1、2.2.2对数函数及其性质第1课时对数函数的图象及性质【知识提炼知识提炼】1.1.对数函数的概念对数函数的概念函数函数y=_(a0,y=_(a0,且且a1)a1)叫做对数函数叫做对数函数,其中其中_是自变量是自变量,函数的函数的定义域是定义域是_._.logloga ax xx x(0,+)(0,+)2.2.对数函数的图象及性质对数函数的图象及性质a a的范围的范围0a10a1a1图象图象性性质质定义域定义域_值域值域R R定点定点_,_,即即x=_x=_时时,y=_,y=_单调性单调性在在(0,+)(0,+)上是上是_在在(0,+)(0,+)上是上是_(0,+)(0,+)(1,0)(1,0)
2、1 10 0减函数减函数增函数增函数3.3.反函数反函数指数函数指数函数_和对数函数和对数函数y=logy=loga ax(a0 x(a0且且a1)a1)互为反函数互为反函数.y=ay=ax x【即时小测即时小测】1.1.判断判断.(1)y=log(1)y=log2 2x x2 2与与y=logy=logx x3 3都不是对数函数都不是对数函数.()(2)(2)对数函数的图象一定在对数函数的图象一定在y y轴右侧轴右侧.()(3)(3)当当0a10a1,x1,则则y=logy=loga ax x的函数值都大于零的函数值都大于零.()(4)(4)函数函数y=logy=log2 2x x与与y=x
3、y=x2 2互为反函数互为反函数.()【解析解析】(1)(1)正确正确.根据对数函数的定义根据对数函数的定义,只有符合只有符合y=logy=loga ax(a0 x(a0且且a1)a1)的形式的函数才是对数函数的形式的函数才是对数函数.(2)(2)正确正确.通过通过a1a1和和0a10a1时的对数函数的图象可知时的对数函数的图象可知,对数函数的图象对数函数的图象一定在一定在y y轴右侧轴右侧.(3)(3)错误错误.当当0a10a1x1时时,y=log,y=loga ax x的函数值小于零的函数值小于零.(4)(4)错误错误.函数函数y=logy=log2 2x x的反函数为的反函数为y=2y=
4、2x x.答案答案:(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)2.2.下列函数是对数函数的是下列函数是对数函数的是()A.y=logA.y=logx x2 2 B.y=log B.y=log3 3x xC.y=2logC.y=2log3 3x x D.y=log D.y=log3 3x+1x+1【解析解析】选选B.B.由对数函数的定义知由对数函数的定义知y=logy=log3 3x x是对数函数是对数函数,而而A A项中未知项中未知数在底数上数在底数上,C,C项中系数不为项中系数不为1,D1,D项中多了加项中多了加1 1这一项这一项,故只有故只有B B符合符合.3.3.若函数若函数y=(
5、ay=(a2 2-3a+3)log-3a+3)loga ax x是对数函数是对数函数,则则a a的值为的值为()A.1A.1或或2 2 B.2 B.2C.-1C.-1或或-2-2 D.1 D.1【解析解析】选选B.B.因为因为y=(ay=(a2 2-3a+3)log-3a+3)loga ax x是对数函数是对数函数,所以所以a a2 2-3a+3=1,a0-3a+3=1,a0且且a1.a1.解得解得a=2.a=2.4.4.对数函数对数函数f(x)=logf(x)=loga ax x的图象过点的图象过点(3,1),(3,1),则则f(9)f(9)的值为的值为()A.-2A.-2 B.B.C.2C
6、.2 D.-D.-【解析解析】选选C.C.因为函数因为函数f(x)=logf(x)=loga ax x的图象过点的图象过点(3,1),(3,1),则则logloga a3=1,3=1,解得解得a=3.a=3.故故f(9)=logf(9)=log3 39=log9=log3 33 32 2=2.=2.12125.5.若对数函数若对数函数f(x)=logf(x)=log(2a-1)(2a-1)x x是是(0,+)(0,+)上的减函数上的减函数,则则a a的取值范围是的取值范围是()A.-a1A.-a1 B.-1a B.-1aC.1a2C.1a2 D.a1 D.a1【解析解析】选选D.D.因为对数函
