1、开始开始 学点一学点一学点二学点二学点三学点三学点四学点四1.1.已知两条直线已知两条直线l l1 1：A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0 l=0 l2 2：A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0，将两条直线的方程联立，得方程组将两条直线的方程联立，得方程组 A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0 A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0（1 1）若方程组）若方程组 ，则两条直线相交，此解就，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；是交点的坐标；（2 2）若方程组）若方程组 ，则两条直线无公共点，此时两条，则两条直线无公共点，此
2、时两条直线平行；直线平行；（3 3）若方程组）若方程组 ，则两条直线有无数个公共点，此，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合时两条直线重合.2.2.过直线过直线l l1 1：A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0和和l l2 2：A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0的交点的直线的交点的直线可设为可设为 .A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1+(A+(A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2)=0()=0(为常数为常数)有唯一解有唯一解无解无解无数解无数解返回返回 两条直线的交点坐标两条直线的交点坐标平行平行重合重合相交相交返回返回 学
3、点一学点一 求两条直线的交点求两条直线的交点 分别判断下列直线是否相交分别判断下列直线是否相交,若相交若相交,求出它们的交点求出它们的交点:(1)l(1)l1 1:x+y=8;l:x+y=8;l2 2:2x-3y=1;:2x-3y=1;(2)l(2)l1 1:3x-4y-12=0;l:3x-4y-12=0;l2 2:6x-8y-24=0;:6x-8y-24=0;(3)l(3)l1 1:y=2x+1;l:y=2x+1;l2 2:2x-y+2=0.:2x-y+2=0.【分析【分析】观察两直线组成的方程组解的情况观察两直线组成的方程组解的情况,从而作出从而作出相应的判断相应的判断.返回返回【解析【解
4、析】(1)因为方程组因为方程组 x+y=8 x=5 2x-3y=1 的解为的解为 y=3，因此直线因此直线l1和和l2相交相交,交点坐标为交点坐标为(5,3).(2)方程组方程组 3x-4y-12=0 6x-8y-24=0 有无数组解有无数组解,这表明直线这表明直线l1和和l2重合重合.(3)方程组方程组 2x-y+1=0 2x-y+2=0无解无解,这表明直线这表明直线l1和和l2没有公共点没有公共点,故故l1l2.返回返回【评析】在解方程组时【评析】在解方程组时,先分析组成方程组的两方先分析组成方程组的两方程程x,yx,y的系数就可以判定是否有解的系数就可以判定是否有解,对对l l1 1:y
5、=k:y=k1 1x+bx+b1 1,l l2 2:y=k:y=k2 2x+bx+b2 2.当当k k1 1kk2 2,两直线相交，有一组解两直线相交，有一组解;k;k1 1=k=k2 2且且b b1 1bb2 2，两直线平行，两直线平行,无解无解;当当k k1 1=k=k2 2且且b b1 1=b=b2 2,两直两直线重合线重合,有无数组解有无数组解,对于一般式自己总结对于一般式自己总结.返回返回 已知直线已知直线l l1 1:y=kx+k+2,l:y=kx+k+2,l2 2:y=-2x+4:y=-2x+4的交点在第一象限的交点在第一象限,求求k k的取值范围的取值范围.解法一解法一:由由
