1、 第第1111章章 质点系动量定理与动量矩定理质点系动量定理与动量矩定理第第1111章章 质点系动量质点系动量定理与动量矩定理定理与动量矩定理动动 力力 学学 西安交通大学城市学院 第第1111章章 质点系动量定理与动量矩定理质点系动量定理与动量矩定理质点系以外质点对质点系内第质点系以外质点对质点系内第i质点的作用力合力质点的作用力合力Fie 质点系以内其它质点对第质点系以内其它质点对第i质点的作用力合力质点的作用力合力Fii 第第11章章 质点系动量定理与动量矩定理质点系动量定理与动量矩定理质点系动量定理质点系动量定理11.1质点系动量矩定理质点系动量矩定理11.2 第第1111章章 质点系
2、动量定理与动量矩定理质点系动量定理与动量矩定理CyzxOi ii iCim rm rrmm质点系总质量质点系总质量iiCiiCiiCm xxmm yymm zzm地球附近：质心与重心重合地球附近：质心与重心重合mmi其中：rCmiri质点系质量分布的中心质点系质量分布的中心Ci imrm rCmv Ci imrm riim v11.1 质点系动量定理质点系动量定理 第第1111章章 质点系动量定理与动量矩定理质点系动量定理与动量矩定理iiPm v1.1.质点系的动量质点系的动量CPmv质点系的动量等于各质点动量矢量和；质点系的动量等于各质点动量矢量和；质点系的动量等于质心的动量。质点系的动量等
3、于质心的动量。1NIICIPm v质点系的动量等于各部分质心的动量矢量和。质点系的动量等于各部分质心的动量矢量和。ICxICxixixvmmvvmPICyICyiyiyvmmvvmPICzICzizizvmmvvmP11.1 质点系动量定理质点系动量定理 第第1111章章 质点系动量定理与动量矩定理质点系动量定理与动量矩定理iimvPCmvP NIICIm1vPAAm vBBm vAAm vBBm vBBAAmmvvPCvmCmvCPmv11.1 质点系动量定理质点系动量定理1.1.质点系的动量质点系的动量 第第1111章章 质点系动量定理与动量矩定理质点系动量定理与动量矩定理3CvABDEA
4、BDEBDm=m=m=mABDEBDl=l=l=lC1C2C31Cv2Cv3I=1IICABC1DEC2BDC3Pm v=mv+mv+mv3I=1xIICxllP=m v=m+m+ml22=2ml 3I=1yIICyP=m v=011.1 质点系动量定理质点系动量定理1.1.质点系的动量质点系的动量 第第1111章章 质点系动量定理与动量矩定理质点系动量定理与动量矩定理ddieiiiimtvFF2.2.质点系动量定理质点系动量定理第第i质点：作用内力质点：作用内力 ；外力；外力 ；动量；动量 iiFeiFiimv质点系：质点系：0 ddddei im vPFttddddddexxeyyezzP
5、FtPFtPFt2121dteitPPFt21dteitFteI212121exxxeyyyezzzPPIPPIPPI21ePPI11.1 质点系动量定理质点系动量定理 第第1111章章 质点系动量定理与动量矩定理质点系动量定理与动量矩定理ddieiiiimtvFF2.2.质点系动量定理质点系动量定理第第i质点：作用内力质点：作用内力 ；外力；外力 ；动量；动量 iiFeiFiimv质点系：质点系：0 ddddei im vPFttddddddexxeyyezzPFtPFtPFt11.1 质点系动量定理质点系动量定理0eF 0exF质点系动量守恒质点系动量守恒P 常矢量xP 常量 第第1111
6、章章 质点系动量定理与动量矩定理质点系动量定理与动量矩定理11.1 质点系动量定理质点系动量定理质点系动量守恒质点系动量守恒P 常矢量xP 常量2.2.质点系动量定理质点系动量定理 第第1111章章 质点系动量定理与动量矩定理质点系动量定理与动量矩定理例例 11-2 火炮（包括炮车与炮筒）火炮（包括炮车与炮筒）的质量是的质量是 m1，炮弹的质量是炮弹的质量是 m2，炮弹相对炮车的发射速度是炮弹相对炮车的发射速度是 vr，炮炮筒对水平面的仰角是筒对水平面的仰角是 （图（图a）。）。设设火炮放在光滑水平面上，且炮筒与火炮放在光滑水平面上，且炮筒与炮车相固连，试求火炮的后坐速度炮车相固连，试求火炮的
