1、双曲线及其标准方程双曲线及其标准方程 1.1.椭圆的定义椭圆的定义和和 等于常数等于常数2a(2a|F1F2|0)的点的轨迹的点的轨迹.平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离的的距离的1F2F 0,c 0,cXYO yxM,2.引入问题：引入问题：差差等于常数等于常数的点的轨迹是什么呢？的点的轨迹是什么呢？平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离的的距离的复习复习|MF1|+|MF2|=2a(2a|F1F2|0)两个定点两个定点F1、F2双曲线的双曲线的焦点焦点;|F1F2|=2c 焦距焦距.（1）2a0；双曲线定义双曲线定义思考：思考：（1）若）若2a=|F1F2|,则轨迹是？则轨
2、迹是？（2）若）若2a|F1F2|,则轨迹是？则轨迹是？说明说明（3）若）若2a=0,则轨迹是？则轨迹是？|MF1|-|MF2|=2a(1)两条射线两条射线(2)不表示任何轨迹不表示任何轨迹如何建立适当的直角坐标系？如何建立适当的直角坐标系？原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴所在的直线作为坐标轴.).)探讨建立平面直角坐标系的方案探讨建立平面直角坐标系的方案OxyOxyOxy方案一方案一Oxy(对称、对称、“简洁简洁”)1F2FMOxy方案二方案二F2 2
3、F1 1MxOy求曲线方程的步骤：求曲线方程的步骤：双曲线的标准方程双曲线的标准方程1.1.建系建系.以以F1,F2所在的直线为所在的直线为x轴，线段轴，线段F1F2的中点为原点建立直角坐标系的中点为原点建立直角坐标系2.2.设点设点设设M（x,y）,则则F1(-c,0),F2(c,0)3.3.列式列式|MF1|-|MF2|=2a4.4.化简化简aycxycx2)()(2222即aycxycx2)()(2222222222)(2)(ycxaycx222)(ycxaacx)()(22222222acayaxac222bac)0,0(12222babyax此即为此即为焦点在焦点在x轴上的轴上的双曲
4、线双曲线的标准的标准方程方程12222byax12222bxayF2 2F1 1MxOyOMF2F1xy)00(ba，若建系时若建系时,焦点在焦点在y轴上呢轴上呢?看看 前的系数，哪一个为正，前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上则在哪一个轴上22,yx222bac|MF1|-|MF2|=2a（2a0，b0，但，但a不一不一定大于定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2|MF1|MF2|=2a|MF1|+|MF2|=2a 椭椭 圆圆双曲线双曲线F（0，c）F（0，c）22221(0)xyabab22221(0)yxabab22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab
5、利用定义法求双曲线的标准方程利用定义法求双曲线的标准方程1）首先找出两个定点）首先找出两个定点(即双曲线的两个焦点即双曲线的两个焦点)；2）然后再根据条件寻找动点到两个定点的距离然后再根据条件寻找动点到两个定点的距离的差的差(或差的绝对值或差的绝对值)是否为常数，这样确定是否为常数，这样确定c和和a的值，的值，3）再由再由c2a2b2求求b2，进而求双曲线的方程，进而求双曲线的方程对双曲线定义的理解对双曲线定义的理解双曲线定义中双曲线定义中|PF1|PF2|2a(2a680|AB|680m,所以爆炸点所以爆炸点的轨迹是以的轨迹是以A A、B B为焦点的双曲线在靠近为焦点的双曲线在靠近B B处的
6、一支上处的一支上.例例3 3.(.(课本第课本第5454页例页例)已知已知A,BA,B两地相距两地相距800800m,在在A A地听到炮弹爆地听到炮弹爆炸声比在炸声比在B B地晚地晚2 2s,且声速为且声速为340340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程求炮弹爆炸点的轨迹方程.如图所示，建立直角坐标系如图所示，建立直角坐标系xO Oy,设爆炸点设爆炸点P的坐标为的坐标为(x,y)，则则340 2680PAPB即即 2a=680，a=340800AB 8006800,0PAPBx1(0)11560044400 xyx22222800,400,cc xyoPBA因此炮弹爆炸点的轨迹方程为因此炮弹爆炸点
7、的轨迹方程为44400bca 2 22 22 2答答:再增设一个观测点再增设一个观测点C，利用，利用B、C（或（或A、C）两处）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置准确位置.这是双曲线的一个重要应用这是双曲线的一个重要应用.例例2利用双曲线的定义求轨迹问题利用双曲线的定义求轨迹问题 动圆动圆M与圆与圆C1：(x3)2y29外外切，且与圆切，且与圆C2：(x3)2y21内切，求动内切，求动圆圆心圆圆心M的轨迹方程的轨迹方程例例2 2:如果方程如果方程 表示双表示双曲线，求曲线，求m的取值范围的取值范围.22121xymm解解:22121xymm 思考：思考：21mm 得得或或(2)(1)0m m由由例例3双曲线的定义是解决与双曲线有关的问题的双曲线的定义是解决与双曲线有关的问题的主要依据，在应用时，主要依据，在应用时，一是注意条件一是注意条件|PF1|PF2|2a(02a|F1F2|)的使用，的使用，二是注意与三角形知识相结合，经常利用正、二是注意与三角形知识相结合，经常利用正、余弦定理，同时要注意整体运算思想的应用余弦定理，同时要注意整体运算思想的应用