6、y=kx+k+2 x=y=kx+k+2 x=y=-2x+4,y=-2x+4,解得解得 y=.y=.据题设据题设x0,x0,且且y0,y0,解得解得 k2.k2.解法二解法二:l:l1 1表示过点表示过点M(-1,2)M(-1,2)且斜率为且斜率为k k的直线系的直线系,l,l2 2过过A(2,0),B(0,4).A(2,0),B(0,4).则据题意必须有则据题意必须有k kMAMAkkkkMBMB,而而k kMAMA=,k=,kMBMB=2,=2,k2.k2.2kk-22k46k323232返回返回 学点二学点二 过两条直线交点的直线过两条直线交点的直线求经过求经过2x+y+8=02x+y+8
7、=0和和x+y+3=0 x+y+3=0的交点的交点,且与直线且与直线2x+3y-10=02x+3y-10=0垂直的直线方程垂直的直线方程.【分析【分析】先求两直线的交点先求两直线的交点,再求所求直线的斜率再求所求直线的斜率,然然后利用点斜式写出直线的方程后利用点斜式写出直线的方程.由于所求直线与直线由于所求直线与直线2x+3y-10=02x+3y-10=0垂直垂直,因此两直线斜率因此两直线斜率互为负倒数互为负倒数,故可设所求直线方程为故可设所求直线方程为3x-2y+m=0,3x-2y+m=0,再利用已再利用已知直线知直线2x+y+8=02x+y+8=0和和x+y+3=0 x+y+3=0的交点求
8、出的交点求出m,m,得到所求的直线得到所求的直线方程方程.返回返回【解析【解析】解法一：解方程组解法一：解方程组 2x+y+8=02x+y+8=0 x+y+3=0,x+y+3=0,得交点得交点P(-5,2).P(-5,2).直线直线2x+3y-10=02x+3y-10=0的斜率的斜率k=,k=,所求直线的斜率是所求直线的斜率是 .因此所求直线方程为因此所求直线方程为3x-2y+19=0.3x-2y+19=0.解法二：设所求直线方程为解法二：设所求直线方程为3x-2y+m=0,3x-2y+m=0,解方程组解方程组 2x+y+8=02x+y+8=0 x+y+3=0 x+y+3=0 得交点得交点P(
9、-5,2).P(-5,2).把点把点P(-5,2)P(-5,2)的坐标代入的坐标代入3x-2y+m=0,3x-2y+m=0,求得求得m=19.m=19.故所求直线方程为故所求直线方程为3x-2y+19=0.3x-2y+19=0.3223返回返回 解法三：设所求直线的方程为解法三：设所求直线的方程为(2x+y+8)+(x+y+3)=0(2x+y+8)+(x+y+3)=0，即即(2+)x+(1+)y+8+3=0 (2+)x+(1+)y+8+3=0 (*)所求直线与直线所求直线与直线2x+3y-10=02x+3y-10=0垂直垂直,=,=,解得解得=.=.把把代入代入(*)式得所求直线方程为式得所求
10、直线方程为3x-2y+19=0.3x-2y+19=0.【评析】本题的三种解法【评析】本题的三种解法,解法一较为常用解法一较为常用,解法解法三则应用了两直线交点的直线系三则应用了两直线交点的直线系,省去了求两直省去了求两直线交点坐标的运算线交点坐标的运算.122357返回返回 已知两点已知两点A(-2,1),B(4,3),A(-2,1),B(4,3),求经过两直线求经过两直线2x-3y+1=0 2x-3y+1=0 和和3x+2y-1=03x+2y-1=0的交点和线段的交点和线段ABAB中点的直线中点的直线l l的方程的方程.解法一解法一:由由 2x-3y+1=0 x=2x-3y+1=0 x=3x
11、+2y-1=0,3x+2y-1=0,解得解得 y=,y=,交点坐标为交点坐标为 (,),(,),又线段又线段ABAB的中点坐标为的中点坐标为(1,2),(1,2),由直线的两点式方程得直线由直线的两点式方程得直线l l的方程为的方程为 ,即即7x-4y+1=0.7x-4y+1=0.13113513113511311x21352y返回返回 解法二解法二:设所求直线设所求直线l l的方程为的方程为 2x-3y+1+(3x+2y-1)=0,2x-3y+1+(3x+2y-1)=0,整理得整理得(2+3)x+(2-3)y+(1-)=0(2+3)x+(2-3)y+(1-)=0直线直线l l过线段过线段AB
12、AB的中点的中点M(1,2),M(1,2),(2+3)(2+3)1+(2-3)1+(2-3)2+1-=0.2+1-=0.解得解得=,=,代入直线方程得代入直线方程得l l的方程为的方程为7x-4y+1=0.7x-4y+1=0.21返回返回 学点三学点三 三线共点问题三线共点问题设三条直线设三条直线x-2y=1,2x+ky=3,3kx+4y=5x-2y=1,2x+ky=3,3kx+4y=5交于一点交于一点,求求k k的值的值.【分析【分析】应用两直线相交的方法求值应用两直线相交的方法求值.【解析【解析】解法一解法一:解方程组解方程组 x-2y=1 x=x-2y=1 x=2x+ky=3 2x+ky
