1、单位圆与三角函数线单位圆与三角函数线 对于角对于角的各种三角函数我们都是用比值来的各种三角函数我们都是用比值来表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学表示的，或者说是用数来表示的，今天我们再来学习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法习正弦、余弦、正切函数的另一种表示方法几几何表示法何表示法.1.1.了解单位圆的概念了解单位圆的概念.2.2.能够用正弦线、余弦线、正切线表示任意角的能够用正弦线、余弦线、正切线表示任意角的 三角函数值三角函数值.（重点、难点）（重点、难点）P(x,y)P(x,y)xyo知识回顾知识回顾（1 1）角）角 的正弦、余弦、正切是怎样定义的？的正弦、余弦、正切是怎样定
2、义的？cossintan.yyxrrx，r(3)(3)数轴上向量的数量（坐标）是如何规定的？数轴上向量的数量（坐标）是如何规定的？数轴上的向量数轴上的向量 的坐标是一个的坐标是一个实数，实数，这个实数的这个实数的绝对值为线段的长度，如果向量的方向与数轴的方绝对值为线段的长度，如果向量的方向与数轴的方向相同取正，反之取负向相同取正，反之取负.AB AB（2 2）角）角 的正弦、余弦、正切值与终边上的正弦、余弦、正切值与终边上P P点点的位置是否有关？的位置是否有关？与与P P点位置无关，与角点位置无关，与角大小有关大小有关.x从定义看出：角从定义看出：角的三角函数是两个变量的比值的三角函数是两个
3、变量的比值.为了简单地计算其正余弦、正切，我们可以使分母为了简单地计算其正余弦、正切，我们可以使分母为为1.1.问题问题1 1：当：当r=1r=1时，即时，即P P点到原点的距离为点到原点的距离为1.1.所有所有满足条件的点满足条件的点P P构成什么图形？构成什么图形？以原点为圆心，半径为的圆以原点为圆心，半径为的圆.探究点探究点1 1：单位圆的定义：单位圆的定义x xy yO OP(x,y)P(x,y)终边终边 sin=sin=y y1 1=y=ycos=cos=x x1 1=x=x我们把半径为我们把半径为1 1的圆叫做的圆叫做单位圆单位圆，设单位圆的圆心，设单位圆的圆心与坐标原点重合，如图
4、所示，设任意角与坐标原点重合，如图所示，设任意角与单位与单位圆交于点圆交于点 P(x,y)P(x,y)，则，则r=|OP|=1.r=|OP|=1.问题问题2 2：当角：当角是第一象限角时，能否在坐标轴上是第一象限角时，能否在坐标轴上找到两个以原点为起点的向量找到两个以原点为起点的向量,使使P P点的坐标分别是点的坐标分别是这两个向量的数量？这两个向量的数量？过作垂直过作垂直x x轴于点，作垂直轴于点，作垂直y y轴于点轴于点，则点，分别是点，则点，分别是点P P在在x x轴、轴、y y轴上的轴上的正射影正射影（简称射影（简称射影).).向向 量量 O ON N的的 数数 量量 O ON N=y
5、 y向向 量量 O OM M的的 数数 量量 O OM M=x xo oP P（x,yx,y）N Nx xM M探究点探究点2 2：正弦线、余弦线：正弦线、余弦线y y向向 量量 M MP P的的 数数 量量 M MP P=y y问题问题3 3：当终边在第一象限时，角：当终边在第一象限时，角的正、余弦与的正、余弦与的纵、横坐标的纵、横坐标y y，x x之间有何关系？之间有何关系？sin 1yy xxcos=1由问题由问题1 1，2 2你得到角你得到角的正、余弦值的正、余弦值与向量的数量有什么关系？与向量的数量有什么关系？yoxPNMsinyxO ON N,O OM Mcos结论：第一象限角结论
