1、3.1.1椭圆及其标准方程生产、生活中的圆锥曲线生产、生活中的圆锥曲线圆锥曲线的形成圆锥曲线的形成双曲线抛物线圆椭圆圆锥曲线的历史及发展圆锥曲线的历史及发展 公元前公元前5 5世纪世纪，古希腊巧辩学派的数学家提出了几何中三大不，古希腊巧辩学派的数学家提出了几何中三大不可能尺规作图问题：化圆为方问题、可能尺规作图问题：化圆为方问题、立方倍积问题立方倍积问题、三等分、三等分任意角问题任意角问题.公元前公元前4 4世纪世纪，古希腊数学家，古希腊数学家梅内克缪斯梅内克缪斯在研究在研究“立方倍积立方倍积”问题过程中，发现用不同角度的平面截圆锥面，可以得到不问题过程中，发现用不同角度的平面截圆锥面，可以得
2、到不同的曲线，这是同的曲线，这是圆锥曲线的雏形圆锥曲线的雏形.公元前公元前3 3世纪世纪，古希腊数学家，古希腊数学家阿波罗尼奥斯阿波罗尼奥斯在著作在著作圆锥曲线圆锥曲线论论中中将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地余地.16371637年，年，笛卡尔笛卡尔发明了现代数学的基础工具之一发明了现代数学的基础工具之一坐标系坐标系，将几何和代数相结合，创立了将几何和代数相结合，创立了解析几何学解析几何学，推动了圆锥曲线推动了圆锥曲线的发展的发展.探求椭圆的定义探求椭圆的定义动手试验：动手试验：（1 1）取一根）取一根定长定长的细绳；的细绳；（2
3、 2）把它的）把它的两端两端用图钉用图钉固定固定在在A4A4纸上；纸上；（3 3）当）当两图钉之间的距离小于绳长，两图钉之间的距离小于绳长，用用笔尖将绳子拉直，使笔尖笔尖将绳子拉直，使笔尖在在A4A4纸上纸上慢慢慢慢移动，画出一个图形移动，画出一个图形.探求椭圆的定义探求椭圆的定义动画演示：动画演示：探求椭圆的定义探求椭圆的定义问题问题1 1：移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？椭圆的定义椭圆的定义椭圆的定义：椭圆的定义：平面内平面内到两个定点到两个定点F F1 1、F F2 2的距离的的距离的和和等于等于常数常数(大于大于|F|F1 1F F2 2
4、|)的的点点M M的轨迹叫的轨迹叫椭圆椭圆.定点定点F F1 1、F F2 2叫做椭圆的叫做椭圆的焦点焦点.两焦点之间的距离叫两焦点之间的距离叫做做焦距焦距.问题问题3 3：平面内动点到两个定点平面内动点到两个定点F F1 1、F F2 2的距离的和等于的距离的和等于|F|F1 1F F2 2|，动点的轨迹是什么？，动点的轨迹是什么？问题问题4 4：平面内动点到两个定点平面内动点到两个定点F F1 1、F F2 2的距离的和小于的距离的和小于|F|F1 1F F2 2|，动点的轨迹是什么？，动点的轨迹是什么？问题问题5 5：椭圆上任意一点椭圆上任意一点M M，满足的几何条件是什么？，满足的几何
5、条件是什么？F1F2M常记作常记作2c2c线段线段不存在不存在常记作常记作a2问题问题2 2：与与c c的大小关系是什么？的大小关系是什么？aca|22|MF|MF|2121FFca探究椭圆的方程探究椭圆的方程问题问题6 6：直线的点斜式方程、圆的标准方程是用方法推导出来的？直线的点斜式方程、圆的标准方程是用方法推导出来的？问题问题7 7：用坐标法求轨迹方程分为几步？用坐标法求轨迹方程分为几步？问题问题8 8：你准备如何建立平面直角坐标系？你准备如何建立平面直角坐标系？1F2FxyO坐标法坐标法建系、设点、列式、化简、证明建系、设点、列式、化简、证明以以F F1 1F F2 2所在直线为所在直