13、=3 得得 y=y=，即前两条直线的交点为即前两条直线的交点为(，).).因为三条直线交于因为三条直线交于一点一点,所以第三条直线必过此定点所以第三条直线必过此定点,故故3k()+4()=5.3k()+4()=5.解得解得k=1k=1或或k=.k=.4k6k4k 14k6k4k 14k6k4k 1316返回返回 解法二解法二:过直线过直线x-2y-1=0 x-2y-1=0与与2x+ky-3=02x+ky-3=0的交点的直线可的交点的直线可设为设为(x-2y-1)+(2x+ky-3)=0(R),(x-2y-1)+(2x+ky-3)=0(R),即即(1+2)x+(k-2)y-(1+3)=0.(1+
14、2)x+(k-2)y-(1+3)=0.由题设三条直线交于由题设三条直线交于一点知存在一点知存在使该直线与直线使该直线与直线3kx+4y-5=03kx+4y-5=0重合重合.即即 ,解得解得=2,k=1=2,k=1或或=,k=,=,k=,所以所以k k的值为的值为1 1或或 .【评析】证三线共点或据三线共点【评析】证三线共点或据三线共点,求系数值求系数值,一般是先一般是先求两条直线的交点求两条直线的交点,再将该点的坐标代入第三条直线的再将该点的坐标代入第三条直线的方程方程,得证或求出得证或求出.42k3k2158213163165)31(返回返回 m为何值时，下面三条直线为何值时，下面三条直线l
15、1:4x+y=4,l2:mx+y=0,l3:2x-3my=4过同一点过同一点.解解:由由 解得解得l1,l2的交点的交点A ,要使要使A在在l3上，只要上，只要2 -3m =4,解得解得m=或或m=-1.0,ymx4y4x m-44m-,m-44m-44m-44m-32返回返回 学点四学点四 综合应用综合应用 已知两条直线已知两条直线l l1 1:x+my+6=0,l:x+my+6=0,l2 2:(m-2)x+3y+2m=0,:(m-2)x+3y+2m=0,当当m m为为何值时何值时,直线直线l l1 1与与l l2 2:(1)(1)相交相交;(2);(2)平行平行;(3);(3)重合重合.【
16、分析【分析】平面内两条直线的位置关系有三种平面内两条直线的位置关系有三种:相交、平相交、平行、重合，是以两条直线的公共点的个数为标准划分行、重合，是以两条直线的公共点的个数为标准划分的的:一个公共点一个公共点,相交相交;无数个公共点无数个公共点,重合重合;没有公共点没有公共点,平行平行.返回返回【解析【解析】解两直线方程组成的方程组解两直线方程组成的方程组 x+my+6=0 x+my+6=0 (m-2)x+3y+2m=0 (m-2)x+3y+2m=0当当m=0m=0时时,l,l1 1:x+6=0,l:x+6=0,l2 2:2x-3y=0,l:2x-3y=0,l1 1与与l l2 2相交相交.当
17、当m=2m=2时时,l,l1 1:x+2y+6=0,l:x+2y+6=0,l2 2:3y+4=0,l:3y+4=0,l1 1与与l l2 2相交相交.当当m0,m2m0,m2时时,当当 时时,解得解得m=-1m=-1或或m=3.m=3.当当 时时,解得解得m=3.m=3.3mBB212m1AA212m6CC212121BBAA2121CCAA3m2m12m62m1返回返回 综上所述综上所述:(1)(1)当当m-1m-1且且m3m3时时,方程组有唯一解方程组有唯一解,l,l1 1与与l l2 2相交相交.(2)(2)当当m=-1m=-1时时,方程组无解方程组无解,l,l1 1ll2 2.(3)(
18、3)当当m=3m=3时时,方程组有无数组解方程组有无数组解,l,l1 1与与l l2 2重合重合.返回返回【评析】对于含字母系数的直线位置关系的讨论【评析】对于含字母系数的直线位置关系的讨论,用计算系用计算系数比判定较好数比判定较好,但在讨论时要注意不重复但在讨论时要注意不重复,不遗漏不遗漏,并要特别并要特别注意注意A A1,1,B B1 1,A,A2 2,B,B2 2都不为零的前提都不为零的前提,才用系数比讨论才用系数比讨论.为零的特为零的特例单独讨论如何判定两条直线的位置关系例单独讨论如何判定两条直线的位置关系.返回返回 三条直线三条直线x+y=2,x-y=0,x+ay=3能围成三角形能围
