1、回归分析的基本思想及其初步应用回归分析的基本思想及其初步应用学习目标：学习目标：1 1、回顾必修、回顾必修3 3统计相关内容，介绍回归统计相关内容，介绍回归 分析的思想与步骤；分析的思想与步骤；2 2、线性回归模型与回归模型的、线性回归模型与回归模型的R R2 2检验；检验；-必修三内容回顾必修三内容回顾-如：如：正方形的面积正方形的面积y y与正方形的边长与正方形的边长x x之间的之间的 函数关系函数关系是是 y=xy=x2 2确定性关系确定性关系如：如：某水田水稻产量某水田水稻产量y y与施肥量与施肥量x x之间没有一个之间没有一个确定性的关系确定性的关系 在在 7 7 块并排、形状大小相
2、同的试验田上块并排、形状大小相同的试验田上 进行施肥量对水稻产量影响的试验，得到如下进行施肥量对水稻产量影响的试验，得到如下所示的一组数据：所示的一组数据：施化肥量施化肥量x x 15 20 25 30 35 40 45 15 20 25 30 35 40 45水稻产量水稻产量y y 330 345 365 405 445 450 455330 345 365 405 445 450 4551 1、变量之间的两种关系、变量之间的两种关系-函数关系和相关关系函数关系和相关关系 自变量取值一定时，因变量的取值带有一自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做定随机性的两个变
3、量之间的关系叫做相关关系相关关系。相关关系是一种不确定性关系；相关关系是一种不确定性关系；例、下列各组变量中，不是相关关系的是（例、下列各组变量中，不是相关关系的是（）A.A.销售人员工作年限与销售额大小销售人员工作年限与销售额大小 B.B.圆的周长与它的半径圆的周长与它的半径 C.C.光照时间与果树的亩产量光照时间与果树的亩产量 D.D.数学成绩与物理成绩数学成绩与物理成绩B正相关正相关负相关负相关2 2、散点图、散点图3 3、回归直线方程、回归直线方程 y=bx+a(x,y)(x,y)称为样本点的中心称为样本点的中心。n n(x x-x x)(y y-y y)i ii ii i=1 1b
4、b=n n2 2(x x-x x)i ii i=1 1a a=y y-b bx x.n nn n1 11 1其其 中中 x x=x x,y y=y y.i ii in nn ni i=1 1i i=1 1n niiiii=1i=1n n2 22 2i ii=1i=1x y-nxyx y-nxy=,=,x-nxx-nx性质：性质：回归直线过样本点的中心回归直线过样本点的中心1 1、计算、计算 ；2 2、计算未知参数、计算未知参数 ；3 3、写出线性回归方程、写出线性回归方程niiniiixyxyx121,ab,axby4 4、求线性回归直线方程的步骤、求线性回归直线方程的步骤统计检验通过后，最后
5、是统计检验通过后，最后是利用回归模型，根据自变量去估计、利用回归模型，根据自变量去估计、预测因变量预测因变量。回归分析通过一个变量或一些变量的变化解释回归分析通过一个变量或一些变量的变化解释另一变量的变化。另一变量的变化。其主要内容和步骤是：其主要内容和步骤是：首先根据理论和对问题的分析判断，首先根据理论和对问题的分析判断，将变量分为自变量和因变将变量分为自变量和因变量量；其次，设法其次，设法找出合适的数学方程式（即回归模型）找出合适的数学方程式（即回归模型）描述变量间描述变量间的关系；的关系；由于涉及到的变量具有不确定性，接着还要由于涉及到的变量具有不确定性，接着还要对回归模型进行对回归模型
6、进行统计检验统计检验；5 5、回归分析的内容和步骤、回归分析的内容和步骤例、下表是某小卖部例、下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数天卖出热茶的杯数(y)与当天气温与当天气温(x)的对比表：的对比表：(1)试用最小二乘法求出线性回归方程；试用最小二乘法求出线性回归方程；(2)如果某天的气温是如果某天的气温是-3，请预测这天可能会卖出热茶多少杯，请预测这天可能会卖出热茶多少杯(1)作散点图如图所示作散点图如图所示 解解由散点图知两个变量是线由散点图知两个变量是线性相关的性相关的于是：于是：由由19106415043810341324182026111 nnniiiyxyxyx1286)1(410131
7、82622222222112 nniixxx648.1335335612863115335619102121xnxyxnyxbniiniii557.57335)648.1(3115xbya于是，线性回归方程为于是，线性回归方程为 y=57.557-1.648x y=57.557-1.648x 2)2)由回归方程知，当某天的气温是由回归方程知，当某天的气温是-3-3时，卖出的热茶杯数为时，卖出的热茶杯数为 57.557-1.64857.557-1.648(-3)63(-3)63(杯）杯）练习：假设关于某设备的使用年限练习：假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用和所支出的维修费用y（万元），