6、线为x x轴轴，以线段，以线段F F1 1F F2 2的垂直平分线为的垂直平分线为y y轴轴，建立平面直角坐标系，建立平面直角坐标系.M问题问题9 9：焦点焦点F F1 1、F F2 2的坐标是什么？的坐标是什么？),(yxM)0,(),0,(21cFcF 探求椭圆的方程探求椭圆的方程问题问题1010：椭圆的轨迹条件为什么吗？椭圆的轨迹条件为什么吗？|MF|MF1 1|+|MF|+|MF2 2|=2|=2a问题问题1111：依据轨迹条件列出的方程是什么？依据轨迹条件列出的方程是什么？aycxycx2)()(2222xyO1F2F)0,(c)0,(c),(yxM探求椭圆的方程探求椭圆的方程问题问
7、题1212：如何化简方如何化简方程程？aycxycx2)()(22222222)(2)(ycxaycx2222222)()(44)(ycxycxaaycx222)(ycxacxa2222222222422yacacxaxaxccxaa)()(22222222caayaxca移项得：移项得：两边平方得：两边平方得：整理得：整理得：两边平方得：两边平方得：整理得：整理得：0)(222 caa因为因为两边同除以两边同除以)(222caa得得122222cayax方程变为：方程变为：令令b0b0，b b2 2=a2 2-c-c2 212222byax问题问题1414：a与与b b的大小关系是什么？的大
8、小关系是什么？问题问题1313：不等于不等于0 0成立吗？成立吗？)(222caa椭圆的标准方程椭圆的标准方程问题问题1515：你能在图中找到表示你能在图中找到表示a,b,a,b,的的线段吗？线段吗？1F2FxyOMP22ca 椭圆的标准方程椭圆的标准方程xyF1 1F2 2PO以以F F1 1F F2 2所在直线为所在直线为y y轴轴，以线段，以线段F F1 1F F2 2的垂直平分线为的垂直平分线为x x轴轴，建立平面直角坐标系。，建立平面直角坐标系。【问题【问题16】如果焦点在如果焦点在y y轴上，椭圆的标准方程怎么推导？轴上，椭圆的标准方程怎么推导？哪个分母大，焦点就在哪个轴上哪个分母
9、大，焦点就在哪个轴上222=+abc12-,0,0，FcF c120,-0,，FcFc图图 形形焦点坐标焦点坐标定定 义义a、b、c 关系关系焦点位置判断焦点位置判断xyF1 1F2 2POxyF1 1F2 2PO标准方程标准方程）（012222babyax）（012222babxay平面内到两个定点的距离之平面内到两个定点的距离之和和为为常数常数(大于大于|F|F1 1F F2 2|)的点的轨迹是椭圆的点的轨迹是椭圆.问题问题1717：根据表格比较两种标准方程结构之间的异同？根据表格比较两种标准方程结构之间的异同？学以致用学以致用.52,10)3(,15,4)2(,1,4)1(2109cba
10、ycaxbaP轴上；焦点在轴上；焦点在圆的标准方程）求适合下列条件的椭练习（116)1(22 yx116)2(22 xy1163611636)3(2222xyyx或161022yx.的求)23,-25(，并且经并且(2,0)(-2,0),标为已知椭知椭圆的两个焦1107标准方程它，点）例（P距离为多少？的与另一个焦点，那么点的距离等于与焦点上一点）如果椭圆练习（212261361001109FPFPyxP14总结升华总结升华请谈一下，通过本节课有什么收获？请谈一下，通过本节课有什么收获？课后作业课后作业一、必做作业一、必做作业1 1、思考利用两次平方法化简椭圆的标准方程，每、思考利用两次平方法化简椭圆的标准方程，每一步变形都是一步变形都是同解变形同解变形吗？吗？2 2、课本、课本P109P109页页 第第3 3题题 、第、第4 4题题二、选做作业二、选做作业1 1、思考：还有化简椭圆标准方程的其他方法吗？、思考：还有化简椭圆标准方程的其他方法吗？2 2、阅读课本、阅读课本116116页：用信息技术探究点的轨迹：椭页：用信息技术探究点的轨迹：椭圆圆.谢谢观看
