1、第五章第五章 解析函数的洛朗展式解析函数的洛朗展式 与孤立奇点与孤立奇点1 1.解析函数的洛朗解析函数的洛朗(Laurent)(Laurent)展式展式2.2.解析函数的孤立奇点解析函数的孤立奇点3.3.解析函数在无穷远点的性质解析函数在无穷远点的性质4.4.整函数与亚纯函数的概念整函数与亚纯函数的概念&1.1 双边幂级数双边幂级数&1.2 解析函数的洛朗展式解析函数的洛朗展式&1.3 洛朗级数与泰勒级数的关系洛朗级数与泰勒级数的关系&1.4 解析函数在孤立奇点邻域内的解析函数在孤立奇点邻域内的 洛朗展式洛朗展式1 1.解析函数的洛朗解析函数的洛朗(Laurent)(Laurent)展式展式
2、引言引言：由由4.34.3 知知,f(z)在在 z0 解析解析，则，则 f(z)总可以总可以在在z0 的某一个圆域的某一个圆域 z-z0R 内内展开成展开成 z-z0 的幂级数。的幂级数。若若 f(z)在在 z0 点不解析，点不解析，在在 z0的的邻域中就不可能展开成邻域中就不可能展开成 z-z0 的幂级数，但如果在圆环域的幂级数，但如果在圆环域 R1z-z0 R2 内内解析，解析，那么，那么，f(z)能否用能否用级数表示呢？（级数表示呢？（本章要讨论的问题本章要讨论的问题）例如例如:.11010:,1,0)1(1)(内内处处处处解解析析及及圆圆环环域域但但在在都都不不解解析析在在 zzzzz
3、zzf nzzzzz2111zzzzzfz 111)1(1)(,10时时当当 )1(1111)1(1)(,110zzzzzfz时时当当 nnnnzzczzcczzczzczf)()()()()(00101010由此推想，若由此推想，若f(z)在在R 1z-z0R2 内解析内解析,f(z)可以可以展开成幂级数，只是这个级数可能含有负幂次项展开成幂级数，只是这个级数可能含有负幂次项,即即 1211)1()1(111)1()1()1(111nnzzzzzzzz 本节将讨论在以本节将讨论在以z 0为中心的为中心的圆环域圆环域内解析内解析的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解的函数的级数表示法。它是后
4、面将要研究的解析函数在析函数在孤立奇点孤立奇点邻域内的性质以及定义邻域内的性质以及定义留数留数和计算留数的基础。和计算留数的基础。1.1 双边幂级数双边幂级数-含有正负幂项的级数含有正负幂项的级数定义定义 形如形如)1()()()()()(001010100 nnnnnnnzzczzcczzczzczzc-称为双边幂级数称为双边幂级数正幂项正幂项(包括常数项包括常数项)部分部分：)2()()()(001000 nnnnnzzczzcczzc都是常数都是常数及及其中其中),2,1,0(0 nczn负幂项部分：负幂项部分：)3()()()(010110 nnnnnzzczzczzc级数级数(2)是
5、一幂级数，设收敛半径为是一幂级数，设收敛半径为R2 ，则级数则级数在在 z-z0=R2 内收敛，且和为内收敛，且和为s(z)+;在在z-z0=R 2外发散。外发散。则则若若令令对对于于级级数数,1),3(0zz 级级数数发发散散。级级数数收收敛敛则则当当设设其其收收敛敛半半径径为为为为幂幂级级数数级级数数对对变变数数RRR ,)4()4()(221110 nnnnnnnncccczzc )4(,11,1100则则级级数数代代回回得得将将令令RRzzzz .;)(,1010发发散散当当且且和和为为收收敛敛当当RzzzsRzz z0R1R2有有公公共共收收敛敛域域21RR z0R2R1无无公公共共
6、收收敛敛域域21RR。且和且和收敛收敛称称，此时，此时，区域即圆环域：区域即圆环域：有公共收敛有公共收敛及及时，级数时，级数当且仅当当且仅当 )()()(,)()3()2(020121zszszszzcRzzRRRnnn.)()4(2010以以逐逐项项求求积积和和逐逐项项求求导导和和函函数数是是解解析析的的而而且且可可内内的的在在级级数数RzzRzzcnnn 定理定理5.1 02100)3(zzRR：，收收敛敛域域为为此此时时可可以以可可以以。，发发散散处处处处称称时时当当 nnnzzcRR)()1(021(2)(2)在圆环域的边界在圆环域的边界 z-z0=R1,z-z0=R2上上,nnnzz