7、数因为对数函数f(x)=logf(x)=log(2a-1)(2a-1)x x是是(0,+)(0,+)上的减函数上的减函数,所以所以02a-11,02a-11,解得解得 a1.a0,a0,且且a1?a1?【总结提升总结提升】1.1.对对数函数概念的两点说明对对数函数概念的两点说明(1)(1)对数函数的概念与指数函数类似对数函数的概念与指数函数类似,都是形式化定义都是形式化定义,如如y=2logy=2log2 2x,y=logx,y=log2 2 都不是对数函数都不是对数函数,可称其为对数型函数可称其为对数型函数.(2)(2)由指数式与对数式的关系知由指数式与对数式的关系知:对数函数的自变量对数函
8、数的自变量x x恰好是指数函数恰好是指数函数的函数值的函数值y,y,所以对数函数的定义域为所以对数函数的定义域为(0,+).(0,+).x32.2.对数函数的定义中要求对数函数的定义中要求a0,a0,且且a1a1的原因的原因根据对数式与指数式的关系知根据对数式与指数式的关系知,y=log,y=loga ax x可化为可化为a ay y=x,=x,联想指数函数中联想指数函数中底数的范围可知底数的范围可知a0a0且且a1.a1.3.3.对数函数的解析式具有的三个特征对数函数的解析式具有的三个特征(1)(1)系数为系数为1.1.(2)(2)底数为大于底数为大于0 0且不等于且不等于1 1的常数的常数
9、.(3)(3)对数的真数仅有自变量对数的真数仅有自变量x.x.知识点知识点2 2对数函数的图象及性质对数函数的图象及性质观察图形观察图形,回答下列问题回答下列问题:问题问题1:1:对数函数的图象恒过哪一个定点对数函数的图象恒过哪一个定点?问题问题2:2:底数的大小对对数函数的图象有怎样的影响底数的大小对对数函数的图象有怎样的影响?【总结提升总结提升】1.1.对数函数图象和性质的关系对数函数图象和性质的关系图象特征图象特征函数性质函数性质位于位于y y轴右侧轴右侧定义域为定义域为(0,+),(0,+),值域为值域为R R恒过定点恒过定点(1,0)(1,0)对于任意的对于任意的a0a0且且a1,a
10、1,总有总有logloga a1=01=0图象特征图象特征函数性质函数性质图象可以分为两类图象可以分为两类:一类图象一类图象在区间在区间(0,1)(0,1)内纵坐标都小于内纵坐标都小于0,0,在区间在区间(1,+)(1,+)内纵坐标都大内纵坐标都大于于0;0;另一类图象恰好相反另一类图象恰好相反当当a1a1时时,(1)(1)若若0 x1,0 x1,则则logloga ax0 x1,x1,则则logloga ax0 x0当当0a10a1时时,(1)(1)若若0 x1,0 x0 x0(2)(2)若若x1,x1,则则logloga ax0 x1,a1时图象逐渐上时图象逐渐上升升;0a1;0a1a1时
11、时,y=log,y=loga ax x是增函数是增函数;当当0a10a0 x(a0且且a1)a1)的图象无限靠近的图象无限靠近y y轴轴,但但永远不会与永远不会与y y轴相交轴相交;在同一坐标系内在同一坐标系内,y=log,y=loga ax(a0 x(a0且且a1)a1)的图象的图象与与y=log x(a0y=log x(a0且且a1)a1)的图象关于的图象关于x x轴轴(即直线即直线y=0)y=0)对称对称.1a【拓展延伸拓展延伸】对数函数单调性的记忆口诀对数函数单调性的记忆口诀对数增减有思路对数增减有思路,函数图象看底数函数图象看底数;底数要求大于底数要求大于0,0,但等于但等于1 1却
12、不行却不行;底数若是大于底数若是大于1,1,图象从左往右增图象从左往右增;底数底数0 0到到1 1之间之间,图象从左往右减图象从左往右减;无论函数增和减无论函数增和减,图象都过图象都过(1,0)(1,0)点点.【题型探究题型探究】类型一类型一对数函数概念的应用对数函数概念的应用【典例典例】1.1.下列给出的函数下列给出的函数:y=logy=log5 5x+1;x+1;y=logy=loga ax x2 2(a0,(a0,且且a1);a1);y=y=y=logy=log3 3x;x;y=logy=logx x (x0,(x0,且且x1).x1).y=log x.y=log x.其中是对数函数的为
