1、3.1.33.1.3二倍角的正弦、余弦、二倍角的正弦、余弦、正切公式正切公式2.4.3平面向量的数量积第三课时 坐标运算3.1.33.1.3二倍角的正弦、余弦、二倍角的正弦、余弦、正切公式正切公式 本节课的主要内容是平面向量数量积的定义及几何意义、平面向量数量积的5个重要性质。平面向量数量积是本章最重要的内容，一是这部分知识本身就十分重要，二是因为它应用广泛，在处理长度、角度、垂直关系中，都离不开模的计算、夹角余弦值的计算等，特别是在处理几何有关垂直的问题时，显得更为简捷巧妙，是用数来解决形的问题的最好实例。3.1.33.1.3二倍角的正弦、余弦、二倍角的正弦、余弦、正切公式正切公式1掌握平面
2、向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算2掌握向量垂直的坐标表示、夹角的坐标表示、模的坐标表示及平面两点间的距离公式3.1.33.1.3二倍角的正弦、余弦、二倍角的正弦、余弦、正切公式正切公式1、数量积的定义：、数量积的定义：|cosa bab 2、投影：、投影：|cosb 叫做叫做ba在在 方方向向上上的的投投影影BB1OAab|cosb 3.1.33.1.3二倍角的正弦、余弦、二倍角的正弦、余弦、正切公式正切公式(3)|.()aba ba baba babaaa bab若若与与同同 向向,若若与与向向,填填或或 反 (1 1)(2 2)|aa a 0|a b|a b 2|a证明
3、向量证明向量垂直的依据垂直的依据3.数量积的性质数量积的性质_cos)4(a ba b 3.1.33.1.3二倍角的正弦、余弦、二倍角的正弦、余弦、正切公式正切公式3.平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的坐标表示，对向量的加、减、数乘运算带来了很大的方便.若已知向量 与 的坐标，则其数量积是唯一确定的，因此，如何用坐标表示向量的数量积就成为我们需要研究的课题.ab3.1.33.1.3二倍角的正弦、余弦、二倍角的正弦、余弦、正切公式正切公式一、平面向量数量积的坐标表示一、平面向量数量积的坐标表示如图，是如图，是x轴上的单位向量，是轴上的单位向量，是y轴上的单位向量，轴上的单位向量，ijco
4、s,a bab x ijy o ii jjijji .1 1 0 因为因为所以所以3.1.33.1.3二倍角的正弦、余弦、二倍角的正弦、余弦、正切公式正切公式i jxy设，分别为与 轴和 轴方向相同的单位向量，则jyixa11 jyixb22 ）（）（jyixjyixba2211 2211221221jyyijyxjiyxixx 2121yyxx2121yyxxba 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。a bij、如何用与 表示？1122axybxy（，），（，）已知两个非零向量已知两个非零向量ijx o B(x2,y2)A(x1,y1)ab
5、y 3.1.33.1.3二倍角的正弦、余弦、二倍角的正弦、余弦、正切公式正切公式ijx o B(x2,y2)A(x1,y1)aby 根据平面向量数量积的坐标表示，向量的根据平面向量数量积的坐标表示，向量的数量数量积的运算积的运算可可转化为转化为向量的向量的坐标运算坐标运算。两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。2121yyxxba 3.1.33.1.3二倍角的正弦、余弦、二倍角的正弦、余弦、正切公式正切公式 例1 已知A(1，2)，B(2，3)，C(-2，5)，试判断ABC的形状，并给出证明.x0yA(1,2)B(2,3)C(-2,5).ABC
