1、分析力学基础拉格朗日第一类方程0806分析力学基础2022-12-32分析力学基础/拉氏第一类方程2022-12-33 自由质点系自由质点系分析力学基础/拉氏第一类方程/质点系0)(1aTnkkkkkmFrr 虚功形式的动力学普遍方程虚功形式的动力学普遍方程 质点系质点系),(21nPPP自由自由qrrr12TTTTn笛卡儿坐标阵笛卡儿坐标阵相互独立相互独立akkkmFr nk,1牛顿方程牛顿方程 zyxOkPnP2P1PakFa1FanFa2Fkr2022-12-34 非自由质点系非自由质点系分析力学基础/拉氏第一类方程虚功形式的动力学普遍方程虚功形式的动力学普遍方程 质点系质点系),(21
2、nPPPqrrr12TTTTn笛卡儿坐标阵笛卡儿坐标阵(,)q t 0约束方程约束方程1s0)(aTFqmq 0qq 1sT0TTqq0)(aTTFqmqq 13 n1s令待定的常数阵令待定的常数阵 1sTTT0qqs1约束方程等时变分约束方程等时变分转置转置 zyxOkPnP2P1PakFa1FanFa2Fkr分析力学基础/拉氏第一类方程/质点系2022-12-35分析力学基础/拉氏第一类方程(,)q t 0 1sT0)(aTTFqmqq qrrr12TTTTnTaTaT2aT1anFFFFnmmmm,diag21例例kkkkmmm,diagm2,3snTqn11n111sRsnR0)(TH
3、qaT)(FqmHq 0),(),(),(213212211321HHHrrr1nkr以列阵以列阵 为元素为元素 0),(),(),(213321222111HrHrHr分析力学基础/拉氏第一类方程/质点系2022-12-36分析力学基础/拉氏第一类方程0)(aTTFqmqq 例例2,3sn0)(THqaT)(FqmHq 0),(),(),(213212211321HHHrrr1nR0),(),(),(213321222111HrHrHrkr以列阵以列阵 为元素为元素 合理选择合理选择21,0),(212H1令令 为独立变量为独立变量3r0),(213H0),(211H0aTFqmq 0)(H
4、令令分析力学基础/拉氏第一类方程/质点系2022-12-370)(aTTFqmqq 合理选择合理选择0aTFqmq aTFqmq (,)q t 0qrrr12TTTTnTaTaT2aT1anFFFFnmmmm,diag21kkkkmmm,diagmTq1ssn3带拉格朗日乘子的质点系动力学方程带拉格朗日乘子的质点系动力学方程拉格朗日第一类方程拉格朗日第一类方程 拉格朗日乘子拉格朗日乘子1s分析力学基础/拉氏第一类方程/质点系2022-12-38例例 一双质点摆，摆球一双质点摆，摆球P1与与P2的质量的质量分别为分别为m1与与m2，摆长分别为，摆长分别为l1与与l2Oyx1P2Pgm1gm2试利
5、用拉格朗日第一类方程建试利用拉格朗日第一类方程建立该双质点摆的动力学方程立该双质点摆的动力学方程分析力学基础/拉氏第一类方程/质点系/例2022-12-39分析力学基础/拉氏第一类方程/质点系/解解解 惯性基惯性基eOyx系统笛卡儿坐标阵系统笛卡儿坐标阵约束方程约束方程自由度为自由度为21r1P2Pgm1gm2qrr121122TTTTxyxy2r0=22212212212121)()(),(lyyxxlyxtq 引入拉格朗日乘子阵引入拉格朗日乘子阵 12T)(2)(2)(2)(200221212121211yyxxyyxxyxq 主动力阵主动力阵 T21TaT2aT1a00gmgmFFFO2
6、022-12-310分析力学基础/拉氏第一类方程/质点系/解Oxy1r1P2Pgm1gm2qrr121122TTTTxyxy2r0=22212212212121)()(),(lyyxxlyxtq 12T)(2)(2)(2)(200221212121211yyxxyyxxyxq T21TaT2aT1a00gmgmFFF00)(20)(20)(22)(220000000000002121121212112122112211gmgmyyxxyyyxxxyxyxmmmm aTFqmq 111,diagmmm222,diagmmm2022-12-311分析力学基础/拉氏第一类方程/质点系/解Oxy1r1
7、P2Pgm1gm22r0=22212212212121)()(),(lyyxxlyxtq mmmmxyxyxxxyyyxxyym gm g11221122121121212112120000000000002222020200()()()()拉格朗日第一类方程拉格朗日第一类方程上述上述4个方程中有个方程中有6个变量个变量 附加加速度约束方程附加加速度约束方程 x xy yxy1 11112120()()()()()()xxxxyyyyxxyy2121212121221202022-12-312分析力学基础/拉氏第一类方程2022-12-313xyOkCrbxbyC0)()(a*a*TCzCzC
8、MMFFr*FaFaCzM*CzM0)()(aaTCzCCCMJm Frr0)(aTFqZq aaaaaaCzyxCzMFFMFF刚体虚功形式动力学方程刚体虚功形式动力学方程缩并形式缩并形式CCJmmJ0000000T0mZCCCyxrq增广质量阵增广质量阵增广主动力阵增广主动力阵 分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体2022-12-314 自由刚体自由刚体惯性基惯性基eO质心质心连体基连体基刚体的位形刚体的位形CrCrTTTCCCyx rq位形坐标阵位形坐标阵坐标相互独立坐标相互独立xyObxbyCTTTCCCyxrq位形坐标阵虚位移位形坐标阵虚位移相互独立相互独立aFr Cm 0)(aTFq