6、：第一象限角的正、余弦值分别等于的正、余弦值分别等于终边与单位圆交点的纵、横坐标，也分别等终边与单位圆交点的纵、横坐标，也分别等于于 ,的数量的数量,即即O ON NO OM Mcoscos=x=OM=x=OM,一般结论：一般结论：角角的余弦和正弦分别等于角的余弦和正弦分别等于角的终的终边与单位圆交点的横坐标和纵坐标，即边与单位圆交点的横坐标和纵坐标，即 O OM M,O ON N(M MP P我我们们把把向向量量叫叫做做角角)余余弦弦线线，的的正正弦弦线线.sinsin=y=ON=y=ON正弦、余弦线是向量正弦、余弦线是向量正弦、余弦值是数量正弦、余弦值是数量x xy yo oP(x,y)P
7、(x,y)终边终边 x xy yo oM MM MP(x,y)P(x,y)一二象限正、余弦线一二象限正、余弦线终边终边 x xy yo ox xy yo oM MM M三四象限正、余弦线三四象限正、余弦线终边终边 终边终边 P(x,y)P(x,y)P(x,y)P(x,y)问题问题4 4：是第一象限角，能否在坐标系中找到一个是第一象限角，能否在坐标系中找到一个垂直于垂直于x x轴的向量，使它的数量为轴的向量，使它的数量为的正切？的正切？点是过单位圆与点是过单位圆与x x轴正半轴的交点作圆的切线轴正半轴的交点作圆的切线与与终边的交点终边的交点yxoPTM AtanAT探究点探究点3 3：正切线的定
8、义：正切线的定义问题问题5 5：角：角是第二象限的角时能否找到一个是第二象限的角时能否找到一个垂直于垂直于x x轴的向量，使其数量为轴的向量，使其数量为tantan？能否找到一个以点为起点在过能否找到一个以点为起点在过A A 的切线上的向量，使这一向量的切线上的向量，使这一向量的数量为的数量为tantan？tanT Ayo的终边的终边TA1T1（-1，y1）AT T1 1的坐标为（的坐标为（-1-1，y y1 1），则），则tan=tan=11,1 yyx以以A A为原点建立为原点建立yy轴与轴与y y轴同向，轴同向，yy轴与轴与角角的终边的终边(或其反向延长线或其反向延长线)相交于点相交于点
9、T(T(或或T)T)，则则tan=AT(tan=AT(或或AT).AT).我们把轴上向量叫做我们把轴上向量叫做的正切线的正切线.()ATAT或答：答：角角的终边在的终边在x x轴上时轴上时,点点P P与点与点M M 重合重合,点点T T与与点点A A重合重合,此时此时,正弦线和正切线变成了一点正弦线和正切线变成了一点,它们它们的数量为的数量为0,0,而余弦线而余弦线OM=1OM=1或或-1.-1.终边在终边在x x轴、轴、y y轴上时，三角函数线有何特点？轴上时，三角函数线有何特点？数量值是什么？数量值是什么？问题问题6:6:当角当角的终边落在的终边落在y y轴上时轴上时,正弦线正弦线MP=1
10、MP=1或或-1,-1,余余弦线变成了一点，数量为零弦线变成了一点，数量为零,正切线不存在正切线不存在.提升总结：提升总结：(1)(1)三角函数线的位置三角函数线的位置:正弦线为正弦线为的终边与单位圆的交点到的终边与单位圆的交点到x x轴的垂直的轴的垂直的有向线段，余弦线在有向线段，余弦线在x x轴上轴上;正切线在单位圆与正切线在单位圆与x x轴正方向的交点的切线上；轴正方向的交点的切线上；三条有向线段中两条在单位圆内三条有向线段中两条在单位圆内,一条在单位圆外一条在单位圆外.(2)(2)三角函数线的方向三角函数线的方向:正弦线由垂足指向正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点的终边与单位圆的交点