13、其中是对数函数的为()A.A.B.B.C.C.D.D.(3 1)logx；13322.(20152.(2015晋城高一检测晋城高一检测)对数函数的图象过点对数函数的图象过点(16,2),(16,2),则对数函数的解则对数函数的解析式为析式为.3.3.若函数若函数y=logy=log(2a-1)(2a-1)x+(ax+(a2 2-5a+4)-5a+4)是对数函数是对数函数,则则a=a=.【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中应从哪几个方面看一个函数是否是对数函数中应从哪几个方面看一个函数是否是对数函数?提示提示:应从三个方面应从三个方面,一看系数一看系数;二看底数二看底数;三看真数三看真数
14、.2.2.典例典例2 2中对数函数应设为怎样的形式中对数函数应设为怎样的形式?提示提示:应设为应设为y=logy=loga ax(a0,x(a0,且且a1)a1)的形式的形式.3.3.典例典例3 3中的中的a a2 2-5a+4-5a+4应满足怎样的条件应满足怎样的条件?提示提示:a a2 2-5a+4=0.-5a+4=0.【解析解析】1.1.选选D.D.中对数式后面加中对数式后面加1,1,所以不是对数函数所以不是对数函数;中真数不中真数不是自变量是自变量x,x,所以不是对数函数所以不是对数函数;和符合对数函数概念的三个特征和符合对数函数概念的三个特征,是对数函数是对数函数;中中loglog3
15、 3x x前的系数不是前的系数不是1,1,所以不是对数函数所以不是对数函数;中底数中底数是自变量是自变量x,x,而非常数而非常数a,a,所以不是对数函数所以不是对数函数.故正确故正确.2.2.设对数函数的解析式为设对数函数的解析式为y=logy=loga ax(a0,x(a0,且且a1),a1),由已知可得由已知可得logloga a16=2,16=2,即即a a2 2=16,=16,解得解得a=4,a=4,故函数解析式为故函数解析式为y=logy=log4 4x.x.答案答案:y=logy=log4 4x x3.3.由题意可得由题意可得,解得解得a=4.a=4.答案答案:4 42a5a 4
16、0,2a 1 0,2a 1 1,【方法技巧方法技巧】判断一个函数是对数函数的方法判断一个函数是对数函数的方法【变式训练变式训练】已知下列函数已知下列函数.(1)y=log (-x)(x 0).(1)y=log (-x)(x 1).(x-1)(x1).(3)y=lnx(x0).(3)y=lnx(x0).(4)y=(x0,a(4)y=(x0,a为常数为常数).).其中是对数函数的是其中是对数函数的是(只填序号只填序号).).122aalogx【解析解析】对于对于(1),(1),真数是真数是-x,-x,故故(1)(1)不是对数函数不是对数函数;对于对于(2),(2),2log2log4 4(x-1)
17、(x-1)的系数为的系数为2,2,而不是而不是1,1,且真数是且真数是x-1,x-1,不是不是x,x,故故(2)(2)不是对不是对数函数数函数;对于对于(3),lnx(3),lnx系数为系数为1,1,真数是真数是x,x,故故(3)(3)是对数函数是对数函数;对于对于(4),(4),底数底数a a2 2+a=+a=当当a=-a=-时时,底数小于底数小于0,0,故故(4)(4)不是对数函数不是对数函数.答案答案:(3)(3)211(a)24，12类型二类型二求对数型函数的定义域、函数值问题求对数型函数的定义域、函数值问题【典例典例】1.1.已知函数已知函数f(x)=logf(x)=log5 5(x
18、+1),(x+1),若若f(a)=1,f(a)=1,则则a=a=()A.3A.3 B.4 B.4 C.5 C.5 D.6 D.62.(20152.(2015邢台高一检测邢台高一检测)函数函数f(x)=logf(x)=log(x-1)(x-1)的定义域为的定义域为.2x 1【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中把中把a a代入函数式中会得到什么结果代入函数式中会得到什么结果?提示提示:会得到会得到f(a)=logf(a)=log5 5(a+1)=1,(a+1)=1,解此等式可求得解此等式可求得a a的值的值.2.2.典例典例2 2中不仅要考虑中不仅要考虑2x+10,2x+10,要使函数有意