7、c。点点收收敛敛，有有些些点点发发散散可可能能有有些些)(01.2 解析函数的洛朗展式解析函数的洛朗展式定理定理.)5(),2,1,0()()(21:)5()()(,:)(0100201的任何一条简单闭曲线内绕是其中则内解析在设zDcndzzzzficzzczfRzzRDzfcnnnnn级级数数内内的的在在称称为为LaurentRzzRDzf201:)(展展开开式式内内的的在在称称为为LaurentRzzRDzf201:)(证明证明 由复连通域上的由复连通域上的Cauchy 积分公式：积分公式：Dz0R1R2rRk1k2D1z(*)(21)(21)(12 dzfidzfizfkk 记为记为I1
8、记为记为I2，时时，当当1002 zzzk ，时时，当当记记为为1001 qzzzk )1(*)()()()(21(00010012 nnnnknnzzczzdzfiI 的推导得：重复3.4 nnzzzzzzzz)()()(10102000 00000111)(11zzzzzzzzz )2(*)()()()()(2)()()(2)()(2)()(21020210110010201021111 nnknnkkkzzczzczzcdzfizzdzfizzdfizzdzfiI :,2)(1逐项积分得逐项积分得并沿并沿两边乘以两边乘以kif 式式(*1),(*2)中系数中系数cn的积分分别是在的积分分
9、别是在k2，k1上进上进行的，在行的，在D内取绕内取绕z0的简单闭曲线的简单闭曲线c，由复合闭路由复合闭路定理可将定理可将cn写成写成统一式子：统一式子：),2,1,0()()(2110 ndzficknn nnnzzczf)()(0证毕！证毕！注：注：.)(,!)(,0)1(0)(解析的解析的内不是处处内不是处处在在相同相同形式上与高阶导数公式形式上与高阶导数公式系数系数时时当当czfnzfccnnnn 但但 (2)(2)在许多实际应用中，经常遇到在许多实际应用中，经常遇到f(z)在奇点在奇点 z0的邻域内解析，需要把的邻域内解析，需要把f(z)展成级数，那么展成级数，那么 就利用洛朗（就利
10、用洛朗（Laurent）级数来展开。级数来展开。级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为洛朗级数的解析部分和主要部分。洛朗级数的解析部分和主要部分。展开式的唯一性展开式的唯一性结论结论 一个在某一一个在某一圆环域内解析圆环域内解析的函数展开为含的函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是f(z)的洛朗级数。的洛朗级数。事实上事实上，)6()()(:)(0201 nnnzzazfRzzRDzf可可表表示示为为内内解解析析，在在设设 nnnzaf)()(0 Dz0R1R2cczDc 的的简简单单闭闭曲曲线线，
11、内内任任何何一一条条绕绕为为设设0的的正正向向积积分分得得：并并沿沿为为任任一一整整数数将将上上式式两两边边乘乘以以cPzP),()(110 Dz0R1R2cdzfiaiadzadzfcpppncnpncp101010)()(21)2.3(2)(1)()(解得：书例.,级级数数就就是是展展开开成成级级数数在在圆圆环环域域内内解解析析的的函函数数由由此此可可知知Laurent nnnzaf)()(0 由唯一性，将函数展开成由唯一性，将函数展开成Laurent级数，可级数，可用用间接法间接法。在大都数情况，均采用这一简便的方。在大都数情况，均采用这一简便的方法求函数在指定圆环域内的法求函数在指定圆
12、环域内的Laurent展开式，只有展开式，只有在个别情况下，才直接采用公式在个别情况下，才直接采用公式(5)求求Laurent系系数的方法。数的方法。1.3 1.3 洛朗级数与泰勒级数的关系洛朗级数与泰勒级数的关系一个函数f(z)可以在奇点展开为洛朗级数，也可在非奇点展开。此时的圆可以看成圆环的特殊情况。其中 的都等于零(由系数公式可看出)。因此泰勒级数是洛朗级数的特殊情况。,.)2,1(ncn例例1级数。的内展开成（在以下圆环域将Laurentzziiiziizizzzf02)(;21)(;1)2)(1(1)(0 xyo1221)(ziixyo12 ziii 2)(xyo121)zi（解解:
13、zzzf 2111)(2112111)(zzzf 故故1211)(zzzi 012)211(874321nnnzzz)421(21)1(22 zzzzzn没没有有奇奇点点2112111112111)(zzzzzzf 122 zz又又11121)(zzzii 0112122218421111)421(21)111(1nnnnnnnzzzzzzzzzzzz1222)(zzziiizzzzzzzf211111112111)(2100122111nnnnnnnzzzzz 4322273142111111zzzzzzzzz次次积积分分等等计计算算来来获获得得。、逐逐次次求求导导、逐逐泰泰勒勒展展开开式式
14、，经经过过代代换换基基本本初初等等函函数数的的展展开开式式，可可以以利利用用已已知知等等函函数数的的洛洛朗朗对对于于无无理理函函数数及及其其他他初初)1(2)(2)对于对于有理函数有理函数的的洛朗展开式，首先把有理洛朗展开式，首先把有理 函数分解成多项式与若干个最简分式之和，函数分解成多项式与若干个最简分式之和，然后利用已知的几何级数，经计算展成需要的然后利用已知的几何级数，经计算展成需要的形式。形式。小结：把小结：把f(z)展成洛朗展成洛朗(Laurent)级数的方法：级数的方法：例例2解解展展开开成成洛洛朗朗级级数数。在在求求 zzz0sin 012)!12()1(1sinnnnnzzzz
15、 z0 !5!31!5!314253zzzzzz1.4 1.4 解析函数在孤立奇点邻域内的洛解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式朗展式定义定义.)(,0,)(0000的的孤孤立立奇奇点点为为则则称称内内解解析析的的某某个个去去心心邻邻域域但但在在处处不不解解析析在在若若zfzzzzzzf .03级级数数内内展展开开成成在在将将Laurentzzez )!21(1!123033 nzzzznzzzennnz例例3解解例例4解解.01级级数数内内展展成成在在将将Laurentzez nttntte!1!2112在在复复平平面面上上，nznzzeztz!1!2111,121令令)0(z !4!31!2
16、11123nzzzzzn级级数数。域域内内展展开开成成的的去去心心邻邻在在以以点点将将Laurentzzzzzf2,1)2)(1(1)(解解 (1)在在(最大的最大的)去心邻域去心邻域例例5yxo12)1(11112111)(zzzzzf 20)2()1(111)1(11zzzzznn110 z(2)在在(最大的最大的)去心邻域去心邻域120 zxo12)2(11212111)(zzzzzf 20)2()2(121)2()1(21zzzzznnn内内展展开开成成幂幂级级数数。在在区区域域将将 10)2(,1)1(11)(zzezzfz练习：练习：这这与与唯唯一一性性并并不不矛矛盾盾。不不同同的
17、的区区域域上上的的展展式式，级级数数展展式式，这这是是因因为为在在数数由由许许多多种种不不同同的的由由此此可可以以看看出出同同一一个个函函)1(2)(2)根据区域判别级数方式：根据区域判别级数方式：在圆域内需要把在圆域内需要把 f(z)展成泰勒展成泰勒(Taylor)级数，级数，在环域内需要把在环域内需要把f(z)展成洛朗展成洛朗(Laurent)级数。级数。(3)Laurent级数与级数与Taylor 级数的不同点：级数的不同点：Taylor级数先展开求级数先展开求R,找出收敛域。找出收敛域。Laurent级数先求级数先求 f(z)的奇点，然后以的奇点，然后以 z0 为中心，奇点为分隔点，找出为中心，奇点为分隔点，找出z0到到无穷远无穷远 点的所有使点的所有使 f(z)解析的环，在环域上展成解析的环，在环域上展成 级数。级数。
