1、CcBbAasinsinsin 正弦定理正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即的正弦的比相等，即正弦定理可以解什么类型的三角形问题？正弦定理可以解什么类型的三角形问题？(1)已知两角和任意一边，可以求出其他两边和已知两角和任意一边，可以求出其他两边和一角一角(AAS,ASA)；(2)已知两边和其中一边的对角，可以求出三角已知两边和其中一边的对角，可以求出三角形的其他的一边和另外两角形的其他的一边和另外两角(SSA)。复习:余弦定理(SAS问题问题)在三角形在三角形ABC中中,已知边已知边a,b,夹角夹角C,求边求边cABCabc余弦定理的证明法
2、一:平面几何(作高法)法二:坐标法法三:平面向量法法四:正弦定理1法五:正弦定理2法六:正弦定理3(SAS问题问题)在三角形在三角形ABC中中,已知边已知边a,b,角角C,求边求边cABCDabc法一：作高法222222:sin,coscos,(sin)(cos)2cosAADBCBCDAD bC CD bCBDBC CDa bCABCcbCa bCcababC 解 过 点作交于点在直角三角形中由勾股定理得(bcosC,bsinC)(a,0)CxayOc22(cos)(sin0)bCabC22222cos2 cossincbCabC abC 2222coscababC法二:坐标法bc?AB解:
3、以C为原点,BC为x轴建立直角坐标系ABCabc法三:向量法ca b由三角形法则有,CAb CBa ABc 令22|()ccab222222|22coscaba bcababC 法四:正弦定理1sinsinacAC由得sinsin(2)BbC同理csinsin(1)cAaC()(2)BCAB利用代入消去角 得22(1)A利用+(3)消去 即得证coscos(3)cAbaC法五:正弦定理2222:2coscababC求证222:(2 sin)(2 sin)8sin sin cosRARBRABC证 明右 边()CA B 224sin()RAB右边法六:正弦定理32 sincRC利用证明()CAB
4、由得2222224(sincoscossin2sin cos sin cos)cRABABAABB2222cos1 sin,cos1 sinAABB 把代入得2222coscababC2222coscababC余弦定理三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍.推论推论222cos2abcCab例1.在三角形ABC中,已知b=8,c=3,A=600(1)求a;一、余弦定理的应用(2)求三角形中最大角的余弦值;(3)判断三角形的形状.(用锐角,钝角,直角三角形回答)222222:(1)2cos832 8 3cos60497abcbcAaa 解由得222222:
5、(1)2cos83283 cos 60497abcbcAaa 解由得222(2)49 9 64122 7 37bacacbac 由得角B最大cosB=222222:(1)2cos83283 cos 60497abcbcAaa 解由得222(2)49 9 64122 7 37bacacbac 由得角B最大cosB=(3)cos090.BBABC所以为钝角三角形例2、用 填空,22,ABCCab(1)在中当 为锐角时2c22,ABCCab(2)在中当 为直角时22,ABCCab(3)在中当 为钝角时2c2c2222 coscababC 222cab余弦定理勾股定理有关系吗?22222:(1)090,cos02cosCCcababCab例2.解当时正数22222(3)90180,cos02cosCCcababCab当时22222(2)90,cos02cosCCcababCab当时零负数课堂小结c2=a2+b22abcosC余弦定理是任意三角形边和角之间的规律，勾股定理是它的特殊形式。余弦定理可解决两类问题：（1）已知两边和它们的夹角，求第三边（SAS）；（2）已知三边，求三个角（SSS）。一、二、同学们再见作业P10 习题A组 3题,4题