8、（万元），有如下的统计资料有如下的统计资料 试求：试求：(1)线性回归方程；线性回归方程；(2)估计使用年限为估计使用年限为10年时，维修费用是多少？年时，维修费用是多少？参考数据：参考数据：使用年限x 23456维修费用y 2.23.85.56.57.055211112.3,90iiiiix yx比比数学数学3 3中中“回归回归”增加的内容增加的内容数学数学统计统计1.1.画散点图画散点图2.2.了解最小二乘法了解最小二乘法的思想的思想3.3.求回归直线方程求回归直线方程y ybxbxa a4.4.用回归直线方程用回归直线方程解决应用问题解决应用问题选修-统计案例5.5.引入线性回归模型引入
9、线性回归模型y ybxbxa ae e6.6.了解模型中随机误差项了解模型中随机误差项e e产产生的原因生的原因7.7.了解相关指数了解相关指数 R R 2 2 和模型和模型拟合的效果之间的关系拟合的效果之间的关系8.8.了解残差图的作用了解残差图的作用9.9.利用线性回归模型解决一类利用线性回归模型解决一类非线性回归问题非线性回归问题10.10.正确理解分析方法与结果正确理解分析方法与结果-线性回归模型线性回归模型-例例1 从某大学中随机选取从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。所示。编号12345678身高/cm165 165 15
10、7 170 175 165 155 170体重/kg4857505464614359求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。的女大学生的体重。案例：女大学生的身高与体重案例：女大学生的身高与体重解：解：1、选取身高为自变量、选取身高为自变量x，体重为因变量，体重为因变量y，作散点图：，作散点图：2、由散点图知道身高和体重有比较、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。回归方程刻画它们之间的关系。172
11、.85849.0 xy分析：由于问题中分析：由于问题中要求根据身高预报要求根据身高预报体重，因此选取身体重，因此选取身高为自变量，体重高为自变量，体重为因变量为因变量学学身身高高172cm女172cm女大大生生体体重重y=0.849y=0.849172-85.712=60.316(kg)172-85.712=60.316(kg)2.2.回归方程：回归方程：1.散点图；散点图；例例1 从某大学中随机选取从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如表名女大学生，其身高和体重数据如表1-1所示。所示。编号12345678身高/cm165 165 157 170 175 165 155 170体
12、重/kg4857505464614359求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程，并预报一名身高为172cm的女大学生的体重。的女大学生的体重。案例案例1：女大学生的身高与体：女大学生的身高与体重重解：解：1、选取身高为自变量、选取身高为自变量x，体重为因变量，体重为因变量y，作散点图：，作散点图：2、由散点图知道身高和体重有比较、由散点图知道身高和体重有比较好的线性相关关系，因此可以用线性好的线性相关关系，因此可以用线性回归方程刻画它们之间的关系。回归方程刻画它们之间的关系。3、从散点图还看到，样本点散布在、从散点图还看到
13、，样本点散布在某一条直线的附近，而不是在一条某一条直线的附近，而不是在一条直线上，所以不能用一次函数直线上，所以不能用一次函数y=bx+a描述它们关系。描述它们关系。探究：探究：身高为身高为172cm的女大学生的体重一定是的女大学生的体重一定是60.316kg吗？如果不是，你能解析一下原因吗？吗？如果不是，你能解析一下原因吗？思考思考:产生随机误差项产生随机误差项e e的原因是什么？的原因是什么？我们可以用下面的我们可以用下面的线性回归模型线性回归模型来表示：来表示：y=bx+a+ey=bx+a+e，其中其中a a和和b b为模型的未知参数，为模型的未知参数，e e称为随机误差。称为随机误差。
14、随机误差随机误差e e的来源的来源(可以推广到一般）：可以推广到一般）：1 1、忽略了其它因素的影响：影响身高、忽略了其它因素的影响：影响身高 y y 的因素不的因素不只是体重只是体重 x x，可能还包括遗传基因、饮食习惯、，可能还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素；生长环境等因素；2 2、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差；、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差；3 3、身高、身高 y y 的观测误差。的观测误差。以上三项误差越小，说明我们的回归模型的拟以上三项误差越小，说明我们的回归模型的拟合效果越好。合效果越好。函数模型与回归模型之间的差别函数模型与回归模型之间的差别函数模型：
