1、三角函数值域与最值的求法三角函数值域与最值的求法大家知道，求三角函数值域与最值问题主要包括：给定自变量 x 的取值范围，求三角函数的值域或最值；自变量 x 为任意实数，求三角函数的值域或最值两种类型。那么到底如何解答求三角函数值域与最值问题呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。【典例 1】解答下列问题：1、已知函数 f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1(xR)。（1）求函数 f(x)的最小正周期；（2）求函数 f(x)在区间8,34上的最大值和最小值；【解析】【解析】【知识点【知识点】二倍角公式及运用；三角函数最小正周期的定义与求法；辅助角公式及运用；正弦函数的图像与性质。【
2、解题思路【解题思路】 （1）运用二倍角公式和辅助角公式把函数 f(x)化成 f(x)= Asin(x+)的形式，根据三角函数最小正周期的公式求出函数 f(x)的最小正周期； （2）由 x8,34求出2x+4的取值范围，根据正弦函数的图像与性质求出函数 f(x)的最大值和最小值。【详细解答【详细解答】 （1）f(x)=2 sinx cosx-2cos2x+1= sin2x- cos2x=2sin(2x+4)，T=22=； （2）x8,34 ，2x+42,74 ，-1sin (2x+4)1，max( )f x=2 1=2，min( )f x=2 （-1）=-2。y2、已知函数 y=Asin(x+)
3、(A0,0,|-2|)的一段图像如右图所示。|（1）求函数 f(x)的解析式；-80|38x（2）求这个函数的单调递增区间；-2- |（3）求函数在区间3,2上的最大值和最小值。【解析】【解析】【知识点【知识点】三角函数的图像与性质；三角函数最小正周期的公式及运用；根据三角函数图像上的点确定的基本方法；正弦函数的图像与性质。【解题思路【解题思路】 （1）根据三角函数的图像确定 A 和 T 的值，运用公式 T=2|求出的值，由点（-8，2）在函数 f(x)的图像上，求出的值，从而得到函数 f(x)的解析式=； （2）运用正弦函数的性质得到不等式 2k-22x+42k+2，解这个不等式就可得出结果
4、； （3）由 x3,2求出 2x+4的取值范围，根据正弦函数的图像与性质求出函数 f(x)的最大值和最小值。【详细解答【详细解答】 （1）由图知，A=2，2T=38-（-8）=2，T=，=2=2，f(x)=2sin (2x+)，点 （-8， 2） 在函数 f(x)的图像上，2=2sin 2（-8） += 2sin （-4+） ，sin （-4+） =1，-4+= 2k+2，= 2k+34（kZ） ，|，=34，f(x)=2sin (2x+34)；（2）由 2k-22x+342k+2，解得 k-58xk-8（kZ） ，函数 f(x)的单调递增区间是k-58，k-8（kZ） ； （3）x3,2 ，
5、2x+341712,74 ，-1sin (2x+34)-22，max( )f x=2（-22）=-2，min( )f x=2（-1）=-2。思考问题思考问题 1（1） 【典例 1】是运用正弦函数（或正弦型函数）与余弦函数（或余弦型函数）的有界性来求三角函数的值域或最值的问题， 解答这类问题需要理解并掌握正弦函数与余弦函数的图像和性质，尤其是正弦函数与余弦函数的值域都是-1,1这一特殊性质；（2）对于正弦型函数与余弦型函数只需把(x+)看成整体未知数，进而将问题转化为正弦函数与余弦函数的问题来解决。练习 1解答下列问题：1、求函数 y=sinxsinx-sin(x+3)的最大值和最小值；2、求函
6、数 y=2sin2cosxx的最大值和最小值；3、已知函数 f(x)=2cosx-2sinxcosx-2sinx。（1）求函数 f(x)的最小正周期；（2）求函数 f(x)的最大值和最小值。【典例 2】按要求解答下列各题：1、求函数 f(x)=cos2x-6cosx 的值域；【解析】【解析】【知识点【知识点】二倍角公式及运用；换元法的定义与基本方法；一元二次函数的定义，图像与性质。【解题思路【解题思路】 运用二倍角公式把函数 f(x)化成 f(x)= 2 cos2x -6 cos x -1 的形式， 设 t= cos x，t-1,1 ，得到函数 f(t)=22t-6t-1，根据一元二次函数在闭
7、区间上最值的求法就可得出结果。【详细解答】【详细解答】f(x)= 2 cos2x -6 cos x -1，设 t= cos x，t-1,1 ，f(t)=22t-6t-1，函数 f(t)在-1,1上单调递减，max( )f x= f(-1)=22( 1 ）-6(-1)-1=7，min( )f x=f(1)= 21-61-1=-5。2、是否存在实数 a，使得函数 y=2sinx+acosx+58a-32在闭区间0,2上的最大值是 1？若存在，求出对应的 a 值，若不存在，说明理由；【解析】【解析】【知识点】【知识点】换元法的定义与基本方法；一元二次函数的定义，图像与性质。【解题思路【解题思路】设存
8、在实数 a，使得函数 y=2sinx+acosx+58a-32在闭区间0,2上的最大值是 1，令 t= cos x，t-1,1 ，得到函数 f(t)=-2t+at+58a -12，根据一元二次函数的图像与性质分别对2a0，02a1，12a三种情况进行考虑，从而综合得出结果。【详细解答【详细解答】y=1- cos2x +acosx+58a-32=- cos2x +acosx+58a-12， 设 t= cos x， 由 x0,2 ,t0,1 ，y=-2t+at+58a -12， 当2a0， 即 a0 与假设不符；当02a1，即 0a0，即 0a1 时，maxy=-0+0+58a -12=58a -
