1、第一章1.1空间向量及其运算1.1.2空间向量的数量积运算1.会识别空间向量的夹角.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法.3.能用空间向量数量积解决简单的立体几何问题.学习目标XUE XI MU BIAO内容索引知识梳理题型探究随堂演练课时对点练1知识梳理PART ONE知识点一空间向量的夹角1.定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作 a，b，则 叫做向量a，b的夹角，记作a，b.AOB2.范围：.特别地，当a，b 时，ab.0a，b思考 当a，b0和a，b时，向量a与b有什么关系？答案当a，b0时，a与b同向；当a，b时，a与b反向.知识点二空间向量的数量积定义
2、已知两个非零向量a，b，则|a|b|cos a，b叫做a，b的数量积，记作ab.即ab .规定：零向量与任何向量的数量积都为0.性质ab_aaa2|a|2运算律(a)b(ab)，R.abba(交换律).a(bc)abac(分配律).|a|b|cosa，bab0思考1向量的数量积运算是否满足结合律？答案不满足结合律，(ab)ca(bc)是错误的.答案不能，向量没有除法.知识点三 向量a的投影1.如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c|a|cosa，b，向量c称为向量a在向量b上的投影向
3、量.类似地，可以将向量a向直线l投影(如图(2).2.如图(3)，向量a向平面投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面的垂线，垂足分别为A，B，得到 ，向量 称为向量a在平面上的投影向量.这时，向量a，的夹角就是向量a所在直线与平面所成的角.2.若ab0，则a0或b0.()3.对于非零向量b，由abbc，可得ac.()4.若非零向量a，b为共线且同向的向量，则ab|a|b|.()思考辨析 判断正误SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU2题型探究PART TWO一、数量积的计算例1如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求：cos 6
4、0cos 600.反思感悟求空间向量数量积的步骤(1)将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.(2)利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积.(3)代入ab|a|b|cosa，b求解.跟踪训练1(1)已知a3p2q，bpq，p和q是相互垂直的单位向量，则ab等于A.1 B.2C.3 D.4解析pq且|p|q|1，ab(3p2q)(pq)3p2pq2q23021.240022.二、利用数量积证明垂直问题例2如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O平面GBD.则ab0，bc0，ac0，|a|b|c|.又OGBDO，
5、OG平面GBD，BD平面GBD，A1O平面GBD.反思感悟用向量法证明几何中垂直关系问题的思路(1)要证两直线垂直，可分别构造与两直线平行的向量，只要证明这两个向量的数量积为0即可.(2)用向量法证明线面垂直，需将线面垂直转化为线线垂直，然后利用向量数量积证明线线垂直即可.跟踪训练2如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB60，AB2AD，PD底面ABCD.求证：PABD.证明在ADB中，DAB60，AB2AD，所以AD2BD2AB2，三、用数量积求解夹角和模例3如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，CACB1，BCA90，棱AA12，点N为AA1的中点.延伸探究2.(
6、变条件)本例中，若CACBAA11，其他条件不变，求异面直线CA1与AB的夹角.所以异面直线CA1与AB的夹角为60.反思感悟求向量的夹角和模(1)求两个向量的夹角：利用公式cosa，b 求cosa，b，进而确定a，b.(2)求线段长度(距离)：取此线段对应的向量；用其他已知夹角和模的向量表示该向量；利用|a|，计算出|a|，即得所求长度(距离).A.30 B.60C.90 D.120(2)已知在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AA1ABAD1，且这三条棱彼此之间的夹角都是60，则AC1的长为且a，bb，cc，a60，3随堂演练PART THREE1.如图所示，在正方体ABCDA1B1C
7、1D1中，下列各组向量的夹角为45的是123452.设ABCDA1B1C1D1是棱长为a的正方体，则有12345123454.若a，b，c为空间两两夹角都是60的三个单位向量，则|ab2c|_.12345解析|ab2c|2(ab2c)2a2b24c22ab4ac4bc5.12345601即PA1D为等边三角形，从而PA1D60，方法二根据向量的线性运算可得123451.知识清单：(1)空间向量的夹角、投影.(2)空间向量数量积、性质及运算律.2.方法归纳：化归转化.3.常见误区：空间向量的数量积的三点注意(1)数量积的符号由夹角的余弦值决定.(2)当a0，由ab0可得ab或b0.课堂小结KE