19、义要使函数有意义,对于底数应有什么限对于底数应有什么限定条件定条件?提示提示:对于底数对于底数x-10 x-10且且x-11.x-11.【解析解析】1.1.选选B.B.由由f(a)=logf(a)=log5 5(a+1)=1(a+1)=1可得可得a+1=5,a+1=5,所以所以a=4.a=4.2.2.要使函数有意义要使函数有意义,必须必须解得解得x1x1且且x2.x2.所以函数的定义域为所以函数的定义域为(1,2)(2,+).(1,2)(2,+).答案答案:(1,2)(2,+)(1,2)(2,+)2x 1 0,x 1 0,x 1 1.【延伸探究延伸探究】1.(1.(变换条件变换条件,改变问法改
20、变问法)本例本例2 2函数式不变函数式不变,若若f(a)=1,f(a)=1,则则a=a=.【解析解析】若若f(a)=1,f(a)=1,即即f(a)=logf(a)=log(a-1)(a-1)=1,=1,答案答案:4 42a 12a 1 a 1,2a 1 0,a4.a 1 0,a 1 1 则有解得，2.(2.(变换条件变换条件)若将本例若将本例2 2的函数的函数“f(x)=logf(x)=log(x-1)(x-1)”变为变为“f(x)=log (x+1)”f(x)=log (x+1)”，其定义域又如何求解呢？，其定义域又如何求解呢？【解析解析】要使函数有意义，必须要使函数有意义，必须解得解得x
21、x 且且x1.x1.所以函数的定义域为所以函数的定义域为(,1)(1,+).(,1)(1,+).2x 12x 1x 1 0,2x 1 0,2x 1 1,1212【方法技巧方法技巧】求与对数函数有关的函数定义域时应遵循的原则求与对数函数有关的函数定义域时应遵循的原则(1)(1)分母不能为分母不能为0.0.(2)(2)根指数为偶数时根指数为偶数时,被开方数非负被开方数非负.(3)(3)对数的真数大于对数的真数大于0,0,底数大于底数大于0 0且不为且不为1.1.【补偿训练补偿训练】函数函数f(x)=logf(x)=log(x+2)(x+2)(4-x)(4-x)的定义域为的定义域为.【解析解析】要使
22、函数有意义要使函数有意义,必须必须解得解得-2x4-2x4且且x-1.x-1.故函数的定义域为故函数的定义域为(-2,-1)(-1,4).(-2,-1)(-1,4).答案答案:(-2,-1)(-1,4)(-2,-1)(-1,4)4 x 0,x 2 0,x 2 1,【延伸探究延伸探究】1.1.本题函数式不变本题函数式不变,若若f(a)=2,f(a)=2,则则a=a=.【解析解析】若若f(a)=2,f(a)=2,即即f(a)=logf(a)=log(a+2)(a+2)(4-a)=2,(4-a)=2,答案答案:0 02a 24 a,4 a0,a0.a 2 0,a 2 1,所以解得2.2.若将本题的函
23、数若将本题的函数“f(x)=logf(x)=log(x+2)(x+2)(4-x)(4-x)”改为改为“f(x)=f(x)=loglog(4-x)(4-x)(x+2)(x+2)”,其定义域又如何求解其定义域又如何求解?【解析解析】要使函数有意义要使函数有意义,解得解得-2x4-2x0,(x+1)-2(a0,且且a1)a1)的图象恒过的图象恒过点点.3.(20153.(2015无锡高一检测无锡高一检测)如图所示的曲线是对数函数如图所示的曲线是对数函数y=logy=loga ax,x,y=logy=logb bx,y=logx,y=logc cx,y=logx,y=logd dx x的图象的图象,则
24、则a,b,c,da,b,c,d与与1 1的大小关系为的大小关系为.【解题探究解题探究】1.1.典例典例1 1中由中由lga+lgb=0lga+lgb=0会得到会得到a a与与b b怎样的关系式怎样的关系式,需要需要对对a a的范围进行分情况讨论吗的范围进行分情况讨论吗?提示提示:由由lga+lgb=0lga+lgb=0可得可得lg(ab)=0,lg(ab)=0,则则ab=1,ab=1,即即a=,a=,需要对需要对a a的范围进的范围进行讨论行讨论.2.2.典例典例2 2中函数恒过定点中函数恒过定点,此时应使真数此时应使真数x+1x+1等于何值等于何值?提示提示:依据依据logloga a1=0