9、12=1，a=45满足；若-a+10，即 1a2 时，maxy=-1+a+58a-12=138a -32=1，a=2013满足；当 12a，即 2a 时，函数 y=-2t+at+58a -12在区间0,1单调递增，maxy=-1+a+58a -12=138a -32=1，a=20132 与假设不符，综上所述，存在实数 a=45或 a=2013，使得函数 y=2sinx+acosx+58a-32在闭区间0,2上的最大值是 1。3、求函数 f(x)=cos2sin2xxsinx+cossinxxsin2x 的最大值和最小值；【解析】【解析】【知识点【知识点】二倍角公式及运用；换元法的定义与基本方法
10、；一元二次函数的定义，图像与性质。【解题思路【解题思路】 运用二倍角公式把函数 f(x)化成 f(x)= 2 cos2x + cos x +1 的形式， 设 t= cos x，t-1,1 ，得到函数 f(t)=22t+t+1，根据一元二次函数在闭区间上最值的求法就可得出结果。【详细解答】【详细解答】f(x)= 2 cos22x+2 cos2x =2 cos2x+ cos x +1，设 t= cos x，t-1,1 ，f(t)=22t+t+1，-1-141，max( )f x= f(1)=21+11+1=4，min( )f x=f(-14)= 221(4）+1（-14）+1=78。4、求函数 f
11、(x)=(sinx+a)(cosx+a)(0a2) 的值域。【解析】【解析】【知识点【知识点】辅助角公式及运用；换元法的定义与基本方法；一元二次函数的定义，图像与性质。【解题思路【解题思路】设 t=sinx+cosx，t-2,2 ，sinx.cosx=212t 从而得到函数 f(t)=122t+at+2a-12，根据一元二次函数在闭区间上最值的求法就可得出结果。【详细解答【详细解答】f(x)= sinx.cosx+a（sinx+cosx）+2a，设 t=sinx+cosx，t-2,2 ，f(t)=122t+at+2a-12，0a2，-2-a0，1tan0，4tan+1tan214tan .ta
12、n4，f()=4tan+1tan+24+2=6，函数 f()=4tan+1tan+2 的值域是6，+） 。2、已知 tan=3tan，02，求 y=-的最大值。【解析】【解析】【知识点】【知识点】正切函数的图像与性质；差角公式及运用；基本不等式及运用。【解题思路】【解题思路】运用差角公式和条件得到 tan(-)=22tan1tan=21tantan，由1tantan满足基本不等式的条件，根据基本不等式得出 tan(-)的取值范围，从而求出-的最大值。【详细解答【详细解答】tan(-)=tantan1tantan=22tan1 3tan=213tantan， 02，13tantan213tan.
13、tan23，0 tan(-)=213tantan33，(-)（0，6，y=-的最大值为6。思考问题思考问题 3（1） 【典例 3】是与均值不等式相关的问题，解答这类问题需要理解并掌握均值不等式，尤其是要注意均值不等式应该满足的三个条件： 一正是指涉及的两项必须是数， 二定是指两项的和或积是值，三相等是指两项相等具有性；（2）运用均值不等式求三角函数的值域与最值时，首先要注意问题符不符合均值不等式的三个条件，其次还要把相关的三角函数的知识联系起来综合解答问题。练习 3解答下列问题：1、设（0，2） ，求函数 f()=9tan+1tan+1 的值域；2、已知 tan=3tan，04，求 y=+的最
14、大值。【典例 4】解答下列问题：1、求函数 f(x)=2sinx+294sin x的值域；【解析】【解析】【知识点【知识点】正弦函数的图像与性质；换元法的定义与基本方法；函数单调性的定义与性质。【解题思路【解题思路】设 t=2sinx，t（0,1 ，从而得到 f(t)=t+9t，由函数 f(t)在（0,1上单调递减，根据函数单调性的性质就可得出函数 f(x)的值域。【详细解答【详细解答】 设 t=2sinx， t0,1 ，f(t)=t+9t，函数 f(t)在(0,1 上单调递减，min( )f x=f(1)= 1+9=10，函数 f(x)的值域为10，+） 。2、求函数 f(x)=sin2x+
15、22cosx 在区间0，8上的最大值和最小值。【解析】【解析】【知识点】【知识点】二倍角公式及运用；辅助角公式及运用；正弦函数的定义，图像与性质。【解题思路】【解题思路】运用二倍角公式和辅助角公式把函数 f(x)化成 f(x)= Asin(x+)的形式，由x0，8求出 2x+4的取值范围，根据正弦函数的图像与性质求出函数 f(x)的最大值和最小值。【详细解答【详细解答】f(x)=sin2x+cos2x+1=2sin(2x+4)+1，x0，8 ，2x+44，2 ，sin(2x+4)22， 1 ，max( )f x= =2 1+1=1+2，min( )f x=2 22+1=2。思考问题思考问题 4（1） 【典例 4】是运用函数的单调性求三角函数的值域与最值的问题，解答这类问题需要理解函数单调性的意义，掌握函数单调性的判断方法；（2）判断与三角函数相关的函数的单调性需要与涉及的三角函数的图像和性质联系起来，理解并掌握该三角函数的图像和性质是解决问题的关键。练习 4解答下列问题：1、求函数 f(x)=2cosx+294cos x的值域；2、求函数 f(x)=sin2x-22sinx 在区间0，8上的最大值和最小值。