8、TANG XIAO JIE4课时对点练PART FOUR1.已知向量A和B的夹角为120，且|A|2，|B|5，则(2AB)A等于基础巩固12345678910 11 12 13 14 15 16解析(2ab)a2a2ba2|a|2|a|b|cos 1202.已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|b|1，ab ，则两直线的夹角为A.30 B.60C.120 D.15012345678910 11 12 13 14 15 16所以120，则两个方向向量对应的直线的夹角为18012060.3.已知e1，e2为单位向量，且e1e2，若a2e13e2，bke14e2，ab，则实数k的值为A.6
9、 B.6 C.3 D.312345678910 11 12 13 14 15 16解析由题意可得ab0，e1e20，|e1|e2|1，所以(2e13e2)(ke14e2)0，所以2k120，所以k6.4.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则 的值为12345678910 11 12 13 14 15 165.已知四边形ABCD为矩形，PA平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是解析可用排除法.因为PA平面ABCD，又由ADAB，ADPA可得AD平面PAB，所以ADPB，12345678910 11 12
10、 13 14 15 166.已知|a|13，|b|19，|ab|24，则|ab|_.12345678910 11 12 13 14 15 1622解析|ab|2a22abb21322ab192242，2ab46，|ab|2a22abb253046484，故|ab|22.7.已知a3b与7a5b垂直，且a4b与7a2b垂直，则a，b_.60解析由条件知(a3b)(7a5b)7|a|215|b|216ab0，(a4b)(7a2b)7|a|28|b|230ab0，两式相减得46ab23|b|2，代入上面两个式子中的任意一个，得|a|b|，所以a，b60.12345678910 11 12 13 14
11、 15 1612345678910 11 12 13 14 15 160090由题意知OO1是正四棱台ABCDA1B1C1D1的高，故OO1平面A1B1C1D1，12345678910 11 12 13 14 15 169.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求异面直线A1B与AC所成的角.12345678910 11 12 13 14 15 16解不妨设正方体的棱长为1，则|a|b|c|1，异面直线A1B与AC所成的角为60.12345678910 11 12 13 14 15 1610.如图，正四棱锥PABCD的各棱长都为a.(1)用向量法证明BDPC；12345678910 1
12、1 12 13 14 15 16BDPC.12345678910 11 12 13 14 15 16a2a2a202a2cos 602a2cos 605a2，A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等边三角形综合运用即ABC是等腰三角形.12345678910 11 12 13 14 15 1612.已知a，b是异面直线，A，Ba，C，Db，ACb，BDb，且AB2，CD1，则a与b所成的角是A.30 B.45 C.60 D.9012345678910 11 12 13 14 15 1612345678910 11 12 13 14 15 16异面直线所成的角是锐角或直角，a与b
13、所成的角是60.13.已知空间向量a，b，c满足abc0，|a|3，|b|1，|c|4，则abbcca的值为A.13 B.5 C.5 D.1312345678910 11 12 13 14 15 16解析abc0，(abc)20，a2b2c22(abbcca)0，14.已知棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则 的值为_.12345678910 11 12 13 14 15 16112345678910 11 12 13 14 15 16拓广探究12345678910 11 12 13 14 15 1616.如图所示，已知线段AB在平面内，线段AC，线段BDAB，且AB7，ACBD24，线段BD与所成的角为30，求CD的长.12345678910 11 12 13 14 15 16解由AC，可知ACAB，过点D作DD1，D1为垂足，连接BD1，则DBD1为BD与所成的角，即DBD130，所以BDD160，因为AC，DD1，所以ACDD1，12345678910 11 12 13 14 15 16因为BDAB，ACAB，2427224222424cos 120625，12345678910 11 12 13 14 15 16本课结束更多精彩内容请登录：