7、后坐速度和炮弹的发射速度。和炮弹的发射速度。(b)vvevr(a)ABv1xyFAFBm1gm2gvr解：解：研究对象：研究对象：火炮和炮弹系统（包括炸药）。火炮和炮弹系统（包括炸药）。受力分析：受力分析：图图(a)示。外力示。外力 Fix=0。11.1 质点系动量定理质点系动量定理运动分析：运动分析：设火炮的反座速度是设火炮的反座速度是 v1，炮弹的发射速度是，炮弹的发射速度是 v，对水平对水平面的仰角是面的仰角是 （图（图b）。）。p0 x=0px=m2vcos m1v1=第第1111章章 质点系动量定理与动量矩定理质点系动量定理与动量矩定理对于炮弹应用速度合成定理，可得对于炮弹应用速度合
8、成定理，可得va=ve+vr其中：其中：va=v，ve=v1vcos =vrcos v1 （2）vsin =vrsin （3）联立求解上列三个方程，即得联立求解上列三个方程，即得12r122122r21221cos(2)1cos ()tan(1)tanvmvmmmm mvvmmmm px=m2vcos m 1v1=0 （1）(b)vvevr(a)ABFAFBm1gm2gv1xyvr11.1 质点系动量定理质点系动量定理 第第1111章章 质点系动量定理与动量矩定理质点系动量定理与动量矩定理21tan(1)tanmm由上式可见，由上式可见，v与与vr方向不同，方向不同，。当当m1 m2 时，时，
9、。但在军舰或车上但在军舰或车上时，应该考虑修正量时，应该考虑修正量 m2/m1。讨论(b)vvevr(a)ABFAFBm1gm2guxyvr11.1 质点系动量定理质点系动量定理 第第1111章章 质点系动量定理与动量矩定理质点系动量定理与动量矩定理vavbFWFaFb 例例 11-2 11-2 流体在变截面弯管中流动流体在变截面弯管中流动,设流体设流体不可压缩不可压缩,且是且是定常流动定常流动.求管求管壁的附加动约束力壁的附加动约束力.解：解：研究对象：管中截面研究对象：管中截面aa与与bb之之 间的流体。间的流体。受力分析：如图所示受力分析：如图所示令令qv为流体在单位时间内流过截为流体在
10、单位时间内流过截面的体积流量，面的体积流量，为密度。为密度。因为因为流体不可压缩流体不可压缩，所以所以dt 内质量改内质量改变量为变量为tqmvdd11.1 质点系动量定理质点系动量定理 第第1111章章 质点系动量定理与动量矩定理质点系动量定理与动量矩定理vavbFWFaFb 解：解：1 111da babbbaaPPPPP因为管内流动是稳定的，因为管内流动是稳定的，dt 时间间隔内质点系动量时间间隔内质点系动量的变化为的变化为 d()vbaqt vv 将动量定理应用于所研究的质点系将动量定理应用于所研究的质点系d()dvbaabPqvvWFFFt 11.1 质点系动量定理质点系动量定理 第
11、第1111章章 质点系动量定理与动量矩定理质点系动量定理与动量矩定理vavbFWFaFb 解：解：研究对象：管中截面研究对象：管中截面aa与与bb之间的流体。之间的流体。1111daabbabbaPPPPP经过时间间隔经过时间间隔dt，流到截面，流到截面a1a1与与b1b1之间。之间。受力分析：如图所示受力分析：如图所示因为管内流动是稳定的，因为管内流动是稳定的，dt 时间间隔内质点系动量的变化为时间间隔内质点系动量的变化为 令令qv为流体在单位时间内流过截面的体积流量，为流体在单位时间内流过截面的体积流量，为密度。因为流体不可压缩，所以为密度。因为流体不可压缩，所以dt 内质量改变量为内质量
