1、-1-本 章 整 合栏目栏目导引导引第一章三角函数第一章三角函数知识建构栏目栏目导引导引第一章三角函数第一章三角函数综合应用专题1专题2专题3专题4专题5专题一导数的几何意义与曲线的切线方程利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点,常见的类型有两种:一类是求“在某点处的切线方程”,则此点一定为切点,先求导,再求斜率代入直线方程即可;另一类是求“过某点的切线方程”,这种类型中的点不一定是切点,可先设切点为Q(x1,y1),则切线方程为y-y1=f(x1)(x-x1),再由切线过点P(x0,y0)得y0-y1=f(x1)(x0-x1).又y1=f(x1),由求出x1,y1的值,即
2、求出了过点P(x0,y0)的切线方程.栏目栏目导引导引第一章三角函数第一章三角函数综合应用专题1专题2专题3专题4专题5提示:切点坐标切线斜率点斜式求切线方程栏目栏目导引导引第一章三角函数第一章三角函数综合应用专题1专题2专题3专题4专题5专题二利用导数确定函数的单调区间利用导数研究函数的单调区间是导数的主要应用之一,其步骤为:(1)确定f(x)的定义域;(2)求导数f(x);(3)解不等式f(x)0或f(x)0的x的取值范围为(1,3).(1)求f(x)的解析式及f(x)的极大值;(2)当x2,3时,求g(x)=f(x)+6(m-2)x的最大值.提示:第(1)小题,可利用条件建立a,b,c的
3、方程组,利用待定系数法求解;第(2)小题利用导数与最值的知识求解,注意对m分类讨论.栏目栏目导引导引第一章三角函数第一章三角函数综合应用专题1专题2专题3专题4专题5解:(1)由题意,知f(x)=3ax2+2bx+c=3a(x-1)(x-3)(a0),所以在(-,1)内f(x)0,f(x)是增函数,在(3,+)内f(x)0,f(x)是减函数.因此f(x)在x0=1处取得极小值-4,在x=3处取得极大值.解得a=-1,b=6,c=-9,所以f(x)=-x3+6x2-9x.则f(x)在x=3处取得极大值f(3)=0.栏目栏目导引导引第一章三角函数第一章三角函数综合应用专题1专题2专题3专题4专题5
4、(2)g(x)=-3(x-1)(x-3)+6(m-2)x=-3(x2-2mx+3).由g(x)=-6x+6m=0,得x=m.当2m3时,g(x)max=g(m)=3m2-9;当m3时,g(x)在2,3上是递增的,g(x)max=g(3)=18m-36.栏目栏目导引导引第一章三角函数第一章三角函数综合应用专题1专题2专题3专题4专题5专题四利用导数证明不等式从近几年高考题看,利用导数证明不等式这一知识点常考到,一般出现在解答题中.利用导数解决不等式问题(如证明不等式、比较大小等),其实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性,而证明不等式(或比较大小)常与函数最值问题有关.因此,解决该类问题通常是
5、构造一个函数,然后考察这个函数的单调性,结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解.其实质是这样的:要证不等式f(x)g(x),则构造函数(x)=f(x)-g(x),只需证(x)0即可,由此转化成求(x)最小值问题,借助于导数解决.栏目栏目导引导引第一章三角函数第一章三角函数综合应用专题1专题2专题3专题4专题5栏目栏目导引导引第一章三角函数第一章三角函数综合应用专题1专题2专题3专题4专题5(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)证明:当x1时,f(x)1,当x(1,x0)时,恒有f(x)k(x-1).栏目栏目导引导引第一章三角函数第一章三角函数综合应用专题1专题2专题3专题4
6、专题5栏目栏目导引导引第一章三角函数第一章三角函数综合应用专题1专题2专题3专题4专题5栏目栏目导引导引第一章三角函数第一章三角函数综合应用专题1专题2专题3专题4专题5专题五导数的实际应用利用导数求函数的极大(小)值,求函数在区间a,b上的最大(小)值或利用导数解决一些实际问题是函数内容的继续与延伸,这种解决问题的方法使复杂的问题简单化,因而已逐渐成为高考的又一新热点.1.利用导数求实际问题的最大(小)值的一般方法:(1)细致分析实际问题中各个量之间的关系,正确设定因变量y与自变量x,把实际问题转化为数学问题,即列出函数关系y=f(x),根据实际问题确定y=f(x)的定义域.(2)求f(x)
7、,令f(x)=0,得出所有实数的解.(3)比较导函数在各个根和区间端点处的函数值的大小,根据实际问题的意义确定函数的最大值或最小值.栏目栏目导引导引第一章三角函数第一章三角函数综合应用专题1专题2专题3专题4专题52.利用导数求实际问题的最大(小)值时,应注意的问题:(1)求实际问题的最大(小)值时,一定要符合问题的实际意义,不符合实际意义的值应舍去.(2)在实际问题中,由f(x)=0常常仅解到一个根,若能判断函数的最大(小)值在x的变化区间内部得到,则在这个根处的函数值就是所求的最大(小)值.栏目栏目导引导引第一章三角函数第一章三角函数综合应用专题1专题2专题3专题4专题5应用 如图,四边形
8、ABCD是一块边长为4 km的正方形地域,地域内有一条河流MD,其经过的路线是以AB的中点M为顶点且开口向右的抛物线的一部分(河流宽度忽略不计).某公司准备投资建一个大型矩形游乐园PQCN,问如何施工才能使游乐园面积最大?并求出最大面积.提示:建立适当的平面直角坐标系,求得抛物线的方程,用点P的坐标表示出矩形PQCN的面积,即可转化为求函数的最大值问题,可用导数加以解决.栏目栏目导引导引第一章三角函数第一章三角函数综合应用专题1专题2专题3专题4专题5栏目栏目导引导引第一章三角函数第一章三角函数综合应用专题1专题2专题3专题4专题5栏目栏目导引导引第一章三角函数第一章三角函数综合应用专题1专题
