她依然保持学习的习惯，这样无论什么事她都有最准确的判断
10、和认知；樊胜美虽然虚荣自私，但她努力做一个好HR，换了新工作后也是拼命争取业绩；小蚯蚓虽没有高学历，却为了多卖几包咖啡绞尽脑汁；关睢尔每一次出镜几乎都是在房间里戴着耳机听课，处理文件；就连那个嬉皮的曲筱潇也会在新年之际为了一单生意飞到境外其实她们有很多路可以走：嫁人，啃老，安于现状。但每个人都像个负重的蜗牛一样缓缓前行，为了心中那丁点儿理想拼命努力。今天的努力或许不能决定明天的未来，但至少可以为明天积累，否则哪来那么多的厚积薄发和大器晚成？身边经常有人抱怨生活不幸福，上司太刁，同事太蛮，公司格局又不大，但却不想改变。还说：“改变干嘛？这个年龄了谁还能再看书考试，混一天是一天吧。”一个“混”字就
11、解释了他的生活态度。前几天我联系一位朋友，质问为什么好久不联系我？她说自已每天累的像一条狗，我问她为什么那么拼？她笑：“如果不努力我就活得像一条狗了。”恩，新换的上司，海归，虽然她有了磨合几任领导的经验，但这个给她带来了压力。她的英语不好，有时批阅文件全是大段大段的英文，她心里很怄火，埋怨好好的中国人，出了几天国门弄得自己像个洋鬼子似的。上司也不舒服，流露出了嫌弃她的意思，甚至在一次交待完工作后建议她是否要调一个合适的部门？她的脸红到了脖子，想着自己怎么也算是老员工，由她羞辱？两个人很不愉快。但她有一股子倔劲，不服输，将近40岁的人了，开始拿出发狠的学习态度，报了个英语培训班。回家后捧着英文书
12、死啃，每天要求上中学的女儿和自己英语对话，连看电影也是英文版的。功夫不负有心人，当听力渐渐能跟得上上司的语速，并流利回复，又拿出漂亮的英文版方案，新上司看她的眼光也从挑剔变柔和，某天悄悄放了几本英文书在她桌上，心里突然发现上司并没那么讨厌。心态好了，她才发现新上司的优秀，自从她来了后，部门业绩翻了又翻，奖金也拿到手软，自己也感觉痛快。她说：这个社会很功利，但也很公平。别人的傲慢一定有理由，如果想和平共处，需要同等的段位，而这个段位，自己可能需要更多精力，但唯有不断付出，才有可能和优秀的人比肩而立。人为什么要努力？一位长者告诉我：“适者生存。”这个社会讲究适者生存，优胜劣汰。虽然也有潜规则，有套
13、路和看不见的沟沟坎坎，但一直努力的人总会守得云开见月明。有些人明明很成功了，但还是很拼。比如剧中的安迪，她光环笼罩，商场大鳄是她的男闺蜜，不离左右，富二代待她小心呵护，视若明珠，加上她走路带风，职场攻势凌历，优秀得让身边人仰视。这样优秀的人，不管多忙，每天都要抽出两个小时来学习。她的学习不是目的，而是能量，能让未来的自己比过去更好一些。现实生活中，努力真的重要，它能改变一个人的成长轨迹，甚至决定人生成败。有一句鸡汤：不着急，你想要的，岁月都会给你。其实，岁月只能给你风尘满面，而希望，唯有努力才能得到！9、懂得如何避开问题的人，胜过知道怎样解决问题的人。在这个世界上，不知道怎么办的时候，就选择学
14、习，也许是最佳选择。胜出者往往不是能力而是观念！在家里看到的永远是家，走出去看到的才是世界。把钱放在眼前，看到的永远是钱，把钱放在有用的地方，看到的是金钱的世界。给人金钱是下策，给人能力是中策，给人观念是上策。财富买不来好观念，好观念能换来亿万财富。世界上最大的市场，是在人的脑海里！要用行动控制情绪，不要让情绪控制行动；要让心灵启迪智慧，不能让耳朵支配心灵。人与人之间的差别，主要差在两耳之间的那块地方！人无远虑，必有近忧。人好的时候要找一条备胎，人不好的时候要找一条退路；人得意的时候要找一条退路，人失意的时候要找一条出路！孩子贫穷是与父母的有一定的关系，因为他小的时候，父母没给他足够正确的人生
15、观。家长的观念是孩子人生的起跑线！有什么信念，就选择什么态度；有什么态度，就会有什么行为；有什么行为，就产生什么结果。要想结果变得好，必须选择好的信念。播下一个行动，收获一种习惯；播下一种习惯，收获一种性格；播下一种性格，收获一种命运。思想会变成语言，语言会变成行动，行动会变成习惯，习惯会变成性格。性格会影响人生！习惯不加以抑制，会变成生活的必需品，不良的习惯随时改变人生走向。人往往难以改变习惯，因为造习惯的就是自己，结果人又成为习惯的奴隶！人生重要的不是你从哪里来，而是你到哪里去。当你在埋头工作的时侯，一定要抬头看看你去的方向。方向不对，努力白费！你来自何处并不重要，重要的是你要去往何方，人
16、生最重要的不是所站的位置，而是所去的方向。人只要不失去方向，就永远不会失去自己！这个世界唯一不变的真理就是变化，任何优势都是暂时的。当你在占有这个优势时，必须争取主动，再占据下一个优势，这需要前瞻的决断力，需要的是智慧！惟一能移山的方法就是：山不过来，我就过去。人生最聪明的态度就是：改变可以改变的一切，适应不能改变的一切！是产生在人的思想里。你没找到路，不等于没有路，你想知道将来要得到什么，你必须知道现在应该先放弃什么！把人抛入最低谷时，往往是人生转折的最佳期。谁能积累能量，谁就能获得回报；谁若自怨自艾，必会坐失良机！人人都有两个门：一个是家门，成长的地方；一个是心门，成功的地方。能赶走门中的小人，就会唤醒心中的巨人！要想事情改变，首先自己改变，只有自己改变，才可改变世界。人最大的敌人不是别人，而是自己，只有战胜自己，才能战胜困难！