6、是直角三角形三角形)1,1()23,12(:AB证明)3,3()25,12(AC031)3(1ACABACAB3.1.33.1.3二倍角的正弦、余弦、二倍角的正弦、余弦、正切公式正切公式2222=1,1=-3,3=-4,2|2|3 3|2 5|ABACBCABACBCABACBCABC 方法：，|，|，是直角三角形3,2=,1ABCACBCkk 已知是直角三变式练角形，习求：的值。112313=,=-,=332kkk3.1.33.1.3二倍角的正弦、余弦、二倍角的正弦、余弦、正切公式正切公式练习：课本 107页 1,2843)2(21ba）解：（），（，）（1-4-)7,0(2baba7-7-
7、0-）（）（baba)2,3(3cb）（066)(cba）（7,0)4(ba494902）（）（）（bababa3.1.33.1.3二倍角的正弦、余弦、二倍角的正弦、余弦、正切公式正切公式例例2 设设a=(5，7)，b=(6，4)，求，求a b及及|a|的值的值 =56+74a b=-22=aa a =5,75,7=5 5+77=74=74aa思考：在求问题中，能否推广到一般情况？3.1.33.1.3二倍角的正弦、余弦、二倍角的正弦、余弦、正切公式正切公式设设a=(x，y),则则|a|2=或或|a|=_22xy22xy222121xxyy平面内两点间的距离公式平面内两点间的距离公式若设若设A(
8、x1,y1)、B(x2,y2),则则|AB|=_ a思考：知道向量的起点和终点坐标，如何表示二、向量的模和两点间距离公式二、向量的模和两点间距离公式:3.1.33.1.3二倍角的正弦、余弦、二倍角的正弦、余弦、正切公式正切公式0/1221yxyxbax1x2+y1y2=002121yyxxba1122(,),(,),axybxy设设两两个个非非零零向向量量则则abab=0三、向量垂直和平行的坐标表示三、向量垂直和平行的坐标表示:3.1.33.1.3二倍角的正弦、余弦、二倍角的正弦、余弦、正切公式正切公式=1,-2,=2,0,=4,=03aba cb cc .已知求同时满足的向量例题。=,cx
9、y设=4-=,=0,=-2=0a cxyb c x 2y 4由得2x 0=0,-2c解：解：3.1.33.1.3二倍角的正弦、余弦、二倍角的正弦、余弦、正切公式正切公式四、向量夹角公式的坐标表示四、向量夹角公式的坐标表示:0,2211，夹角为与设bayxbyxacos|a ba b 1212x xy y2211xy2222.xy3.1.33.1.3二倍角的正弦、余弦、二倍角的正弦、余弦、正切公式正切公式.=1,3,=3+1,3-1,4abab已知求 与例题的夹角=,-2,=3,5,axbabx变式：已知且向量 与 的夹角是钝角，求 的取值范围。ab设 与 的夹角为，222213+1+33-1c
10、os=1+33+1+3-1a ba b 解：2=2=453.1.33.1.3二倍角的正弦、余弦、二倍角的正弦、余弦、正切公式正切公式 1 1、若、若 则则 与与 夹角夹角的余弦值为的余弦值为 .),12,5(),4,3(baab6533._,_,),2,5(),4,3(2bababa则、已知52973.1.33.1.3二倍角的正弦、余弦、二倍角的正弦、余弦、正切公式正切公式)()(2211jyixjyixba2121yyxx.,22222121yxbyxaA、B两点间的距离公式:已知),(11yxA),(22yxB,)()(212212yyxxAB3.1.33.1.3二倍角的正弦、余弦、二倍角的正弦、余弦、正切公式正切公式2.向量的坐标运算沟通了向量与解析几何的内在联系，解析几何中与角度、距离、平行、垂直有关的问题，可以考虑用向量方法来解决.02121yyxxba0/1221yxyxba222221212121cosyxyxyyxx3.1.33.1.3二倍角的正弦、余弦、二倍角的正弦、余弦、正切公式正切公式P107P107练习：练习：1 1，2.2.P108P108习题习题2.4A2.4A组：组：9 9，1010，11.11.3.1.33.1.3二倍角的正弦、余弦、二倍角的正弦、余弦、正切公式正切公式敬请指导敬请指导.