12、改变量为)()(abvbaqvvFFWF)(abvqvvF 将动量定理应用于所研究的质点系，则有将动量定理应用于所研究的质点系，则有 tqmvdd静约束力静约束力F 附加动压力附加动压力F()abvbaq FWFFvv设截面设截面aa与与bb的面积分的面积分别为别为Aa和和Ab，由不可压由不可压缩流体的连续性定律知缩流体的连续性定律知 bbaavvAvAq11.1 质点系动量定理质点系动量定理d()dvbaabPqvvWFFFt 第第1111章章 质点系动量定理与动量矩定理质点系动量定理与动量矩定理1111daabbabbaPPPPP因为管内流动是稳定的，因为管内流动是稳定的，dt 时间间隔内
13、质点系动量的变化为时间间隔内质点系动量的变化为 令令qv为流体在单位时间内流过截面的体积流量，为流体在单位时间内流过截面的体积流量，为密度。因为流体不可压缩，所以为密度。因为流体不可压缩，所以dt 内质量改变量为内质量改变量为)()(abvbaqvvFFWF将动量定理应用于所研究的质点系，则有将动量定理应用于所研究的质点系，则有 FFFWvvPbaabvqt)(ddtqmvdd静约束力静约束力F 附加动压力附加动压力F)(abvqvvF()abvbaq FWFFvv设截面设截面aa与与bb的面积分的面积分别为别为Aa和和Ab，由不可压由不可压缩流体的连续性定律知缩流体的连续性定律知 bbaav
14、vAvAqv1v2(a)v1v2(b)不可压缩的流体以某一额定不可压缩的流体以某一额定流量流经图示两种弯角不同流量流经图示两种弯角不同的等直径水平弯管时，管道的等直径水平弯管时，管道在两法兰处的受力大小是否在两法兰处的受力大小是否相等？为什么？相等？为什么？讨论11.1 质点系动量定理质点系动量定理 第第1111章章 质点系动量定理与动量矩定理质点系动量定理与动量矩定理)(01xxvxqFvv xF 例例11-3 水管的出口直径水管的出口直径d=25mm，喷射出的水柱以速度，喷射出的水柱以速度v=20m/s沿水平方向射入一直角的光滑叶片上如图所示。沿水平方向射入一直角的光滑叶片上如图所示。水的
15、密度为水的密度为1000kg/m3。试求水柱对叶片的附加动压力。试求水柱对叶片的附加动压力。解：解：研究对象：管出口至研究对象：管出口至1-1之间的流体。之间的流体。11受力分析：如图所示受力分析：如图所示000 xyvvv；110 xyvvv；)0(42vvd20.02520 1000(020)4 196.25N)(01yyvyqFvv)0(42vvd)020(9800204025.0211.1 质点系动量定理质点系动量定理vyxyF 196.25N 第第1111章章 质点系动量定理与动量矩定理质点系动量定理与动量矩定理质心位置守恒质心位置守恒质心运动守恒质心运动守恒3.3.质心运动定理质心
16、运动定理etFPddezCCzeyCCyexCCxFzmmaFymmaFxmma 21CCvv常 矢 量0eF21C xC xvv常量CPmv12CCrr常矢量ddeCCmvmaFt10Cv10C xv常量21CCxx1NIICIPm v0exF1NeIICIm aF11.1 质点系动量定理质点系动量定理 第第1111章章 质点系动量定理与动量矩定理质点系动量定理与动量矩定理实例分析：实例分析：3.3.质心运动定理质心运动定理11.1 质点系动量定理质点系动量定理 第第1111章章 质点系动量定理与动量矩定理质点系动量定理与动量矩定理11.1 质点系动量定理质点系动量定理3.3.质心运动定理质
17、心运动定理 第第1111章章 质点系动量定理与动量矩定理质点系动量定理与动量矩定理 例例11-411-4电动机置于光滑水平面上，定子质电动机置于光滑水平面上，定子质量为量为 m1，质心质心 C1与转子转轴重合与转子转轴重合 ；转子质；转子质量为量为 m2，偏心距偏心距 C1C2=e。初始静止。初始静止。C1C2当转子以等角速度当转子以等角速度 旋转时，定子旋转时，定子质心质心C1在水平方向的运动规律及电动在水平方向的运动规律及电动机跳起的条件机跳起的条件Fym2gm1g取电机作为研究对象取电机作为研究对象受力分析如图所示受力分析如图所示00exCxCFvx，且常量112212CCCm xm x