15、abxy回归模型：eabxy可以提供选择模型的准则函数模型：abxy回归模型：eabxy 线性回归模型线性回归模型y=bx+a+ey=bx+a+e增加了随机误差项增加了随机误差项e e，因变量因变量y y的值由自变量的值由自变量x x和随机误差项和随机误差项e e共同确定，共同确定，即即自变量自变量x x只能解释部分只能解释部分y y的变化的变化。在统计中，我们也把自变量在统计中，我们也把自变量x x称为解释变量，称为解释变量，因变量因变量y y称为预报变量。称为预报变量。-残差分析残差分析-1、残差分析与残差图的定义：、残差分析与残差图的定义：然后，我们可以通过残差然后，我们可以通过残差来判
16、断模型来判断模型拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的拟合的效果，判断原始数据中是否存在可疑数据，这方面的分析工作称为残差分析。分析工作称为残差分析。12,ne ee 我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，我们可以利用图形来分析残差特性，作图时纵坐标为残差，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，横坐标可以选为样本编号，或身高数据，或体重估计值等，这样作出的图形称为残差图。这样作出的图形称为残差图。数据点和它在回归直线上相应位置的差异数据点和它在回归直线上相应位置的差异是随机误差是随机误差的效应，称的效应，称为残差。为残差。)iiyy(iiieyy=注意
17、：注意：1 1）残差分析步骤：）残差分析步骤：1 1）计算每组数据的残差，即样本值减预测值）计算每组数据的残差，即样本值减预测值2 2）画残差图。纵坐标为残差，横坐标为自变量。）画残差图。纵坐标为残差，横坐标为自变量。3 3）分析残差图）分析残差图4 4）找异常值）找异常值)iiyy(2）残差图的制作：）残差图的制作：坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择坐标纵轴为残差变量，横轴可以有不同的选择.横轴横轴为编号：可以考察残差与编号次序之间的关系，常用于为编号：可以考察残差与编号次序之间的关系，常用于调查数据错误调查数据错误.横轴为解释变量：可以考察残差与解释变量的关系，横轴为解释变量：可以考
18、察残差与解释变量的关系，常用于研究模型是否有改进的余地常用于研究模型是否有改进的余地.下表列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。下表列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。编号编号12345678身高身高/cm165165157170175165155170体重体重/kg4857505464614359残差残差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382残残差差图图问题数据问题数据越窄越好越窄越好注意：残差图的作用：注意：残差图的作用：1)发现原始数据中的可疑数据，问题数据发现原始数据中的可疑数据，问题数据2)判断模型的适
19、用性，若模型选择的正确，残差图中的点应该判断模型的适用性，若模型选择的正确，残差图中的点应该比较均匀地落在比较均匀地落在以横轴为中心的以横轴为中心的水平的带状区域中水平的带状区域中带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高，带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，回归方程的预报精度越高，说明选用的模型较合适。说明选用的模型较合适。-R-R2 2检验检验-回归模型：eabxy 我们用回归方程我们用回归方程 中的中的 估计上式中的估计上式中的 。由于。由于 ，所以，所以 是是e e的估计量。的估计量。对于样本点对于样本点axbyyabx)(abxyeyye),(,),(),
20、(2211nnyxyxyx 其估计值为其估计值为niaxbyyyeiiiii,2,1,ie成为相应于点成为相应于点 的残差。的残差。),(iiyx我们可以用我们可以用相关指数相关指数R2来刻画回归的效果，其计算公式是来刻画回归的效果，其计算公式是22121()11()niiiniiyyRyy残差平方和。总偏差平方和相关指数相关指数R R2 21.公式公式例例2、在一段时间内，某种商品的价格、在一段时间内，某种商品的价格x元和需求量元和需求量Y件之间件之间的一组数据为：的一组数据为：求出求出Y对对x的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。的回归直线方程，并说明拟合效果的好坏。价格价格x141618