25、,1=0,此时应使此时应使x+1=1.x+1=1.1b3.3.典例典例3 3中由对数函数的图象中由对数函数的图象,怎样判断相应底数的大小怎样判断相应底数的大小?提示提示:作直线作直线y=1y=1与所给图象相交与所给图象相交,交点的横坐标即为各个函数的底数交点的横坐标即为各个函数的底数,在第一象限内在第一象限内,自左向右自左向右,底数逐渐变大底数逐渐变大.【解析解析】1.1.选选B.B.由由lga+lgb=0,lga+lgb=0,得得lg(ab)=0,lg(ab)=0,所以所以ab=1,ab=1,故故a=,a=,所以当所以当0b10b1;,a1;当当b1b1时时,0a1.,0a1.又因为函数又因
26、为函数y=-logy=-logb bx x与函数与函数y=logy=logb bx x的图象关于的图象关于x x轴对称轴对称.利用这些信利用这些信息可知选项息可知选项B B符合符合0b10b1a1的情况的情况.1b2.2.因为函数因为函数y=logy=loga ax(a0,x(a0,且且a1)a1)的图象恒过点的图象恒过点(1,0),(1,0),则令则令x+1=1x+1=1得得x=0,x=0,此时此时y=logy=loga a(x+1)-2=-2,(x+1)-2=-2,所以函数所以函数y=logy=loga a(x+1)-2(a0,(x+1)-2(a0,且且a1)a1)的图象恒过点的图象恒过点
27、(0,-2).(0,-2).答案答案:(0,-2)(0,-2)3.3.由图象可知函数由图象可知函数y=logy=loga ax,y=logx,y=logb bx x的底数的底数a1,b1,a1,b1,函数函数y=logy=logc cx,x,y=logy=logd dx x的底数的底数0c1,0d1.0c1,0da1dc.ba1dc.答案答案:ba1dcba1dc【方法技巧方法技巧】1.1.对数函数图象过定点问题对数函数图象过定点问题求函数求函数y=m+logy=m+loga af(x)(a0,f(x)(a0,且且a1)a1)的图象过定点时的图象过定点时,只需令只需令f(x)=1f(x)=1求
28、求出出x,x,即得定点为即得定点为(x,m).(x,m).2.2.根据对数函数图象判断底数大小的方法根据对数函数图象判断底数大小的方法:作直线作直线y=1y=1与所给图象相交与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底数交点的横坐标即为各个底数,依据在第一依据在第一象限内象限内,自左向右自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大图象对应的对数函数的底数逐渐变大,可比较底数可比较底数的大小的大小.【变式训练变式训练】对对a(a0,a1)a(a0,a1)取不同的值取不同的值,函数函数y=logy=loga a 的图象恒的图象恒过定点过定点P,P,则则P P的坐标为的坐标为()A.(1,0)A.(1,0)
29、B.(-2,0)B.(-2,0)C.(2,0)C.(2,0)D.(-1,0)D.(-1,0)【解题指南解题指南】函数函数y=logy=loga a 的图象恒过定点的图象恒过定点,则此时应使则此时应使=1,=1,解相应的解相应的x x的值即可的值即可.x 13x 1x 13x 1x 13x 1【解析解析】选选A.A.因为因为y=logy=loga ax x恒过定点恒过定点(1,0),(1,0),由由y=logy=loga a 可知可知,令令 =1,=1,则则y=0,y=0,解得解得x=1,x=1,故此函数过定点故此函数过定点P(1,0).P(1,0).x 13x 1x 13x 1【补偿训练补偿训
30、练】已知函数已知函数f(x)=af(x)=ax x(a0,a1)(a0,a1)的反函数为的反函数为g(x),g(x),且满足且满足g(2)0,g(2)0,则函数则函数g(x+1)g(x+1)的图象是下图中的的图象是下图中的()【解析解析】选选A.A.由由f(x)=af(x)=ax x的反函数是的反函数是g(x)=logg(x)=loga ax,x,又又g(2)0,g(2)0,所以所以0a1.0a0,x-10,忽视此条件导致错误忽视此条件导致错误.12【自我矫正自我矫正】要使函数有意义要使函数有意义,需需log (x-1)+10log (x-1)+10且且x-10,x-10,所以所以log (x-1)-1log (x-1)-1且且x1,x1,解得解得1x3,10 x-10这一隐含条件这一隐含条件导致错误导致错误.