9、Zq 单刚体虚功形式动力学方程单刚体虚功形式动力学方程aFqZ bCe0)()(aaTCzCCCMJm FrraCzCMJ 或或CraFaCzM分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体2022-12-315 受约束刚体受约束刚体惯性基惯性基eO质心质心连体基连体基刚体的位形刚体的位形CrCrTTTCCCyx rq位形坐标阵位形坐标阵坐标相互不独立坐标相互不独立xyOCrbxbyCTTTCCCyxrq位形坐标阵虚位移位形坐标阵虚位移相互不独立相互不独立0)(aTFqZq 刚体虚功形式动力学方程刚体虚功形式动力学方程aFqZ bCeaFaCzM分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体2022-12-316分析
10、力学基础/拉氏第一类方程/刚体xyOCrbxbyC约束方程约束方程 q,t 0tqq1s3s自由度自由度s 3速度约束方程速度约束方程虚位移方程虚位移方程0qq位形坐标阵位形坐标阵TTTCCCyxrq位形坐标阵虚位移位形坐标阵虚位移相互不独立相互不独立TTTCCCyx rq坐标相互不独立坐标相互不独立T1s引入引入拉格朗日乘子拉格朗日乘子1s转置转置TTT0qqs10TTqqaFaCzM2022-12-317分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体xyOCrbxbyC虚位移方程虚位移方程0qqT1s0)(aTTFqZqq 0)(aTFqZq 刚体虚功形式刚体虚功形式的动力学方程的动力学方程引入拉格朗
11、日乘子引入拉格朗日乘子1s1s0TTqq刚体带拉格朗日乘子虚功形式的动力学方程刚体带拉格朗日乘子虚功形式的动力学方程aFaCzM2022-12-318分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体xyOCrbxbyC0)(aTTFqZqq 0THq 0HHyHxyCxC aTFqZHq 13 THHHHyx令令如果如果2s1令独立变量令独立变量T21适当选定适当选定T210,21xH0,21yH独立性独立性0,21H 0H0aTFqZq aFaCzM2022-12-319分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体xyOCrbxbyC0)(aTTFqZqq 适当选定适当选定0aTFqZq aTFqZq 受约束刚体动
12、力学微分方程受约束刚体动力学微分方程aaaaaaCzyxCzMFFMFFCCJmmJ0000000T0mZCCCyxrqT1s133s1s微分方程变量微分方程变量qq aFaCzM2022-12-320分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体xyOCrbxbyCaTFqZq 受约束刚体动力学微分方程受约束刚体动力学微分方程qq 13微分方程变量微分方程变量q3+s个个补充加速度约束补充加速度约束方程方程方程方程1s受约束单刚体动力学（封闭）数学模型受约束单刚体动力学（封闭）数学模型 aTFqZqq 0aFaCzM2022-12-321分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体xyOCrbxbyCaTFqZq
13、 受约束刚体动力学微分方程受约束刚体动力学微分方程 TnqF比较比较naFFqZ TnnnTnnTnCzyxCzMFFM FF作用于刚体的理想约束力作用于刚体的理想约束力(偶偶)的的主矢主矢nFnCzM作用于刚体的理想约束力作用于刚体的理想约束力(偶偶)对质心的主矩对质心的主矩aFaCzMnFaCzM理想约束力与拉格朗日乘子的关系理想约束力与拉格朗日乘子的关系2022-12-322分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体/例例例 均质杆均质杆AB长为长为l，质量为，质量为m，它它在地面与墙面上无摩擦地滑动在地面与墙面上无摩擦地滑动建立均质杆建立均质杆AB封闭的动力学方程封闭的动力学方程 2022-1
14、2-323分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体/解解杆的运动为平面一般运动杆的运动为平面一般运动 惯性基惯性基eO连体基连体基beC约束方程约束方程(一般位置一般位置)0cos2sin2lylx sin210cos201llq 22cos2sin2ll T21TTTCCCyx rq2s主动力主动力gmTa00mgF增广主动力阵增广主动力阵 aCzMaxFayF雅可比与加速度约束方程右项雅可比与加速度约束方程右项yxBACbybxOgm2022-12-324分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体/解动力学方程动力学方程00sin2cos2100112000000212mgllyxmlmmCC aTFq