11、,余弦线由原点指向垂足；余弦线由原点指向垂足；正切线由切点指向与正切线由切点指向与终边的交点终边的交点.2 23 3例例1.1.分分别别作作出出和和-的的正正弦弦线线、余余弦弦线线和和正正切切线线.3434在在直直角角坐坐系系中中作作位位如如所所示示.以.以Ox正Ox正方方向向始始22作作的的与与位位交交于于P，P，3 3作作PMPMOx，Ox，垂垂足足M，M，由由位位与与Ox正Ox正方方向向的的交交A作A作Ox的Ox的垂垂与与OP的OP的反反向向延延交交于于，解解：T T标标单单圆圆图图轴轴为为边边终终边边单单圆圆点点轴轴为为单单圆圆点点轴轴线线长长线线点点【例题精讲例题精讲】222222s
12、in=MP,cos=OM,tan=AT.sin=MP,cos=OM,tan=AT.33333322即即的的正正弦弦MP，MP，余余弦弦OM，OM，正正3 3切切AT.AT.则则线线为为线线为为线线为为同理可作出同理可作出 的正弦线、的正弦线、余弦线和正切线，如图，余弦线和正切线，如图，3 34 4 3 33 33 3sin(-)=M P,cos(-)=OM,tan(-)=AT.sin(-)=M P,cos(-)=OM,tan(-)=AT.444444即即 的正弦线为的正弦线为 ，余弦线为，余弦线为 ,正切线正切线为为 .M PM P OMOM A AT T3 3-4 4例例2.2.比较大小：比
13、较大小：(1)sin 1(1)sin 1和和sin 1.5.sin 1.5.(2)cos 1(2)cos 1和和cos 1.5.cos 1.5.(3)tan 2(3)tan 2和和tan 3.tan 3.解：解：由三角函数线得由三角函数线得sin 1sin 1.5sin 1cos 1.5cos 1cos 1.5；x xy ytan 2tan 3.tan 2cos tan B.cos tan sin C.tan sin cos D.sin tan cos C CA A.M MP P O OM M 0 0 M MP PC C.O OM M M MP P 0 0 O OM MD DM MP P78O
14、 OM M3.3.已已知知sinsinsinsin,那那么么下下列列命命题题正正确确的的是是（）A.A.若若,是是第第一一象象限限角角，则则coscoscoscosB.B.若若,是是第第二二象象限限角角，则则tantantantanC.C.若若,是是第第三三象象限限角角，则则coscoscoscosD.D.若若,是是第第四四象象限限角角，则则tantantantanD D5 57 75 57 75 57 7s si in n 与与s si in n c co os s 与与c co os s t ta an n与与t ta an n 4 46 64 46 64 46 6yP1P2x xoAT1
15、M1M2T24.4.利用三角函数线比较三角函数值的大小利用三角函数线比较三角函数值的大小.57tantan46 57sinsin46 解 解：57coscos46 1.1.三角函数线的作法三角函数线的作法：（1 1）建立平面直角坐标系，画出单位圆）建立平面直角坐标系，画出单位圆.（2 2）找出）找出 终边所在位置，设终边所在位置，设 的终边与单位的终边与单位圆交于点圆交于点P,P,作作 于于M M，作，作 于于N N，则则 是正弦线，是正弦线，是余弦线是余弦线.P PM Mx x轴轴M MP P或或 O ON NP PN Ny y轴轴O O M M（3 3）设单位圆与）设单位圆与x x轴的正半轴交于点轴的正半轴交于点A A，过点，过点A A的的切线与角的终边交于点切线与角的终边交于点T T（或其反向延长线交于（或其反向延长线交于点点 ），则），则 就是正切线就是正切线.T TA AT T或或 A AT T 2.2.三角函数线的应用：三角函数线的应用：（1 1）利用三角函数线比较三角函数值的大小）利用三角函数线比较三角函数值的大小.（2 2）已知三角函数值求角）已知三角函数值求角.把一页书好好地消化，胜过匆匆地阅读一本书把一页书好好地消化，胜过匆匆地阅读一本书.麦考莱麦考莱
