1、本章内容：本章内容：1、孤立奇点及其分类、孤立奇点及其分类2、留数概念及其计算、留数概念及其计算3、留数在计算定积分中的应用、留数在计算定积分中的应用1.孤立奇点概念孤立奇点概念0000()0z zf z()zf zzzf z定义：若 是的奇点，但在 的某一个去心邻域|-|m),()()zf zg zmnf zznmg z若 分别为、的 级、级零点（则 一定为的阶极点.z5z(e1)()sinf zz如：0()3n0)()5f znf z是的 级极点，（是的 级极点。练习：求下列函数的孤立奇点及类型练习：求下列函数的孤立奇点及类型234211651141311211zezzezezezezzz
2、zzsin)(.sincos.sin.233(1)(2)()(sin)zzf zz现在我们在扩充复平面上讨论问题。现在我们在扩充复平面上讨论问题。1.zRz 定义称区域为无穷远点=的一个 去心邻域。2.,()()Rf zRzf z 若存在使得函数在内解析，则称为的孤立奇点。2sin1,1(1)sinzzzz如：皆为二者的孤立奇点。1sin z但对于，为非孤立奇点。为什么？为什么？10|10|tzzzttzzRzttR 作变换，并且规定此变换把扩充 平面上的映射成扩充 平面上的点。同时这个变换也就把 平面上的的去心邻域映射成扩充 平面原点的去心邻域.1()0|t 0ttR 显然，在内是解析的，即
3、=是的孤立奇点。无穷远点的研究方法：无穷远点的研究方法：1()()().|()10|()f zfttRzf zttR 此时 这样就把在去心邻域内对函数的研究转化为在去心邻域内对的研究。t0(t)z=()f z 我们规定：如果是的某类奇点，那么就说为的某类奇点。这样无穷孤立奇点的分类问题就转化为对应函数这样无穷孤立奇点的分类问题就转化为对应函数的的t=0t=0点的类型问题点的类型问题。当然，也可通过直接罗朗展开而判别类型：当然，也可通过直接罗朗展开而判别类型：()()f zRf zRz 若 为的孤立奇点，则存在，使得在内解析，因而可作洛朗展开，根据洛朗展式的不同情况，有如下结论（1）若展式中）若
4、展式中不含不含z的正幂次项，的正幂次项，则无穷为则无穷为可去奇点；可去奇点；（2）若展式中）若展式中含含z 的有限个正幂次项，的有限个正幂次项，则无穷为则无穷为极点；极点；（3）若展式中）若展式中含含z的无穷多正幂次项，的无穷多正幂次项，则无穷为则无穷为本性本性 奇点。奇点。321312111zzzez!如：如：可可去去奇奇点点z0111azazazazpnnnnn)(多多项项式式阶阶极极点点为为nz无穷为本性奇点的例子无穷为本性奇点的例子sin coszzze如：，思考：无穷为孤立奇点时其类型与极限的关系如何？思考：无穷为孤立奇点时其类型与极限的关系如何？011011 ()()nnnnnnnnnnnnf zc zcc zc tcc tt证明：根据结论立即得证。