15、Zq 122mlJCsin210cos201llq T21Ta00mgFCJmm000000ZTCCyxq2022-12-325分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体/解动力学方程动力学方程00sin2cos2100112000000212mgllyxmlmmCC 22212cos2sin20000sin21000cos201sin2cos2120010000100 llmgyxllllmlmmCC封闭的动力学方程封闭的动力学方程 aTFqZqq 0sin210cos201llq 22cos2sin2ll 2022-12-32601Cxm mgymC2 0sin2cos212212llml 分析力
16、学基础/拉氏第一类方程/刚体/解BCFxmN mgFymACN cos2sin212NN2lFlFmlBA 00sin2cos2100112000000212mgllyxmlmmCC 矢量力学一般方法矢量力学一般方法BFN1AFN2展开展开比较比较yxBACbybxOgmAFNBFN2022-12-327分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体/例例例 一均质圆柱质量为一均质圆柱质量为m，半径为，半径为r，在倾斜角为，在倾斜角为q q的斜面上作无滑的斜面上作无滑动滚动，不计滚动摩擦力，考动滚动，不计滚动摩擦力，考虑滑动摩擦力虑滑动摩擦力qCgm建立其带拉格朗日乘子封闭的建立其带拉格朗日乘子封闭的动力
17、学方程动力学方程且求拉格朗日乘子的表达式且求拉格朗日乘子的表达式 2022-12-328分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体/解圆柱运动为平面一般运动圆柱运动为平面一般运动 理想约束力理想约束力 qOyxgmNFfFbxbyC解解 惯性基惯性基eO连体基连体基beC0yrx无滑动滚动无滑动滚动 约束方程约束方程 01001rq 0TTTCCCyx rqT212s雅可比与加速度雅可比与加速度约束方程右项约束方程右项Ta0cossinqqmgmgF主动力主动力gm增广主动力阵增广主动力阵 aCzMaxFayFNFfF 无滑动滚动无滑动滚动 Cr2022-12-329分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体
18、/解动力学方程动力学方程aTFqZq 22mrJC0cossin010012000000212qqmgmgryxmrmmCC Ta0cossinqqmgmgF01001rqT212022-12-330分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体/解封闭的动力学方程封闭的动力学方程 aTFqZqq 0000cossin000100001020010000100212qqmgmgyxrrmrmmCC 22mrJCTa0cossinqqmgmgF01001rqT21 02022-12-331分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体/解qsin1mgxmC qcos2mgymC 0212rmr 封闭动力学方程封闭动力
19、学方程展开展开000cossin000100001020010000100212qqmgmgyxrrmrmmCC 0 rxC0Cy qcos2mgqcos311mg可解出拉格朗日乘子可解出拉格朗日乘子qsin1mgmr 021 mrqOyxgmbxbyCCr2022-12-332分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体/解矢量力矢量力学一般学一般方法方法 fsinFmgxmCq ACFmgymNcosq rFmrf22 qsin1mgxmC qcos2mgymC 0212rmr 动力学方程动力学方程0cossin010012000000212qqmgmgryxmrmmCC 展开展开2NF1fF比较比
20、较qOyxgmNFfFbxbyCCrqcos2mgqcos311mgqcos31mgqcosmg乘子与约束力间的关系乘子与约束力间的关系将在以后推导将在以后推导2022-12-333比较比较分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体拉格朗日第一类方程拉格朗日第一类方程 矢量力学一般方法矢量力学一般方法 aTFqZq naFFqZ qq T qq T 需对约束力进行受力分析需对约束力进行受力分析 不考虑约束力不考虑约束力)(tq)(t)(ntF动力学方程动力学方程 附加方程附加方程 未知变量未知变量 约束力的处理约束力的处理 直接得不到约束力直接得不到约束力 直接得到约束力直接得到约束力 建方程的过程建方程的过程 对约束运动学关系进行分析对约束运动学关系进行分析 nF)(tq组集组集 组集组集 2022-12-334分析力学基础/拉氏第一类方程/刚体2022-12-335