21、2022需求量需求量Y1210753解：解：18,7.4,xy555221111660,327,620,iiiiiiixyx y7.4 1.15 1828.1.a1.1528.1.yx 回归直线方程为：51522155iiiiix yxybxx26205 18 7.41.15.16605 18 价格价格x1416182022需求量需求量Y1210753列出残差表为列出残差表为521()iiiyy0.3,521()iiyy53.2,5221521()1()iiiiiyyRyy 0.994因而，拟合效果较好。因而，拟合效果较好。iiyyiyy00.3-0.4-0.10.24.62.6-0.4-2.
22、4-4.4用身高预报体重时，需要注意下列问题：用身高预报体重时，需要注意下列问题：1、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体；、回归方程只适用于我们所研究的样本的总体；2、我们所建立的回归方程一般都有时间性；、我们所建立的回归方程一般都有时间性；3、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围；、样本采集的范围会影响回归方程的适用范围；4、不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。、不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值。事实上，它是预报变量的可能取值的平均值。事实上，它是预报变量的可能取值的平均值。这些问题也使用于其他问题。这些问题也使用于其他问题。涉及到统计的一些思想：涉及到统
23、计的一些思想：模型适用的总体；模型适用的总体；模型的时间性；模型的时间性；样本的取值范围对模型的影响；样本的取值范围对模型的影响；模型预报结果的正确理解。模型预报结果的正确理解。小结小结一般地，建立回归模型的基本步骤为：一般地，建立回归模型的基本步骤为：（1）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。）确定研究对象，明确哪个变量是解析变量，哪个变量是预报变量。（2）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系）画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系 （如是否存在线性关系等）。（如是否存在线性关系等）。（3）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到
24、数据呈线性关系，则）由经验确定回归方程的类型（如我们观察到数据呈线性关系，则选用线性回归方程选用线性回归方程y=bx+a）.（4）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。）按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）。（5）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残）得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性，等等），过存在异常，则检查数据是否有误，或差呈现不随机的规律性，等等），过存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。模型是否合适等。相关系数相关系数 1.1.计算公式计算公式 2 2相关系数的性质相关系数的性质(1)|r
25、|1(1)|r|1(2)|r|(2)|r|越接近于越接近于1 1，相关程度越大；，相关程度越大；|r|r|越接越接近于近于0 0，相关程度越小，相关程度越小 问题：达到怎样程度，问题：达到怎样程度，x x、y y线性相关呢？它线性相关呢？它们的相关程度怎样呢？们的相关程度怎样呢？n n(x-x)(y-y)(x-x)(y-y)iiiii=1i=1r=r=nnnn2222(x-x)(y-y)(x-x)(y-y)iiiii=1i=1i=1i=1n n(x-x)(y-y)(x-x)(y-y)iiiii=1i=1r=r=nnnn2222(x-x)(y-y)(x-x)(y-y)iiiii=1i=1i=1i=1相关系数相关系数正相关；负相关通常，正相关；负相关通常，r r-1,-0.75-0.75-负相关很强负相关很强;r0.75,1正相关很强正相关很强;r-0.75,-0.3-负相关一般负相关一般;r0.3,0.75正相关一般正相关一般;r r-0.25,0.25-0.25-相关性较弱相关性较弱;相关关系的测度相关关系的测度（相关系数取值及其意义）