18、xmm112112cos0CCm xmetxmm 2112cosCm etxmm xC1Cyx11.1 质点系动量定理质点系动量定理 第第1111章章 质点系动量定理与动量矩定理质点系动量定理与动量矩定理Fym2gm1gCyxxC1eyCymaF由2122sinyFm gm gm et 112212CCCm ym yymm2212sinCCym etyamm电动机跳起的条件电动机跳起的条件为：为：21220yFm gm gm e 122m gm gm e yC1212sinm hmh etmm 2212sinym etFm gm g 当偏心转子质心当偏心转子质心C2运动到最上方时，运动到最上方
19、时，t=/2,C1C211.1 质点系动量定理质点系动量定理 第第1111章章 质点系动量定理与动量矩定理质点系动量定理与动量矩定理例例11-5 电动机的外壳用螺栓固电动机的外壳用螺栓固定在水平基础上，定子的质量是定在水平基础上，定子的质量是 m1，转子的质量是转子的质量是 m2，转子的轴转子的轴线通过定子的质心线通过定子的质心 O1。制造和安制造和安装的误差，使转子的质心装的误差，使转子的质心 O2对它对它的轴线有一个很小的偏心距的轴线有一个很小的偏心距 e（图中有意夸张）。求转子以匀图中有意夸张）。求转子以匀角速度角速度 转动时，电动机所受的转动时，电动机所受的总水平反力和铅直反力。总水平
20、反力和铅直反力。11.1 质点系动量定理质点系动量定理 第第1111章章 质点系动量定理与动量矩定理质点系动量定理与动量矩定理已知已知 定子质量定子质量 m1，转子质量转子质量 m2，偏，偏心距心距 e。求转子以匀角速度。求转子以匀角速度 转动时，转动时，电动机所受的总水平、铅直反力。电动机所受的总水平、铅直反力。研究对象：电动机（包括定子研究对象：电动机（包括定子 和转子）和转子）解：解：)1(cos22xFtamO1O2xytm1gm2gFxFya2由由质心运动定理质心运动定理)2(sin2122gmgmFtamy求得求得Fx=m2e2costFy=(m1+m2)g m2e2sinte1N
21、IICIm aF 受力分析：如图所示受力分析：如图所示11.1 质点系动量定理质点系动量定理 第第1111章章 质点系动量定理与动量矩定理质点系动量定理与动量矩定理11.1 质点系动量定理质点系动量定理圆轮半径为圆轮半径为R，质量，质量m，地面光滑，初始静止，经，地面光滑，初始静止，经过过t，以下，以下3种情况，哪个轮心种情况，哪个轮心C速度快速度快?思思 考考FFCCCM=FR（a）（b）（c）第第1111章章 质点系动量定理与动量矩定理质点系动量定理与动量矩定理()()OOiiiiiLMm vrm v1.1.质点系的动量矩质点系的动量矩()zziiLMm vOzzLL质点系对某点质点系对某
22、点O的动的动量矩在过该点的轴上量矩在过该点的轴上的投影等于质点系对的投影等于质点系对该轴的动量矩该轴的动量矩vimiriz()zziiiiiLMm vm vriiirrm)(2iirm2iizrmJ令刚体对刚体对z z轴的转动惯量轴的转动惯量zzJL 转动刚体对转轴的动量矩等于刚体转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对转轴转动惯量与角速度的乘积对转轴转动惯量与角速度的乘积转动刚转动刚体对转轴的动量矩体对转轴的动量矩11.2 质点系动量矩定理质点系动量矩定理 第第1111章章 质点系动量定理与动量矩定理质点系动量定理与动量矩定理第第i质点：作用内力质点：作用内力 ；外力；外力 ；2.2.质点系的动量矩