19、成三角形,求求a的取值的取值范围范围.解解:当当x+y=2与与x+ay=3平行时平行时,1a-11=0,即即a=1;当当x-y=0与与x+ay=3平行时平行时,1a-(-1)1=0,即即a=-1.当当 时时,即两直线交于即两直线交于(1,1)点点.当当x+ay=3过过(1,1)点时点时,a=2,三条直线围成三角形时三条直线围成三角形时,a(-,-1)(-1,1)(1,2)(2,+).0y-x2yx返回返回 1.1.两条直线的交点与方程组解的关系是怎样的两条直线的交点与方程组解的关系是怎样的?(1)(1)根据直线方程的定义根据直线方程的定义,两直线的交点坐标同时满足这两两直线的交点坐标同时满足这
20、两条直线的方程条直线的方程,所以是它们的公共解所以是它们的公共解,即是由它们的方程所即是由它们的方程所组成的方程组的解组成的方程组的解.(2)(2)若直线若直线l l1 1:A:A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0与直线与直线l l2 2:A:A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0有交点有交点,则要求则要求l l1 1与与l l2 2的交点坐标就是求由它们的方程组成的方程的交点坐标就是求由它们的方程组成的方程组组 A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0 A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0的解的解.2.两条直线的位置关系与方程
21、组解的个数有什么关系两条直线的位置关系与方程组解的个数有什么关系?(1)在同一平面内在同一平面内,两条直线的位置关系有三种两条直线的位置关系有三种:相交、平行、相交、平行、重合重合.在同一平面内两条直线有且只有一个公共点在同一平面内两条直线有且只有一个公共点,则称之为则称之为相交相交;没有公共点没有公共点,则称之为平行则称之为平行;有无数个公共点有无数个公共点,则称之为则称之为重合重合.返回返回(2)(2)已知两条直线的方程分别是已知两条直线的方程分别是l l1 1:A:A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0,l=0,l2 2:A:A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0,=
22、0,如果如果l l1 1与与l l2 2相交且交点相交且交点为为P(xP(x0 0,y,y0 0),),则则P P点的坐标应满足方程组点的坐标应满足方程组 如果如果P P点的坐标是方程组点的坐标是方程组的唯一解的唯一解,则则P P点是直线点是直线l l1 1与与l l2 2的交点的交点.因此因此,两条直线是否有交点两条直线是否有交点,就要看方程组就要看方程组 是否有唯一解是否有唯一解.当方程组当方程组 有无穷多个解时有无穷多个解时,说明直线说明直线l l1 1与与l l2 2重合重合;当方程组无解时当方程组无解时,说明直线说明直线l l1 1与与l l2 2平行平行.0CyBx A 0CyBx
23、 A2221110CyBx A 0CyBx A2221110CyBx A 0CyBx A2221110CyBx A 0CyBx A222111返回返回 1.求两直线求两直线l1,l2的交点的交点,就是求解由直线就是求解由直线l1,l2的方程组成的方程组成的方程组的方程组.其理论依据是直线的方程和方程的直线的其理论依据是直线的方程和方程的直线的概念概念.两直线相交两直线相交,则交点同时在这两直线上则交点同时在这两直线上,交点的坐交点的坐标一定是两直线方程的解标一定是两直线方程的解;若这两直线的方程组成的若这两直线的方程组成的方程组只有一个公共解方程组只有一个公共解,则以这个解为坐标的点必是则以这个解为坐标的点必是曲线的交点曲线的交点.2.过直线过直线A1x+B1y+C1=0和直线和直线A2x+B2y+C2=0交点的交点的直线系（不含直线直线系（不含直线A2x+B2y+C2=0）方程为）方程为A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(R).返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回 返回返回