9、2专题3专题4专题6专题5专题六定积分的应用在利用定积分解决实际问题时,要注意找出被积函数和积分上、下限,用定积分求平面图形的面积是定积分的一个重要应用.解题步骤如下:画出图形;确定图形范围,通过解方程组求出交点的横坐标定出积分上、下限;确定被积函数,特别要注意分清被积函数的上、下位置;写出平面图形面积的定积分表达式;运用微积分基本定理计算定积分,求出平面图形的面积.栏目栏目导引导引第一章三角函数第一章三角函数综合应用专题1专题2专题3专题4专题6专题5栏目栏目导引导引第一章三角函数第一章三角函数综合应用专题1专题2专题3专题4专题6专题5提示:设出A,B两点的坐标,利用定积分求出直线AB与抛
10、物线所围图形的面积,进一步利用坐标代换求出点P的轨迹方程.栏目栏目导引导引第一章三角函数第一章三角函数综合应用专题1专题2专题3专题4专题6专题5栏目栏目导引导引第一章三角函数第一章三角函数真题放送123456781.(2015课标全国高考)设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数,f(-1)=0,当x0时,xf(x)-f(x)0成立的x的取值范围是()A.(-,-1)(0,1)B.(-1,0)(1,+)C.(-,-1)(-1,0)D.(0,1)(1,+)栏目栏目导引导引第一章三角函数第一章三角函数真题放送12345678f(x)为奇函数,且由f(-1)=0,得f(1)=0,故F(1)=
11、0.在区间(0,1)内,F(x)0;在(1,+)内,F(x)0,即当0 x0;当x1时,f(x)0;当x(-1,0)时,f(x)0的解集为(-,-1)(0,1).故选A.答案:A栏目栏目导引导引第一章三角函数第一章三角函数真题放送123456782.(2014大纲全国高考)曲线y=xex-1在点(1,1)处切线的斜率等于()A.2eB.eC.2D.1解析:y=xex-1,y=ex-1+xex-1,k=y|x=1=e0+e0=2,选C.答案:C栏目栏目导引导引第一章三角函数第一章三角函数真题放送123456783.(2014课标全国高考)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为
12、y=2x,则a=()A.0B.1C.2D.3答案:D栏目栏目导引导引第一章三角函数第一章三角函数真题放送123456784.(2015陕西高考)对二次函数f(x)=ax2+bx+c(a为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且只有一个结论是错误的,则错误的结论是()A.-1是f(x)的零点B.1是f(x)的极值点C.3是f(x)的极值D.点(2,8)在曲线y=f(x)上栏目栏目导引导引第一章三角函数第一章三角函数真题放送12345678解析:f(x)=2ax+b.若A正确,则f(-1)=0,即a-b+c=0,若B正确,则f(1)=0,即2a+b=0,若C正确,则f(x0)=0,且f(x0
13、)=3,解得a=5,b=-10,c=8.此时f(x)=5x2-10 x+8,f(-1)=5(-1)2-10(-1)+8=5+10+8=230,即A不成立.故B,C,D可同时成立,而A不成立.故选A.答案:A栏目栏目导引导引第一章三角函数第一章三角函数真题放送123456785.(2015课标全国高考)设函数f(x)=ex(2x-1)-ax+a,其中a1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)0,则a的取值范围是()解析:设g(x)=ex(2x-1),h(x)=a(x-1),则不等式f(x)0即为g(x)h(x).因为g(x)=ex(2x-1)+2ex=ex(2x+1),而函数h(x)=a(x-1)
14、表示经过点P(1,0),斜率为a的直线.如图,分别作出函数g(x)=ex(2x-1)与h(x)=a(x-1)的大致图象.显然,当a0时,满足不等式g(x)h(x)的整数有无数多个.栏目栏目导引导引第一章三角函数第一章三角函数真题放送12345678答案:D 栏目栏目导引导引第一章三角函数第一章三角函数真题放送12345678答案:0 栏目栏目导引导引第一章三角函数第一章三角函数真题放送12345678答案:(1,1)栏目栏目导引导引第一章三角函数第一章三角函数真题放送123456788.(2015课标全国高考)设函数f(x)=emx+x2-mx.(1)证明:f(x)在(-,0)内单调递减,在(
15、0,+)内单调递增;(2)若对于任意x1,x2-1,1,都有|f(x1)-f(x2)|e-1,求m的取值范围.(1)证明:f(x)=m(emx-1)+2x.若m0,则当x(-,0)时,emx-10,f(x)0.若m0,f(x)0;当x(0,+)时,emx-10.所以,f(x)在(-,0)内单调递减,在(0,+)内单调递增.栏目栏目导引导引第一章三角函数第一章三角函数真题放送12345678(2)解:由(1)知,对任意的m,f(x)在-1,0上单调递减,在0,1上单调递增,故f(x)在x=0处取得最小值.设函数g(t)=et-t-e+1,则g(t)=et-1.当t0时,g(t)0时,g(t)0.故g(t)在(-,0)内单调递减,在(0,+)内单调递增.又g(1)=0,g(-1)=e-1+2-e1时,由g(t)的单调性,知g(m)0,即em-me-1;当m0,即e-m+me-1.综上,m的取值范围是-1,1.