23、定理质点系的动量矩定理11.2 质点系动量矩定理质点系动量矩定理ddeOiiOOiMm vMFFtM质点系：质点系：0ddddeOOiiOLMm vMFtt)(dd)(dd)(ddexzeyyexxMLtMLtMLtFFF质点系动量矩守恒质点系动量矩守恒常矢量OL0eOMF()0exMF常量xLiiFeiF 第第1111章章 质点系动量定理与动量矩定理质点系动量定理与动量矩定理几个实际问题几个实际问题谁最先到达顶点？谁最先到达顶点？11.2 质点系动量矩定理质点系动量矩定理 第第1111章章 质点系动量定理与动量矩定理质点系动量定理与动量矩定理例例11-611-6 摩擦离合器靠接合面的摩擦进行
24、传动。在接合前，已摩擦离合器靠接合面的摩擦进行传动。在接合前，已知主动轴知主动轴1以角速度以角速度 0转动，而从动轴转动，而从动轴2处于静止处于静止(图图a)。结合。结合后，两轴以共同角速度后，两轴以共同角速度 转动转动(图图b)。已知轴已知轴1和轴和轴2连同各自连同各自的附件对转轴的转动惯量分别是的附件对转轴的转动惯量分别是J1 和和J2，试求接合后的共同试求接合后的共同角速度角速度 ，轴承的摩擦不计。轴承的摩擦不计。(a)(b)121211.2 质点系动量矩定理质点系动量矩定理研究对象：轴研究对象：轴1和轴和轴2组成的系统。组成的系统。解解:受力分析：接合时外力对转轴的矩等于零，受力分析：
25、接合时外力对转轴的矩等于零，系统对转轴的动量矩不变。系统对转轴的动量矩不变。接合前系统的动量矩：接合前系统的动量矩：010zLJ 1012()JJJ 由动量矩守恒得由动量矩守恒得结合后的共同角速度结合后的共同角速度1012JJJ 转向与转向与 0 相同相同 第第1111章章 质点系动量定理与动量矩定理质点系动量定理与动量矩定理aabb例例11-7 水轮机的叶轮如图所示，水轮机的叶轮如图所示，流经各叶片间流道的水流均相同。流经各叶片间流道的水流均相同。水流进、出流道的速度分别为水流进、出流道的速度分别为v1和和v2，与切线方向的夹角分别为，与切线方向的夹角分别为 1和和 2。若总体积流量为。若总
26、体积流量为qv，求，求 流流体对叶轮的转动力矩体对叶轮的转动力矩。b1a1a1b1Or1r2解：解：研究对象：两叶片间的流体。研究对象：两叶片间的流体。dt时间内，流体由时间内，流体由aabb流动到流动到a1a1b1b1。12v1v2 111111111111daaaabbbbbbaaaaaabbbbbbaaOLLLLLLL 第第1111章章 质点系动量定理与动量矩定理质点系动量定理与动量矩定理aabbb1a1a1b1Or1r2解：解：设流体密度为设流体密度为，叶轮的叶片，叶轮的叶片总数为总数为n，则，则1 12 221dcosVbbb bLqtv rn 1 11 111dcosaaa aVL
27、qtv rn2 221 111dd(coscos)VOLqt v rv rn )coscos(dd)(111222rvrvqtLnMVOOF12v1v2已知已知 水流进、出流道的速度分别水流进、出流道的速度分别为为v1和和v2，与切线方向的夹角分别，与切线方向的夹角分别为为 1和和 2。若总体积流量为。若总体积流量为qv，求求 流体对叶轮的转动力矩流体对叶轮的转动力矩。第第1111章章 质点系动量定理与动量矩定理质点系动量定理与动量矩定理转动定理转动定理zzJL ddezzLMFtd()dezzzJJMFt ezzJMF ddezzJMFt 转动微分方程转动微分方程3.3.刚体定轴转动微分方程
28、刚体定轴转动微分方程0ezM F =常数常数转动守恒转动守恒11.2 质点系动量矩定理质点系动量矩定理 第第1111章章 质点系动量定理与动量矩定理质点系动量定理与动量矩定理zCx2l2l均质细直杆2zi iJm r刚体对刚体对z轴的转动惯性大小的度量轴的转动惯性大小的度量xdxddmmxl22ddl2Czl-2mJxmxxl2112ml2121mlezzJMF 4.4.刚体转动惯量刚体转动惯量11.2 质点系动量矩定理质点系动量矩定理 第第1111章章 质点系动量定理与动量矩定理质点系动量定理与动量矩定理2d2 dmmr rR23202ddRCzmJrmrrR212mR2Rrdr均质圆盘均质
29、圆盘C221mR22dmr rR2121mlzCx2l2l均质细直杆均质细直杆11.2 质点系动量矩定理质点系动量矩定理2iizrmJ刚体对刚体对z轴的转动惯性大小的度量轴的转动惯性大小的度量ezzJM F4.4.刚体转动惯量刚体转动惯量 第第1111章章 质点系动量定理与动量矩定理质点系动量定理与动量矩定理m平行移轴定理平行移轴定理2mdJJCzzCzzdzzCx2l2l均质细直杆，质量均质细直杆，质量m，长度长度l由定义由定义ddmmxl220ddlzmJxmxxl213ml由定理由定理22zCzlJJm2221111243mlmlmlxdx zz2zzmJ z z回转半径回转半径11.2
30、 质点系动量矩定理质点系动量矩定理 第第1111章章 质点系动量定理与动量矩定理质点系动量定理与动量矩定理例例 11-8 冲击摆可近似地看成由匀质细杆冲击摆可近似地看成由匀质细杆OA和圆盘组和圆盘组成成。已知杆长。已知杆长l，质量是质量是m1；圆盘半径是圆盘半径是r，质量是质量是m2。求摆对通过杆端求摆对通过杆端O并与圆盘面垂直的轴并与圆盘面垂直的轴z的转动惯量。的转动惯量。解：解：12zzzJJJ2222112211()()1222lmlmmrm r l 2221211(342)32m lmrrllOC1C2lrA11.2 质点系动量矩定理质点系动量矩定理 第第1111章章 质点系动量定理与
31、动量矩定理质点系动量定理与动量矩定理M0FOxFOym1gm2g11.2 质点系动量矩定理质点系动量矩定理例例 11-9 已知：飞轮质量已知：飞轮质量m1，均布于轮缘，均布于轮缘，轮辐质量不计，半径轮辐质量不计，半径r，重物质量，重物质量m2，外，外力矩力矩M0。求提升重物的加速度。求提升重物的加速度 解：研究对象：系统解：研究对象：系统受力分析如图受力分析如图运动分析：飞轮转动，物体平动运动分析：飞轮转动，物体平动Lz=Lz1+Lz2=Jz+m2vr21zJm rvr 2221212()zLm rm rmm r 第第1111章章 质点系动量定理与动量矩定理质点系动量定理与动量矩定理M0FOx
32、FOym1gm2g11.2 质点系动量矩定理质点系动量矩定理例例 11-9 已知：飞轮质量已知：飞轮质量m1，均布于轮缘，轮辐，均布于轮缘，轮辐质量不计，半径质量不计，半径r，重物质量，重物质量m2，外力矩，外力矩M0。求。求提升重物的加速度提升重物的加速度 解：解：2221212()zLm rm rmm r()ezzdLMFdt21220()mm rm grM 20212()m grMarmm r 第第1111章章 质点系动量定理与动量矩定理质点系动量定理与动量矩定理 例例 11-10 复摆的质量是复摆的质量是 m，重心重心 C 到转轴到转轴 O 的距离的距离 OC=b，对转轴，对转轴 O
33、的转动惯量是的转动惯量是JO，设摆动开始时设摆动开始时 OC 与铅直线的偏角是与铅直线的偏角是 0，且，且复摆的初角速度为零，试求复摆的微幅摆动规复摆的初角速度为零，试求复摆的微幅摆动规律。轴承摩擦和空气阻力不计。律。轴承摩擦和空气阻力不计。OCbF1F2mg 研究对象：复摆研究对象：复摆解：解：受力分析：如图受力分析：如图 运动分析：摆动运动分析：摆动 任意位置有：任意位置有：sindd22mgbtJO11.2 质点系动量矩定理质点系动量矩定理 第第1111章章 质点系动量定理与动量矩定理质点系动量定理与动量矩定理OCbF1F2mg 解：解：任意位置有：任意位置有：sindd22mgbtJO0sindd22OJmgbt微摆动时，微摆动时，sin ，得得0OJmgb 即：即：0,0 当当 t=0 时时0cos()OmgbtJ则复摆运动规律则复摆运动规律11.2 质点系动量矩定理质点系动量矩定理 已知已知 复摆质量复摆质量 m，OC=b，对转轴，对转轴 O的转动的转动惯量惯量JO，OC 与铅直线的偏角与铅直线的偏角 0，复摆的初角，复摆的初角速度为零速度为零
